Você já ouviu falar em logaritmo?

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1 Você já ouviu falar em logaritmo?
O que é logaritmo? Você já ouviu falar em logaritmo?

2 A invenção dos logaritmos
Na passagem da Idade Média para a Idade Moderna (séculos XIV a XVI), os países da Europa Ocidental sofreram profundas transformações. Acompanhando essas mudanças econômicas, políticas e sociais, ocorreu também um extraordinário desenvolvimento da arte, da cultura e das ciências. Essa revolução cultural ficou conhecida como o Renascimento. Foi a época em que as grandes navegações ampliaram os limites do mundo.

3 O desenvolvimento da navegação e da Astronomia trouxe consigo cálculos aritméticos longos e trabalhosos. Cada vez mais havia necessidade de descobrir um processo que permitisse simplificar esses cálculos. Muitos matemáticos passaram a se ocupar com esse problema. A solução foi encontrada, ao mesmo tempo, por Jost Bürgi ( ), relojoeiro, matemático e inventor suíço, e John Neper ( ), teólogo escocês.

4 Bürgi, em 1620, e Neper, em 1614, publicaram as primeiras tabelas de logaritmos, que permitiam a simplificação de cálculos aritméticos complicados. Logo após a publicação de sua primeira tabela, Neper, juntamente com o matemático inglês Henry Briggs ( ), elaborou uma nova tábua, mais fácil de ser utilizada, contendo os chamados logaritmos decimais. Atualmente, embora as tábuas de logaritmos já não sejam tão usadas como instrumento d cálculo, os logaritmos continuam sendo de grande importância em áreas do conhecimento humano.

5 Mas, o que é logaritmo? Reproduzimos, a seguir, um trecho da tabela que Henry Briggs publicou em Na versão original, os números indicados na coluna 10m variavam de 1 a 1000 e os indicados na coluna m apresentavam até catorze casas decimais:

6 10m m ...... 101 2,004321 102 2,008600 103 2,012837 104 2,017033 105 2,021189 Analisando um trecho da tabela de Briggs, podemos escrever: 102, = 101 102, = 102 102, = 103 102, = 104 102, = 105

7 Os expoentes de 10 são denominados logaritmos. Assim:
- O expoente 2, é o logaritmo de 101 na base 10. - O expoente 2, é o logaritmo de 102 na base 10. E assim por diante. O que significa dizer que o número 2, é o logaritmo de 101 na base 10? Significa que 102, é igual a 101 (na verdade, aproximadamente igual).

8 Na escrita, usa-se o símbolo log para simplificar a notação de logaritmo. Escrevemos:
Desse modo, a tabela de Briggs pode ser reescrita com a seguinte indicação: 10m log10 x ...... 101 2,004321 102 2,008600 103 2,012837 104 2,017033 105 2,021189

9 A palavra logaritmo foi empregada pela primeira vez por Neper e se originou da composição das palavras gregas logos (razão) e arithmos (números)

10 Definição de logaritmos
Considere N e a números reais positivos, com a 1. Definimos: onde: a: base do logaritmo N: logaritmando x: logaritmo de N na base a

11 Exemplos: 1) log = 2, equivale a 102, = 105. 2) log3 9 = 2 equivale a 32 =9. 3) log5 5 = 1 equivale a 51 = 5. 4) log7 1 = 0 equivale a 70 = 1. 5) log10 0,1 = -1 equivale a 10-1 = 0,1. 6) log2 215 = 215 equivale a 215 = 215.

12 As restrições impostas à base a (a > 0 e a 1) do logaritmo garantem a existência da unicidade de qualquer número positivo. Exemplo: Se log2 7 = x, então 2x = 7. Observando o gráfico da função y = 2x, verificamos que esse valor existe e é único. Observação: Quando a base do logaritmo é 10, é comum não indicá-la e o logaritmo é chamado decimal. Assim, log10 N = log N.

13 O uso dos logaritmos Como calcular (1,05)100, sem usar calculadora?
O valor dessa potência pode ser obtido facilmente através de uma tabela de logaritmos. Considere N = (1,05)100 e observe a tabela abaixo: x log10 x 1,05 0,021189 131,49

14 Temos: log10 1,05 = 0,021189, isto é, 100,021189 = 1,05 Assim:
N = (1,05)100 = (100,021189)100 = 102,118900 O número cujo logaritmo é 2,11890 é obtido na tabela: 131,49. Logo, N = (1,05)100 = 131,49. x log10 x 1,05 0,021189 131,49

15 Os logaritmos também podem ser aplicados em outras áreas do conhecimento humano. Por exemplo, na medição de terremotos. Para medir a energia liberada pelo tremor em forma de ondas, uma das escalas mais utilizadas é a escala Richter. Considere R1 e R2 indicações das intensidades de dois terremotos na escala Richter; e M1 e M2, energias liberadas por esse tremores. A relação entre R1 e R2 é dada por:

16 O logaritmo e o cálculo mental
Determinados cálculos que envolvem logaritmos são tão simples que podem ser feitos mentalmente. Exemplo: Descobrir o valor de x, em cada item: a) log2 x = 5 b) log3 9 = x c) logx 8 = 3 d) log 10x = 7

17 Solução: a) log2 x = 5  25 = x. Portanto, x = 32. b) log3 9 = x  3x = 9. Portanto, x = 2. c) logx 8 = 3  x3 = 8. Portanto, x = 2. d) log 10x = 7. Lembrando que log N = log10 N, temos: log 10x = 7  log10 10x = 7. Logo, 10x = 107. Portanto, x = 7.

18 O uso da tabela no cálculo de logaritmos
Exemplo: Consultando a tabela ao lado, calcular: a) 2, ,850 b) 11,519 : 5,773 c) (1,995)10 d) x log x 1,995 0,2999 2,375 0,3757 4,850 0,6857 5,773 0,7615 11,519 1,0614 31,602 1,4997 998,686 2,9994

19 Solução: a) log 2,375 = 0,3757 significa que100,3757 = 2,375.
Assim: 2, ,850 = 100, ,6857 = 100, ,6857 = 101,0614. Pela tabela, 101,0614 = 11,519, isto é, log 11,519 = 1,0614. Logo, 2, , ,519. x log x 2,375 0,3757 4,850 0,6857 11,519 1,0614

20 Solução: b) log 11,519 = 1,0614 significa que101,0614 = 11,519
Assim: 11,519 : 5,773 = 101,0614 : 100,7615 = 101,0614 – 0,7615 = 100,2999. Pela tabela, 100,2999 = 1,995, isto é, log 1,995 = 0,2999. Logo, 11,519 : 5, ,995. x log x 1,995 0,2999 5,773 0,7615 11,519 1,0614

21 Solução: c) log 1,995 = 0,2999 significa que 100,2999 = 1,995. Assim:
(1,995)10 = (100,2999)10 = 100, = 102,999. Pela tabela, 102,999 = 998,686, isto é, log 998,686 = 2,999. Logo, (1,995) ,686. x log x 1,995 0,2999 998,686 2,9994

22 Solução: d) log 998,686 = 2,9994 significa que 102,9994 = 998,686.
Assim: Pela tabela, 101,4997 = 31,602, isto é, log 31,602 = 1,4997. Logo, ,602. x log x 31,602 1,4997 998,686 2,9994