1. INTRODUÇÃO AOS FLUIDOS EM MOVIMENTO

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1 1. INTRODUÇÃO AOS FLUIDOS EM MOVIMENTO
Os movimentos dos fluidos se manifestam de várias maneiras diferentes; alguns podem ser descritos facilmente ao passo que outros, para sua descrição, necessitam de equações físicas complexas. Nas aplicações de engenharia é importante descrever os movimentos dos fluidos do modo mais simples que se possa justificar. Muitas vezes precisões de ± 10% são aceitáveis, embora em algumas aplicações, precisões maiores devam ser alcançadas.

2 As equações gerais do movimento fluido são muito difíceis de se resolver.
Sendo assim, é da responsabilidade do engenheiro saber quais passos de simplificação podem ser empregados; o que requer experiência e mais importante, compreensão da física envolvida. Algumas hipóteses comuns usadas para simplificar uma dada situação do escoamento são relacionadas às propriedades do fluido.

3 a) Inviscito.

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5 b) Incompressível. É sabido que a compressibilidade de um gás em movimento deve ser levada em conta, se as velocidades são muito elevadas (M > 0,3).

6 A velocidade do vento, simplesmente, não é alta o suficiente.

7 1.2. Descrição do Movimento dos Fluidos
Tem como objetivo procurar uma formulação matemática mais simples.

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9 1.2.1. Descrições lagrangiana e euleriana
Fluido  meio contínuo Discretização do fluido em partículas isoladas de volume d (muito pequeno, mas com um grande número de moléculas) No estudo da mecânica das partículas, no qual a atenção é focalizada nas partículas individuais, o movimento é observado em função do tempo.  posição da partícula  velocidade da partícula  aceleração da partícula

10  ponto inicial (“rótulo” = nome da partícula)
Esta descrição é conhecida como descrição lagrangiana. Joseph L. Lagrange ( ) Na descrição lagrangiana as partículas individuais são acompanhadas ao longo do escoamento como função do tempo. Esta tarefa torna-se difícil uma vez que o número de partículas é muito grande, no escoamento de um fluido. Uma alternativa é fixar pontos no espaço e observar a evolução das propriedades do escoamento, nestes pontos, em função do tempo.  velocidade do escoamento  massa específica do fluido

11 Esta descrição é conhecida como descrição euleriana.
A região do escoamento que está sendo observada é chamada de “campo de escoamento”. Esta descrição é conhecida como descrição euleriana. Leonard Euler (1707 – 1789). Se: O escoamento é dito permanente. Neste escoamento as propriedades não variam com o tempo em um mesmo ponto. Contudo, podem variar de um ponto a outro do escoamento.

12 1.2.2. Trajetória, linha de emissão e linha de corrente
Trajetória – caminho percorrido por uma partícula ao longo do escoamento. Linha de emissão – linha instantânea, formada pela união de partículas que passaram sucessivamente, por um mesmo ponto no escoamento. Linha de corrente – é uma linha no escoamento que possui a seguinte propriedade: o vetor velocidade de cada partícula que ocupa um ponto na linha de corrente é tangente à LC.

13 Partícula de fluido X Y Z LC Tubo de corrente – é um tubo (imaginário), cujas paredes são formadas por linhas de correntes (LC).

14 Aceleração X Y Z Partícula no Instante t. Trajetória Partícula no Instante t + t. A aceleração é dada pela derivada temporal da velocidade. ponto de vista lagrangiano (diretamente).

15 Já no ponto de vista euleriano é necessária uma discussão.
Seja o vetor velocidade: “descrição euleriana”. Considerando a regra da cadeia para a derivação, Ou seja: Mas: desta forma:

16 Esta é uma equação vetorial e corresponde a três equações escalares
Esta é uma equação vetorial e corresponde a três equações escalares. Ou seja:

17 Por sua vez, considerando o operador vetorial “nabla”
e o produto escalar com o vetor velocidade Usando esta notação vetorial, a expressão para o cálculo da aceleração passa a ser escrita de uma forma mais compacta. ponto de vista euleriano.  aceleração convectiva (alterações associadas à mudança de posição)  aceleração local [(x, y, z) = fixo; posição fixa]

18 Assim, a aceleração passa a ser escrita como:
Observe que esta é uma derivada especial, uma vez que é tomada acompanhando o movimento da partícula ao longo de sua trajetória. Partícula no Instante t. Trajetória Partícula no Instante t + t. Esta derivada recebe um nome especial, ou seja, “derivada substancial”, sendo denotada pela letra D (maiúsculo). Assim, a aceleração passa a ser escrita como: obtida diretamente no ponto de vista lagrangiano.

19 A derivada substancial, também conhecida por derivada material, é calculado no ponto de vista euleriano, pela expressão: A derivada substancial representa a relação entre a formulação lagrangiana, na qual a quantidade depende do tempo (t) e a formulação euleriana, na qual a quantidade depende da posição (x, y, z,) e do tempo (t). A derivada substancial pode ser usada com outras variáveis dependentes, diferentes da velocidade.

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21 Movimento relativo a um referencial não inercial
Considere [X,Y,Z] como sendo as coordenadas de um referencial inercial e [x,y,z] as coordenadas de um referencial não inercial. Uma partícula P pode ser observada destes dois referenciais. Assim: P X Y Z x y z Absoluta Referencial não inercial Referencial inercial

22 Teorema de composição de velocidades.
Relativa Teorema de composição de velocidades. Para se chegar ao teorema de composição de acelerações, basta derivar mais uma vez a Eq. anterior. Assim:

23  Aceleração da partícula vista do referencial inercial (absoluta).
 Aceleração absoluta da origem do referencial não inercial.

24  Aceleração da partícula vista do referencial não inercial (relativa).
 Aceleração tangencial

25  Aceleração de Coriolis
 Aceleração normal Finalmente, tem-se o teorema de composição de acelerações.  Aceleração aparente De modo que:

26 1.2.4. Velocidade angular e vorticidade
O movimento geral de uma partícula fluida, pode ser decomposto em movimentos mais simples. Ou seja: Movimento de translação (trivial); Movimento de rotação; Movimento de deformação angular; Movimento de deformação volumétrica. Considere uma partícula pequena de fluido que ocupa um volume infinitesimal, cuja face no plano xy é mostrada na Figura 3.6.

27 Figura 3.6 Partícula fluida elementar
x y D dy A u v B C dx Figura 3.6 Partícula fluida elementar

28 O sentido positivo é dado pela regra da mão direita.
A velocidade angular de rotação é definida como sendo a média entre a velocidade angular de dois seguimentos de reta ortogonais entre si, passando pela partícula. O sentido positivo é dado pela regra da mão direita. Ou seja, de x para y. Para o seguimento AB A B C D Já, para o seguimento CD, fica:

29 Logo, o componente da velocidade angular em z, será:
Com procedimento análogo, chega-se aos componentes em x e y. x y z Sendo o vetor velocidade angular escrito como:

30 Por sua vez, a vorticidade é definida como sendo duas vezes a velocidade angular, de modo que:
Escoamento irrotacional => Deformação angular: A deformação angular é a taxa de variação do ângulo que o segmento AB faz com o segmento CD. Seu componente no plano xy é dada por:

31 Os componentes para os planos xz e yz, ficam:
Deformação Volumétrica: A partícula fluida também pode ser esticada ou comprimida. Se o ponto B está se movendo mais rapidamente que o A, a partícula está esticando na direção x. Então: Nas direções y e z, vem:

32 O tensor deformação pode ser escrito como:
Os termos da diagonal principal correspondem à deformação volumétrica, ao passo que os termos fora desta diagonal correspondem aos termos de deformação angular. Para meios não polares, prova-se que o tensor deformação é simétrico. Assim,

33 Exemplo 3.1 O campo de velocidade é dado por m/s, em que x e y estão em metros e t está em segundos. Encontre a equação da linha de corrente, passando por (2, -1) e o vetor unitário normal à linha de corrente em (2, -1) em t = 4 s. Solução: O vetor velocidade é tangente à linha de corrente, de modo que: No instante t = 4 s, vem:

34 OBS. x y z Como o vetor unitário não é nulo, resulta: Integrando, vem:

35 Esta equação pode ser reescrita como:
Portanto: => Equação das linhas de corrente. No ponto (2, -1), C = -4, resultando para a Eq. da LC que passa por esse ponto, O vetor unitário normal a LC é perpendicular ao vetor velocidade neste ponto (2, -1). Assim, no instante t = 4 s, vem: e:

36 De modo que:  vetor unitário, então: Portanto, o vetor unitário normal à LC no ponto (2, -1) e t = 4 s, é:

37 Exemplo 3.2 Um campo de velocidade num escoamento particular é dado por m/s. Calcule a aceleração, a velocidade angular, o vetor vorticidade e quaisquer componentes da taxa de deformação não nulas no ponto (1, -1, 2). Solução: O tempo não aparece na equação, logo o escoamento é permanente.

38 A aceleração pode ser calculada a partir da regra da cadeia:
= 0 = 0 Portanto, a aceleração no ponto (1, -1, 2) é:

39 A velocidade angular no ponto (1, -1, 2) é calculada:
= 0 = 0 = 0 = 0 (y = -1). O vetor velocidade angular no ponto (1, -1, 2) é então:

40 A vorticidade, como é o dobro da velocidade angular, é dada por:
Os componentes não nulos da taxa de deformação, são:

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42 1.3. Classificação de Escoamentos
Escoamentos uni, bi e tridimensionais Na descrição euleriana o vetor velocidade, em geral, depende das três coordenadas espaciais e do tempo, ou seja: Observa-se que a velocidade depende das três coordenadas espaciais, portanto, trata-se de um escoamento tridimensional. Como depende do tempo é ainda, variado ou não permanente. Neste caso o escoamento é tridimensional e permanente.

43 A Fig. 3.7 mostra um exemplo de escoamento tridimensional.
Figura 3.7 Escoamento com ponto de estagnação

44 Figura 3.8 Escoamento unidimensional u = u(r)  escoamento em tubos
Por sua vez, escoamento unidimensional é aquele no qual o vetor velocidade depende de apenas uma coordenada espacial. Tais escoamentos ocorrem em tubulações longas e retas, ou entre placas paralelas, como mostrado na Fig. 3.8. a) em uma tubulação b) entre placas paralelas Figura 3.8 Escoamento unidimensional u = u(r)  escoamento em tubos u = u(y)  escoamento entre placas paralelas.

45 Escoamento uniforme Quando a velocidade e outras propriedades do fluido são constantes em uma mesma seção, como ilustra a Fig. 3.9. Figura 3.9 Perfis de velocidades uniformes Esta simplificação é feita quando a velocidade é essencialmente constante em uma seção, fato que ocorre com muita freqüência na engenharia.

46 1.3.2. Escoamentos viscosos e não viscosos
Os escoamento são classificados em: Viscosos e Não viscosos. Em um escoamento viscoso os efeitos da viscosidade são importantes e não podem ser desprezados. Já em um escoamento não viscoso os efeitos da viscosidade podem ser desprezados. Com base em experiências, foi descoberto que a classe primária de escoamentos que podem ser modelados como escoamentos não viscosos é a de escoamentos externos, ou seja, escoamentos que ocorrem fora de um corpo.

47 A Fig. 3.10 ilustra um escoamento externo.
Figura 3.10 Escoamento ao redor de um aerofólio

48 = espessura da CL (99% da variação de u). Lei da viscosidade de Newton
Camada Limite (CL) Efeitos viscosos desprezíveis V = Cte. u = u(y) V Camada limite y  x Efeitos viscosos preponderantes (escoamento viscoso) = espessura da CL (99% da variação de u). Lei da viscosidade de Newton

49 1.3.3. Escoamentos laminares e turbulentos
Escoamento viscoso turbulento. microscópica e Agitação  mistura  macroscópica. Microscópica  nível de moléculas. Macroscópica  nível de partículas.

50 Figura 3.11 Velocidade em função do tempo num escoamento laminar
Escoamento laminar: a agitação em nível macroscópico não se faz presente. As tensões de cisalhamento viscoso sempre influem em um escoamento laminar. O escoamento laminar pode ser dependente do tempo, como o que ocorre na saída de uma bomba a pistão Fig. 3.11a, ou pode ser constante Fig. 3.11b. a) Escoamento não permanente b) Escoamento permanente Figura 3.11 Velocidade em função do tempo num escoamento laminar

51 Figura 3.12 Velocidade em função do tempo num escoamento turbulento
Escoamento turbulento: ocorre grande troca de partículas entre camadas adjacentes. No escoamento turbulento quantidades como velocidade e pressão, variam aleatoriamente com o tempo. As quantidades físicas são, em muitas das vezes, descritas por médias estatísticas, Fig a) Escoamento não permanente b) Escoamento permanente Figura 3.12 Velocidade em função do tempo num escoamento turbulento

52 O regime de escoamento é identificado em função de um parâmetro adimensional conhecido por número de Reynolds. Osborne Reynolds (1842 – 1912). V – velocidade característica (m/s). L – comprimento característico (m).  – massa específica (kg/m3).  – viscosidade dinâmica [kg/(ms)].  – viscosidade cinemática (m2/s).

53 Número de Reynolds crítico  Recrít
Re < Recrít  escoamento laminar. Escoamento em tubos: V = velocidade média L = D = diâmetro do tubo Recrít  2000. Placas planas paralelas: L = h = distância entre as placas Recrít  1500.

54 Escoamento na camada limite (Fig. 3.16).
Figura 3.16 Escoamento na CL sobre uma placa plana L = x = distância sobre a placa (medida a partir do bordo de ataque) Re = Rex Placa plana: Recrít  5105 (rugosa) a 106 (lisa).

55 Exemplo 3.3 A tubulação de 2 cm de diâmetro da Fig. E3.3 é usada para transportar água a 20º C. Qual a máxima velocidade média que pode ocorrer na tubulação, garantindo um escoamento laminar? Figura E3.3 Solução: Água a 20º C, logo  = 10-6 m2/s.

56 Escoamento em tubos  Recrít  2000.
Velocidades tão pequenas, raramente são encontradas em situações reais; portanto, o escoamento laminar é raramente de interesse na engenharia, quando do escoamento de fluidos de baixa viscosidade.

57 1.3.4. Escoamentos incompressíveis e compressíveis
Um dado escoamento é dito incompressível se, ao se acompanhar o movimento de uma partícula ao longo de sua trajetória, o seu volume não mudar com o tempo (ponto de vista lagrangiano). Como msis = Cte. e, então:  escoamento incompressível.

58 Portanto, em um escoamento incompressível a massa específica se conserva ao longo da trajetória, escoamento conservativo. O que não obriga que a massa específica seja constante em todo o campo (constancia da massa específica). Exemplo: escoamento estratificado. Escoamentos incompressíveis: líquidos e gases a baixa velocidade.

59 Número de Mach. - Ernest Mach (1838 – 1916).
c  velocidade de propagação do som (perturbação) no meio fluido Para gases (perfeitos).  constante adiabática R  constante do gás T  temperatura termodinâmica

60 Se M < 0,30  escoamento incompressível.
Escoamentos incompressíveis com gás: ventilação; ar condicionado; escoamentos atmosféricos; etc.

61 1.4. Equação de Bernoulli A equação de Bernoulli decorre da aplicação da 2ª Lei de Newton a uma partícula fluida. Lembrar que esta aceleração é uma aceleração inercial. 1a hipótese simplificadora: Efeitos viscosos desprezíveis  escoamento inviscito (forças de cisalhamento nulas; sem atrito viscoso).

62 2a hipótese simplificadora:
Escoamento ao longo de uma mesma LC. Considere uma partícula infinitesimal cilíndrica, como mostra a Fig Figura 3.17 Partícula movendo-se ao longo de uma LC

63 Considerando a Eq. do movimento de Newton na direção da LC,
ou: com: aceleração da partícula na direção da LC.

64 3a hipótese simplificadora: Escoamento permanente. Neste caso
e a aceleração resulta:  ds Observando a figura, vem:

65 Na Eq. de Newton,

66 4a hipótese simplificadora:
Escoamento incompressível   = Cte. E a Eq. anterior reduz a: Portanto, pode-se escrever:  Eq. de Bernoulli. Daniel Bernoulli (1700 – 1782).

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68 A constante de integração (conhecida por constante de Bernoulli), varia, em geral, de uma a outra LC; permanecendo constante quando o escoamento se dá ao longo de uma mesma LC. Dividindo por “g” e aplicando entre os pontos 1 e 2, vem:  Eq. de Bernoulli.  carga de pressão (m)  carga de velocidade ou dinâmica (m)  carga de posição (m)

69  carga piezométrica (m)
 carga total (m) Em termos de pressão,  Eq. de Bernoulli.  pressão estática (N/m2)  pressão dinâmica (N/m2)  pressão de posição (N/m2)

70  pressão de estagnação (N/m2)
A Fig mostra alguns medidores de pressão. (pressão de estagnação) Figura 3.18 Medidores de pressão: Tubo piezométrico (estático); Tubo de pitot; Tubo pitot estático.

71 A velocidade no ponto 1 pode ser determinada com a Eq. de Bernoulli
A velocidade no ponto 1 pode ser determinada com a Eq. de Bernoulli. Ou seja: = 0

72 Os efeitos viscosos são geralmente muito pequenos e necessitam de grandes distâncias para que se tornem significativos; portanto, em situações como as mostradas na Fig. 3.19, os efeitos viscosos podem ser desprezados. Figura 3.19 Escoamentos interno não viscosos: Escoamento em uma contração; Escoamento a partir de um tanque pressurizado.

73 Não é sempre que escoamentos não viscosos apresentam uma boa aproximação ao escoamento real.
Considere o escoamento não viscoso ao redor da esfera mostrada na Fig Figura 3.19 Escoamento ao redor de uma esfera: Escoamento não viscoso; Escoamento real.

74 Exemplo 3.4 Em uma tempestade, a velocidade do vento atinge 100 km/h. Calcule a força agindo na janela de 0,90 m x 1,8 m de frente para a tormenta, mostrada na Fig. E3.4. A janela está num edifício alto, tal que a velocidade do vento não é reduzida pelos efeitos do solo. Use  = 1,20 kg/m3. V = 100 km/h Figura E3.4

75 Dados: Solução: V b h r 100,0 0,900 1,800 1,200 km/h m kg/m3 27,78 m/s
m/s Solução: A janela de frente para a tormenta está em uma região de estagnação, onde a velocidade do vento é reduzida a zero. Trabalhando com pressões efetivas, a pressão no vento, em um ponto à montante é zero (pressão atmosférica).

76 A Eq. de Bernoulli pode ser aplicada.
= 0 = 0 Conhecida a pressão na janela (estagnação), a força pode ser calculada.

77 Exemplo 3.5 A carga de pressão estática em uma tubulação de ar (Fig. E3.5) é medida com um tubo piezométrico e acusa 16 mm coluna de água. Um tubo de pitot na mesma localização indica 24 mm coluna de água. Calcule a velocidade do ar a 20º C. Calcule também o número de Mach e comente quanto a compressibilidade do escoamento. Figura E3.5

78 Dados: Solução: h1 h2 T rágua g 16,00 24,00 20° 1000 9,81 mm ca C
kg/m3 m/s2 Solução: De inicio, a partir da relação pressão altura, as pressões nos pontos 1 e 2, devem ser determinadas.

79 Com pb = 101000 Pa (pressão barométrica – escala absoluta)
Considerando a Eq. de estado para um gás perfeito, a massa específica do ar é calculada. Lembrar que em sendo esta uma Eq. termodinâmica, a pressão e temperatura devem estar em escalas absolutas. Com pb = Pa (pressão barométrica – escala absoluta) Aplicando a Eq. de Bernoulli e tendo em conta que o ponto 2 é um ponto de estagnação, vem: = 0

80 Com o objetivo de calcular o número de Mach, a velocidade de propagação do som é calculada.
A relação de calores específicos para o ar é 1,40. Já a constante do ar é 287,0 m2/s2/K. O número de Mach é calculado. M << 0,3. Logo o escoamento é incompressível.

81 Exemplo 3.7 Explique por que uma rebarba disposta junto ao orifício de entrada do tubo piezométrico da Fig. 3.18a e situada à montante do escoamento, resultará em uma leitura baixa da pressão. (Pressão de estagnação) Figura 3.18 Medidores de pressão: Tubo piezométrico; Tubo de pitot; Tubo pitot estático.

82 Solução: Uma rebarba no lado anterior da abertura do tubo piezométrico, resultará em um escoamento na vizinhança da abertura, semelhante àquele mostrado na Fig. E3.7. Figura E3.7

83 Esta rebarba irá causar um descolamento na entrada do tubo piezométrico.
Na face de montante da rebarba, haverá um ponto de estagnação, com o conseqüente aumento de pressão. Já, na face de jusante, haverá uma região de escoamento descolado, causando uma diminuição da pressão na entrada do orifício. Assim, à entrada do orifício se terá uma pressão menor que a pressão reinante na tubulação, fazendo com que a pressão lida fique mais baixa.

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