HID023 – Hidrologia II Determinação de Vazões Extremas

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1 HID023 – Hidrologia II Determinação de Vazões Extremas
Prof. Benedito C. Silva

2 Tempos de retorno admitidos para algumas estruturas
TR (anos) Bueiros de estradas pouco movimentadas 5 a 10 Bueiros de estradas muito movimentadas 50 a 100 Pontes Diques de proteção de cidades 50 a 200 Drenagem pluvial 2 a 10 Grandes barragens (vertedor) 10 mil Pequenas barragens 100

3 Vazões máximas a partir de séries de vazões medidas
Deve ser obtida uma série histórica de vazões máximas diárias, considerando: i. Valores máximos diários de cada ano ii. Um valor para cada ano hidrológico iii. O ano hidrológico corresponde ao período de 12 meses, começando no início do período chuvoso e terminando ao final da estação seca. Para o Sudeste do Brasil, o ano hidrológico se inicia em outubro e termina em setembro do ano seguinte

4 Série de vazões diárias

5 Seleção dos máximos anuais
Máx. de 1996 Máx. de 1995/96 Máx. de 1995 Ano civil Ano hidrológico

6 Séries de vazões máximas

7 Séries de vazões máximas

8 Função distribuição de probabilidade acumulada
Probabilidade de não-excedência Probabilidade da variável X ser menor ou igual ao valor x Probabilidade de excedência Probabilidade da variável X ser maior ou igual ao valor x

9 Função de distribuição empírica
Ajuste gráfico dos pontos da amostra, utilizando equações de posição de locação ou plotagem para estimativa da probabilidade de excedência. Exemplo: Onde m é ordem dos valores (decrescente) da amostra n é o tamanho da amostra.

10 Exemplo de distribuição empírica
Para o segundo valor:

11 Exemplo de distribuição empírica

12 Distribuições teóricas de probabilidade
Distribuições usuais em hidrologia Normal (simétrica e utilizada para vazões médias ou precipitações médias) Log-Normal (vazões máximas) Gumbel (extremo tipo I) (vazões máximas) Extremo Tipo III ou Weibull (vazões mínimas) Log Pearson Tipo III (vazões máximas) adotada em alguns países como padrão . Utiliza três parâmetros

13 Distribuições teóricas de probabilidade

14 Distribuições teóricas de probabilidade

15 Distribuição de Gumbel (Extremos I)
A função densidade de probabilidade acumulada é Ou, passando para probabilidade de excedência Onde, s - desvio padrão da série de valores máximos - média da série de valores máximos

16 Distribuição de Gumbel (Extremos I)
Passando o logaritmo 2 vezes Cálculo da vazão máxima q, para o tempo de retorno TR

17 Distribuição Log-Pearson Tipo III
Função densidade de probabilidade: Fórmula alternativa: A vazão para um tempo de retorno TR é calculada por, = Desvio padrão dos logaritmos da vazões

18 Distribuição Log-Pearson Tipo III
O parâmetro K é calculado por: Com, G é o coeficiente de assimetria

19 Usando a distribuição normal
Calcular a média Calcular desvio padrão Obter os valores de z da tabela para probabilidades de 90, 50, 20, 10, 4, 2 e 1%, que correspondem aos TR 1,1; 2; 5; 10; 25; 50 e 100 anos (exemplo) Calcular a vazão para cada TR por No MS Excel o valor de Q pode ser calculado usando a função INV.NORM.N

20 Exemplo: Rio Cuiabá em Cuiabá

21 Exemplo: Rio Cuiabá em Cuiabá
z P(y>0) TR Q 0,000 50 % 2 1789 0,842 20 % 5 2237 1,282 10 % 10 2471 2,054 2 % 50 2882 2,326 1 % 100 3026

22 Ajuste da Distribuição Normal aos dados do rio Cuiabá
Subestima!

23 Ajuste da Distribuição Normal aos dados do rio Guaporé
Subestima!

24 Problema Distribuição de freqüência de vazões máximas não é normal

25 Problema Distribuição de freqüência de vazões máximas não é normal

26 Usando a distribuição Log - normal
Calcular os logaritmos das vazões máximas anuais Calcular a média Calcular desvio padrão S Obter os valores de z da tabela para probabilidades de 90, 50, 20, 10, 4, 2 e 1%, que correspondem aos TR 1,1; 2; 5; 10; 25; 50 e 100 anos (exemplo) Calcular o valor de x (logaritmo da vazão) para cada TR por Calcular as vazões usando Q = 10x (se usar log) ou Q = ex (se usar ln) para cada TR No MS Excel o valor de x pode ser calculado usando a função INV.LOGNORMAL

27 Ajuste da distribuição Log Normal aos dados do rio Guaporé

28 Distribuição Normal via Excel
Média 190.4 m3/s Desvio padrão 53.5 m3/s

29 Distribuição Normal via Excel

30 Exemplo de ajuste da Distribuição de Gumbel
Média 190.4 m3/s Desvio padrão 53.5 m3/s

31 Exemplo de ajuste da Distribuição de Gumbel

32 Exemplo rio Guaporé

33 Comparação de resultados
TR Normal Log Normal Log Pearson 3 Gumbel 2 754 678 685 696 5 1050 1010 1013 1007 10 1204 1245 1236 1212 25 1369 1554 1522 1472 50 1475 1794 1737 1665 100 1571 2041 1953 1856

34 Considerações finais Vazões máximas não seguem distribuição normal.
Distribuição assimétrica. Estimativa de vazões máximas com Log Normal Gumbel Log Pearson 3

35 Considerações finais Não há uma distribuição perfeita
Log Pearson 3 é recomendada oficialmente nos EUA, mas não é adequada quando N é pequeno Gumbel tem a vantagem de ser de simples aplicação

36 ATIVIDADE 7 Para os dados do posto Armazém Capivari ( ), determine a série de vazões diárias máximas e ajuste as distribuições Log-Normal, Gumbel e Log-Pearson III Calcule as vazões máximas para tempos de retorno até anos Escolha a distribuição que melhor se ajustou e faça uma tabela com as vazões para os tempos de retorno: 25, 50, 100, 250, 500, 1000 e anos Transponha os valores obtidos no item anterior para o local da usina (A=540km2)

37 Vazões Mínimas

38 Estimativas de vazões mínimas
Usos: Disponibilidade hídrica em períodos críticos Legislação de qualidade de água Questões ambientais (sobrevivência de espécies)

39 Vazões mínimas A análise de vazões mínimas é semelhante à análise de vazões máximas, exceto pelo fato que no caso das vazões mínimas o interesse é pela probabilidade de ocorrência de vazões iguais ou menores do que um determinado limite No caso da análise utilizando probabilidades empíricas, esta diferença implica em que os valores de vazão devem ser organizados em ordem crescente, ao contrário da ordem decrescente utilizada no caso das vazões máximas

40 Mínimas de cada ano ATENÇÃO: O ano hidrológico para mínimas deve conter o período de estiagem aproximadamente no seu centro

41 Série de vazões mínimas

42 Vazões mínimas em ordem cronológica
ano data vazão 1970 4/jun 118.7 1971 24/nov 221.8 1972 3/jun 184 1973 23/ago 250.6 1974 24/ago 143 1975 5/set 198 1976 18/mai 194 1977 14/set 106.3 1978 15/mai 77.5 1979 30/abr 108 1980 5/mai 202 1981 17/set 128.6 1982 23/mai 111.4 1983 3/set 269 1984 19/set 158.2 1985 31/dez 1986 8/jan 1987 12/out 166 1988 13/dez 70 1989 27/dez 219.6 1990 17/mar 1991 24/set 1992 24/fev 204.2 1993 3/mai 196 1994 172 1995 130.4 1996 31/ago 121.6 1997 13/mai 1998 1/ago 320.6 1999 2/dez 101.2 2000 26/jan 118.2 2001 213 Vazões mínimas em ordem cronológica

43 Vazões mínimas ordenadas do menor para o maior valor
ano data vazão 1988 13/dez 70.0 1978 15/mai 77.5 1985 31/dez 1986 8/jan 1999 2/dez 101.2 1977 14/set 106.3 1979 30/abr 108.0 1982 23/mai 111.4 1991 24/set 2000 26/jan 118.2 1970 4/jun 118.7 1996 31/ago 121.6 1981 17/set 128.6 1995 19/set 130.4 1974 24/ago 143.0 1984 158.2 1987 12/out 166.0 1994 27/dez 172.0 1972 3/jun 184.0 1976 18/mai 194.0 1993 3/mai 196.0 1975 5/set 198.0 1997 13/mai 1980 5/mai 202.0 1992 24/fev 204.2 2001 213.0 1989 219.6 1971 24/nov 221.8 1990 17/mar 1973 23/ago 250.6 1983 3/set 269.0 1998 1/ago 320.6 ordem 1 2 3 … N = 32 Vazões mínimas ordenadas do menor para o maior valor

44 Distribuição empírica de vazões mínimas

45 Distr. empírica de vazões mínimas

46 Ajuste de distribuições teóricas
Semelhante ao caso das vazões máximas Normalmente as vazões mínimas que interessam tem a duração de vários dias A vazão mínima mais conhecida é a Q7,10 Q7,10 é a vazão mínima de 7 dias de duração com TR de 10 anos.

47 Vazões mínimas RESOLUÇÃO CONAMA Nº 020, de 18 de junho de 1986
O CONSELHO NACIONAL DO MEIO AMBIENTE - CONAMA, no uso das atribuições que lhe confere o art. 7º, inciso IX, do Decreto , de 1º de junho de 1983, e o que estabelece a RESOLUÇÃO CONAMA Nº 003, de 5 de junho de 1984; … Art Os limites de DBO, estabelecidos para as Classes 2 e 3, poderão ser elevados, caso o estudo da capacidade de autodepuração do corpo receptor demonstre que os teores mínimos de OD, previstos, não serão desobedecidos em nenhum ponto do mesmo, nas condições críticas de vazão (Qcrit. " Q7,10 , onde Q7.10, é a média das mínimas de 7 (sete) dias consecutivos em 10 (dez) anos de recorrência de cada seção do corpo receptor).

48 Vazões mínimas Distribuição Normal também não funciona

49 Distribuição de Weibull para mínimas
Uma distribuição de freqüências teórica mais adequada para a estimativa de vazões mínimas de alto tempo de retorno é a distribuição de Weibull (veja em Naghettini e Pinto, 2007) Na análise de vazões mínimas usando a distribuição de Weibull é usada a equação:

50 Distribuição de Weibull para mínimas
onde

51 e onde:

52 e onde… H0 = 0, H1 = 0, H2 = 0, H3 = -0, H4 = -0,

53 Weibull G é o coeficiente de assimetria;
G é a função Gama, que é uma generalização da função fatorial para números reais não inteiros. Uma dificuldade da aplicação da distribuição de Weibul é a necessidade de calcular o valor da função Gama. O valor da função Gama é dada por:

54 Weibull e a função gama O programa Excel permite calcular o valor do logaritmo da função gama através da função LnGama(x). o resultado é o logaritmo natural da função gama, para obter a função gama, basta fazer a operação inversa

55 ano Vazão mínima 1980 202 1981 128.6 1982 111.4 1983 269 1984 158.2 1985 77.5 1986 1987 166 1988 70 1989 219.6 1990 221.8 1991 1992 204.2 1993 196 1994 172 1995 130.4 1996 121.6 1997 198 1998 320.6 1999 101.2 2000 118.2 2001 213 Exemplo A tabela ao lado apresenta as vazões mínimas anuais observadas no rio Piquiri, no município de Iporã (PR). Considerando que os dados seguem uma distribuição Weibull, determine a vazão mínima de 5 anos de tempo de retorno.

56 Solução Média = 163 Desvio padrão = 65.2
Além disso é calculado o coeficiente de assimetria. Usando a função do Excel (Distorção(x)) o valor encontrado é G=0,5662 A partir destes dados é calculado o valor de Usando a função do Excel LnGama(x) são calculados os valores de B(l) e A(l). B(l)=2,2726 A(l)=0,2599 E com estes valores são calculados os termos K para cada tempo de retorno T em anos, conforme a tabela a seguir

57 Exemplo Weibull - tabela
TR K Vazão Weibull 2 156.5 5 104.8 10 83.0 25 64.6 50 55.3 100 48.7

58 Normal x Weibull

59 Considerações finais vazões mínimas
Vazões mínimas não seguem uma distribuição normal Distribuição de Weibull pode ser usada nestes casos Normalmente se trabalha com mínimas de vários dias de duração

60 Vazões mínimas na prática
Obter dados diários Calcular médias móveis (???!!!!) Encontrar menores valores de cada ano na série da média móvel Usar Weibull com os dados da série de mínimos obtidos no passo 3

61 do livro Stream Hydrology: An introduction for Ecologists – de Gordon et al.

62 ATIVIDADE 8 Para os dados do posto Armazém Capivari ( ), determine a série de vazões mínimas médias de 7 dias de duração e ajuste a distribuição de Weibull Utilizando o ajuste da distribuição de Weibull, calcule a vazão Q7,10 (mínima média de 7 dias com 10 anos de tempo de retorno