Distribuição de Probabilidades

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1 Distribuição de Probabilidades
Aula 04 Prof. Christopher Freire Souza Centro de Tecnologia Universidade Federal de Alagoas

2 Christopher Souza: Distribuição de probabilidades
Objetivos Promover o entendimento do que são modelos de distribuição de probabilidade Desenvolver habilidades para identificar quais modelos devem ser aplicados para cada estudo Desenvolver habilidades para elaborar modelos de distribuição de probabilidade.

3 Relevância do conteúdo
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Relevância do conteúdo Um modelo de distribuição de probabilidades pode ser usado para interpolar ou extrapolar probabilidades ou quantis não contidos nas observações amostrais.

4 Conteúdo Fundamentos Variáveis discretas Variáveis contínuas
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Conteúdo Fundamentos Variáveis discretas Variáveis contínuas Estatísticas Amostrais

5 Fundamentos Conceitos Parâmetros Distribuições
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Fundamentos Conceitos Parâmetros Distribuições

6 Fundamentos (Conceitos)
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Fundamentos (Conceitos) Variáveis aleatórias – Têm um único valor numérico para cada resultado de um experimento. Discretas – Assumem apenas valores inteiros. Contínuas – Podem assumir valor mensurável em escala contínua, i.e., sem saltos ou interrupções. Distribuição de probabilidades – descrição que apresenta a probabilidade para cada valor da variável aleatória. Observe que para todo valor individual de x, 0≤P(x) ≤1 e que para todos os valores possíveis de x, A distribuição de probabilidade é freqüentemente expressa por um gráfico, tabela ou equação.

7 Fundamentos (Conceitos)
., Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Fundamentos (Conceitos) Função massa de probabilidade Indica com que probabilidade a variável aleatória x assume o valor xo, i.e., P(x=xo) = fx(xo). A função massa de probabilidade se aplica a variáveis discretas. Função densidade de probabilidade Equivale à função massa de probabilidade, sendo que se aplica a variáveis contínuas.

8 Fundamentos (Conceitos)
., Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Fundamentos (Conceitos) Função de distribuição acumulada de probabilidades Indica com que probabilidade a variável x é menor ou igual ao valor xo, i.e., ou

9 Fundamentos (Conceitos)
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Fundamentos (Conceitos) Modelos de distribuição de probabilidades Equações (P(x=x0)=f(x,Q1, Q2,..., Qn)) que sintetizam o comportamento de variáveis aleatórias (x) quanto à probabilidade de ocorrência de seus valores (x0). Os coeficientes das equações (Q1, Q2,..., Qn) possibilitam a particularização de seu uso para uma amostra de dados. Distribuição Normal

10 Fundamentos (Parâmetros)
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Fundamentos (Parâmetros) Particularização de modelos de distribuição por meio da estimação de coeficientes, a partir da estimação dos parâmetros pelo cálculo da esperança matemática Esperança matemática, também conhecida como valor esperado (E[x] ou μ), representa o valor médio de uma variável aleatória x, calculado com as probabilidades de ocorrência dos valores de x como ponderadores

11 Esperança Matemática (Propriedades)
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Esperança Matemática (Propriedades) E[c]=c E[g(X)]=∑g(xi).pX(xi) ou E[g(X)]= ∫g(xi).fX(xi)dx E[c.g(X)]=c.E[g(X)] E[c1.g1(X)± c2.g2(X)]=c1.E[g1(X)] ± c2.E[g2(X)] E[g1(X)]≥E[g2(X)], se g1(X)≥g2(X) Estimativa de parâmetros por meio da formulação: Parâmetro a k Média 1 Variância m 2 Assimetria 3 Curtose 4

12 Esperança Matemática (Propriedades)
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Esperança Matemática (Propriedades) m1=E[X]=∑ xi.pX(xi) m2=Var[X]=s2X=E[(X-m1)2]=E[(X-E[X])2]=E[X2]–(E[X])2 Var[c]=0 Var[c.X]=c2.Var[X] Var[c.X+d]= c2.Var[X] Cov[X,Y]=sXY=E[(X-mX) (Y-mY)]=E(XY) –mX.mY Var[X±Y]= Var[X]+ Var[Y] ±2Cov[X,Y] |sXY |≤sX.sY

13 Função geratriz de momentos
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Função geratriz de momentos Função geratriz Primeiro momento: Expansão por série de Maclaurin

14 Modelos para variáveis discretas
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Modelos para variáveis discretas Binomial Geométrica Pascal ou Binomial Negativa Poisson Uniforme

15 Distribuição binomial
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuição binomial Experimento de Bernoulli: resulta em apenas um dos 2 tipos de respostas as quais são dicotômicas. xi={0,1} Ex: sim/não, chuva/não-chuva, inunda/não-inunda Processo de Bernoulli: resulta da repetição de experimentos de Bernoulli, cujos resultados são independentes e “p” é a probabilidade de obter o resultado “sucesso” P(q≥q0)=p, e logo, P(q<q0)=1-p

16 Distribuição binomial
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuição binomial Considere y=número de “sucessos” em n repetições do experimento y=∑xi={0,1,2,3,…,n} Supondo que o interesse é analisar a probabilidade de obter y0 “sucessos” em n observações, tem-se: Resultados independentes e ordem não importa (combinação) Observe que os coeficientes são “p” e “n”

17 Distribuição binomial
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuição binomial Função acumulada de probabilidades (fap): Valor Esperado: E(y)=np Variância: VAR[y]=np(1-p) Assimetria:

18 Distribuição binomial
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuição binomial Confiabilidade Probabilidade de não ocorrer “sucesso” em um período de n intervalos de tempo P(y=0)=(1-p)n Risco Probabilidade de ocorrer pelo menos um “sucesso” em um período de n intervalos de tempo R=1-P(y=0)=1-(1-p)n

19 Distribuição geométrica
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuição geométrica Em hidrologia é usual o interesse em estimar o número médio de experimentos (observações) para que se obtenha o primeiro “sucesso” w=número de experimentos de Bernoulli necessários para obtenção do primeiro “sucesso” Portanto, se a variável w assume o valor wo, isso significa que ocorreram (wo -1) “falhas” antes da ocorrência do “sucesso”, exatamente no wo-ésimo experimento. Neste caso, a função densidade de probabilidade assume a equação:

20 Distribuição geométrica
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuição geométrica Função acumulada de probabilidades (fap): Valor Esperado: E(w)=1/p Variância: Assimetria:

21 Distribuição geométrica
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuição geométrica Tempo de retorno (Tr) Conceito: Intervalo médio de recorrência (ARI) de “sucesso” é obtido do cálculo de E[w] Se o intervalo de dados for anual, Tr é expresso em anos Para o estudo de recorrência de mínimas, estima-se o tempo de retorno por Tr=1/(1-p), dado que p=P(q≥q0) Risco hidrológico Utilizando o conceito de risco apresentado tem-se: R=1-P(y=0)=1-(1-1/Tr)n, para estudo de cheias R=1-P(y=0)=1-(1/Tr)n, para estudo de estiagens

22 Distribuição binomial negativa (Pascal)
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuição binomial negativa (Pascal) Permite estimar a probabilidade de ocorrência do y0- ésimo “sucesso” na n-ésima repetição de um experimento de Bernoulli Formulação composta pela estimativa da probabilidade de obter (y0-1) “sucessos” em (n-1) observações, e “sucesso” na próxima observação O termo “negativa” vem da inversão do interesse de análise (número de observações para “y0” “sucessos”) em relação à distribuição binomial (número de “sucessos” para “n” observações)

23 Distribuição binomial negativa (Pascal)
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuição binomial negativa (Pascal) Função massa de probabilidades (fmp) Valor Esperado: E(n)=y0/p Variância:

24 Distribuição de Poisson
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuição de Poisson Processo de Poisson: contagens de “sucessos” em intervalos (de tempo ou comprimento) que podem ser subdivididos em subintervalos suficientemente pequenos tal que: A probabilidade de mais de um “sucesso” em um subintervalo seja zero A probabilidade de um “sucesso” em um subintervalo seja a mesma para todos os subintervalos e proporcional ao comprimento do intervalo O sucesso em cada subintervalo seja independente de observações em outros subintervalos

25 Distribuição de Poisson
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuição de Poisson Para n>50 e p <0,1, Poisson → binomial. Variável aleatória de Poisson (y) designa o número de “sucessos” para n observações (ou subintervalos). Mostra-se necessário conhecer apenas o número esperado (Q1) de “sucessos” para o período em análise. FMP:

26 Distribuição de Poisson
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuição de Poisson FAP: E[y]=VAR[y]= Q1 Assimetria:

27 Distribuição Uniforme
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuição Uniforme Processo eqüiprovável com n resultados possíveis: P(x=xo) =1/n, onde a≤x≤b, sendo a e b os valores extremos de x e n=(b-a+1) FAP: E[x]=(a+b)/2

28 Modelos para variáveis contínuas
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Modelos para variáveis contínuas Uniforme Normal Log-Normal Exponencial Erlang Gama Pearson Distribuições de valores extremos Exatas Assíntoticas Máximas (Gumbel, Fréchet, GEV) Mínimas (Gumbel, Weibull, GEV)

29 Distribuição Uniforme
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuição Uniforme Processo eqüiprovável com “n” resultados possíveis: P(x=xo) =1/n, onde a≤x≤b, sendo a e b os valores extremos de x e n=(b-a+1) FAP: E[x]=(a+b)/2

30 Distribuição Uniforme
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Geração de números aleatórios para qualquer modelo de distribuição Define-se a=0 e b=1, que equivalem ao intervalo de valores possíveis de probabilidade. Gera-se números aleatórios (“rand”) para o intervalo [a,b]. Aplicam-se os valores obtidos nas f-1(x) do modelo de distribuição que se quer ter números aleatórios gerados, como se fossem probabilidades. “Simulação de Monte Carlo” Estudo de sensibilidade de modelos à definição de coeficientes Repete-se a geração de números aleatórios para servir de coeficiente de modelos numéricos

31 Distribuição Normal Variável aleatória com variação simétrica FDP:
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuição Normal Variável aleatória com variação simétrica q2 = m= parâmetro de posição q1 = s= parâmetro de escala FDP: FAP:

32 Distribuição Normal Aplicações em hidrologia
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuição Normal Aplicações em hidrologia vazões médias anuais de pequenas bacias com pequenos aqüíferos alturas anuais de precipitação onde a sazonalidade seja pouco marcada e onde não exista prevalência de precipitações de origem frontal Distribuição Normal padrão (m=0, s=1) - Tabela Escore z

33 Distribuição Normal (Binomial pela Normal)
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuição Normal (Binomial pela Normal) Correção para continuidade usa-se o intervalo x-0,5 a x+0,5 na distribuição normal como um representante do valor discreto x na distribuição binomial Ex: P(x>15), onde x segue a distribuição binomial, com m e s conhecidos? P (x+0,5>15,5) pela distribuição normal, via escore z

34 Distribuição Normal (Teorema do limite central)
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuição Normal (Teorema do limite central) Dada a disponibilidade de “n” dados da variável aleatória independente x, com média µ, desvio σ e distribuição não exageradamente não-normal, a distribuição de médias de “m” valores de x segue a distribuição normal com média µ e desvio σ/ se “n” for grande o suficiente Quanto maior “n”, maior a aproximação da distribuição de médias amostrais da distribuição normal. Se x~N(m,s), a aplicação do teorema independe de “n”. Se n≈30, obtém-se uma aproximação razoável à normal Para x muito não-normal, sugere-se n >>30. Quando n>0,05N, recomenda- se usar como desvio

35 Distribuição Normal (Transformações normalizantes)
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuição Normal (Transformações normalizantes) Equação de Box-Cox: onde i designa a posição do dado na amostra e x a potência normalizante. Quando x tende a zero, a transformação se aproxima da aplicação de ln. Um critério para examinar o valor de x pode ser avaliar quando g≈0. Transformações modificam a magnitude e a escala da informação que estes contêm e por esta razão qualquer análise posterior deve ser transformada de volta. Técnicas para avaliar o ajuste de dados a uma distribuição, inclusive como determinar se há normalidade para os dados originais ou transformados, serão apresentados no próximo tópico.

36 Distribuição Log-normal
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuição Log-normal Aplicações em hidrologia estudo de cheias e estiagens, do tamanho de sedimentos e de gotas de chuva Se x está em análise e y=ln(x) atende critérios da teoria do limite central, y~N(my,sy) FDP: Esperança, Variância, CV e Assimetria

37 Distribuição Log-Normal-3
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuição Log-Normal-3 Um 3o coeficiente (Q4) pode ser utilizado para permitir melhor ajuste: y=ln(x- Q4)~N(my,sy) FAP: Esperança, Variância, Assimetria onde .

38 Distribuição Exponencial
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuição Exponencial Se subintervalos de Poisson forem muito pequenos, a variável w que designa tais intervalos pode ser considerada contínua. A probabilidade de que se tenha w0 intervalos até que o próximo “sucesso” ocorra pode ser estimado por uma distribuição de Poisson para y=0. Onde Q1=l.w0 e l é a razão média de “sucessos” por subintervalo Tal distribuição se comporta como a distribuição geométrica

39 Distribuição Exponencial
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuição Exponencial FDP: FAP:

40 Christopher Souza: Distribuição de probabilidades
Distribuição Erlang Serve à estimativa do Q3-ésimo sucesso para w0 subintervalos, assim como a distribuição binomial negativa servia a variáveis discretas. Para Q3 =1, a distribuição obtida é a exponencial Para Q3 >>0, a distribuição obtida se aproxima da Normal

41 Distribuição Gama Aplicações em hidrologia
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuição Gama Aplicações em hidrologia precipitação diária, semanal, mensal e anual e de vazões médias anuais. Supondo que o número de “sucessos” (Q3) seja computado como uma variável contínua, substitui-se (Q3-1)! pela função gama FDP: Esperança e Variância estimadas como na função Erlang

42 Christopher Souza: Distribuição de probabilidades
Distribuição Gama-3 Um 3o coeficiente (Q4) pode ser utilizado para permitir melhor ajuste da função Gama aos dados FAP:

43 Christopher Souza: Distribuição de probabilidades
Distribuição Pearson Distribuições Pearson podem representar oito grandes famílias de distribuição, incluindo a Normal, a Gama e a Beta. Pearson tipo III (Gama-3) apresenta o maior número de aplicações no estudo de freqüência de variáveis hidrológicas, com destaque para vazões e precipitações máximas anuais. Log-Pearson III = Pearson III (log(x)). Log-Pearson III ~ log-normal, para g=0. Para g<0, a distribuição apresenta um limite superior que pode limitar a estimativa para valores extremos de vazões máximas

44 Distribuições de valores extremos
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuições de valores extremos Exatas Assintóticas Máximas (Gumbel, Fréchet, GEV) Mínimas (Gumbel, Weibull, GEV)

45 Distribuição exata de valores extremos
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuição exata de valores extremos Valores extremos (máximos ou mínimos) de uma amostra são também variáveis aleatórias com distribuições próprias relacionadas à distribuição da variável aleatória original. Para yi = max(xji), FAP: FDP:

46 Distribuição exata de valores extremos
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuição exata de valores extremos Para mínimos, FDP: FAP: Poucas são as distribuições com expressões analíticas de fácil dedução e por essa razão aproximações quanto à forma da distribuição precisam ser trabalhadas Ex: P(x=x0), para n ∞.

47 Distribuições assintóticas de valores extremos
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuições assintóticas de valores extremos Independentemente da distribuição da variável aleatória original, as FAPs de seus valores extremos podem convergir para formas funcionais Classificação de formas assintóticas: Tipo I: forma dupla exponencial, não existindo valor limite. Tipo II: forma exponencial simples. Tipo III: forma exponencial com limite. Tipo Distribuição da variável original Valores máximos I Exponencial, Gama, Normal, Log-Normal ou máximos do tipo I II Log-Pearson III, t de Student ou máximos do tipo II III Uniforme, Beta ou máximos do tipo III Valores mínimos Normal ou mínimos do tipo I t de Student ou mínimos do tipo II Uniforme, Exponencial, Beta, Log-Normal, Gama ou mínimos do tipo III

48 Distribuição Gumbel (máximos)
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuição Gumbel (máximos) Aplicações em hidrologia relações intensidade-duração- freqüência de precipitações intensas e vazões de enchentes. FDP: FAP: Esperança, Variância e Assimetria Inversa

49 Distribuição Fréchet (máximos)
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuição Fréchet (máximos) Conhecida como log-Gumbel Aplicações em hidrologia Eventos hidrológicos máximos. FDP: FAP: Esperança, Variância e CV Inversa

50 Distribuição GEV (máximos)
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuição GEV (máximos) Esperança (para ) Variância (para ) Assimetria Inversa Incorpora as três formas assintóticas se q30, a GEV representa a distribuição do tipo I (Gumbel). se q3>0, a GEV representa a distribuição do tipo II (Fréchet), definida para se q3<0, a GEV representa a distribuição do tipo III (Weibull), definida para FDP: FAP:

51 Distribuição Gumbel (mínimos)
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuição Gumbel (mínimos) Conhecida como log-Weibull FDP: FAP: Esperança, Variância e Assimetria Inversa

52 Distribuição Weibull (mínimos)
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuição Weibull (mínimos) FDP (para z0>q2, q1≥0 e q3 ≥0): FAP: Esperança (para q3 >1): Variância (para q3 >2): Assimetria Inversa

53 Distribuições de estatísticas amostrais
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuições de estatísticas amostrais Prerrogativas: Variáveis originais atendem aos critérios para aplicação do teorema do limite central Variáveis aleatórias e independentes Modelos: t de Student c2 F de Snedecor

54 Distribuição t de Student
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuição t de Student Aplicação para médias quando: não se conhece a variância populacional não se tem uma amostra com 30 ou mais dados Variável aleatória: FDP: Esperança: Variância: para n=n-1 e n>2

55 Distribuição c² Aplicação para variâncias Variável aleatória:
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuição c² Aplicação para variâncias Variável aleatória: FDP (~gama(0,5; n/2)): FAP: Esperança: Variância: Assimetria:

56 Distribuição F Aplicação para comparação de variâncias
Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Distribuição F Aplicação para comparação de variâncias Variável aleatória: Para std1>std2 FDP (p/ n1,n2 e F0>0): Esperança: