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Distribuição de Probabilidades Aula 04 Prof. Christopher Freire Souza Centro de Tecnologia Universidade Federal de Alagoas www.ctec.ufal.br/professor/cfs.

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1 Distribuição de Probabilidades Aula 04 Prof. Christopher Freire Souza Centro de Tecnologia Universidade Federal de Alagoas

2 Objetivos Promover o entendimento do que são modelos de distribuição de probabilidade Desenvolver habilidades para identificar quais modelos devem ser aplicados para cada estudo Desenvolver habilidades para elaborar modelos de distribuição de probabilidade. 2 Christopher Souza: Distribuição de probabilidades

3 Relevância do conteúdo Um modelo de distribuição de probabilidades pode ser usado para interpolar ou extrapolar probabilidades ou quantis não contidos nas observações amostrais. 3 Christopher Souza: Distribuição de probabilidades

4 Conteúdo Fundamentos Variáveis discretas Variáveis contínuas Estatísticas Amostrais 4 Christopher Souza: Distribuição de probabilidades

5 Fundamentos Conceitos Parâmetros Distribuições 5 Christopher Souza: Distribuição de probabilidades

6 Fundamentos (Conceitos) Variáveis aleatórias – Têm um único valor numérico para cada resultado de um experimento. Discretas – Assumem apenas valores inteiros. Contínuas – Podem assumir valor mensurável em escala contínua, i.e., sem saltos ou interrupções. Distribuição de probabilidades – descrição que apresenta a probabilidade para cada valor da variável aleatória. Observe que para todo valor individual de x, 0P(x) 1 e que para todos os valores possíveis de x,. A distribuição de probabilidade é freqüentemente expressa por um gráfico, tabela ou equação. 6 Christopher Souza: Distribuição de probabilidades

7 Fundamentos (Conceitos) Função massa de probabilidade Indica com que probabilidade a variável aleatória x assume o valor x o, i.e., P(x=x o ) = f x (x o ). A função massa de probabilidade se aplica a variáveis discretas. Função densidade de probabilidade Equivale à função massa de probabilidade, sendo que se aplica a variáveis contínuas..,., 7 Christopher Souza: Distribuição de probabilidades

8 Fundamentos (Conceitos) Função de distribuição acumulada de probabilidades Indica com que probabilidade a variável x é menor ou igual ao valor x o, i.e.,.,., ou 8 Christopher Souza: Distribuição de probabilidades

9 Fundamentos (Conceitos) Modelos de distribuição de probabilidades Equações (P(x=x 0 )=f(x, 1, 2,..., n )) que sintetizam o comportamento de variáveis aleatórias (x) quanto à probabilidade de ocorrência de seus valores (x 0 ). Os coeficientes das equações ( 1, 2,..., n ) possibilitam a particularização de seu uso para uma amostra de dados. Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 9 Distribuição Normal

10 Fundamentos (Parâmetros) Particularização de modelos de distribuição por meio da estimação de coeficientes, a partir da estimação dos parâmetros pelo cálculo da esperança matemática Esperança matemática, também conhecida como valor esperado (E[x] ou μ), representa o valor médio de uma variável aleatória x, calculado com as probabilidades de ocorrência dos valores de x como ponderadores 10 Christopher Souza: Distribuição de probabilidades

11 Esperança Matemática (Propriedades) E[c]=c E[g(X)]=g(x i ).p X (x i ) ou E[g(X)]= g(x i ).f X (x i )dx E[c.g(X)]=c.E[g(X)] E[c 1.g 1 (X)± c 2.g 2 (X)]=c 1.E[g 1 (X)] ± c 2.E[g 2 (X)] E[g 1 (X)]E[g 2 (X)], se g 1 (X)g 2 (X) Estimativa de parâmetros por meio da formulação: 11 Christopher Souza: Distribuição de probabilidades Parâmetroak Média01 Variância 2 Assimetria 3 Curtose 4

12 Esperança Matemática (Propriedades) =E[X]= x i.p X (x i ) = Var[X]= 2 X = E[(X- ) 2 ]=E[(X-E[X]) 2 ]=E[X 2 ]–(E[X]) 2 Var[c]=0 Var[c.X]=c 2.Var[X] Var[c.X+d]= c 2.Var[X] Cov[X,Y]= XY =E[(X- X ) (Y- Y )]=E(XY) – X. Y Var[X±Y]= Var[X]+ Var[Y] ±2Cov[X,Y] XY X. Y 12 Christopher Souza: Distribuição de probabilidades

13 Função geratriz de momentos Função geratriz Primeiro momento: Expansão por série de Maclaurin 13 Christopher Souza: Distribuição de probabilidades

14 Modelos para variáveis discretas Binomial Geométrica Pascal ou Binomial Negativa Poisson Uniforme 14 Christopher Souza: Distribuição de probabilidades

15 Distribuição binomial Experimento de Bernoulli: resulta em apenas um dos 2 tipos de respostas as quais são dicotômicas. x i ={0,1} Ex: sim/não, chuva/não-chuva, inunda/não-inunda Processo de Bernoulli: resulta da repetição de experimentos de Bernoulli, cujos resultados são independentes e p é a probabilidade de obter o resultado sucesso P(qq 0 )=p, e logo, P(q

16 Distribuição binomial Considere y=número de sucessos em n repetições do experimento y=x i ={0,1,2,3,…,n} Supondo que o interesse é analisar a probabilidade de obter y 0 sucessos em n observações, tem-se: Resultados independentes e ordem não importa (combinação) Observe que os coeficientes são p e n Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 16

17 Distribuição binomial Função acumulada de probabilidades (fap): Valor Esperado: E(y)=np Variância: VAR[y]=np(1-p) Assimetria: Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 17

18 Distribuição binomial Confiabilidade Probabilidade de não ocorrer sucesso em um período de n intervalos de tempo P(y=0)=(1-p) n Risco Probabilidade de ocorrer pelo menos um sucesso em um período de n intervalos de tempo R=1-P(y=0)=1-(1-p) n Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 18

19 Distribuição geométrica Em hidrologia é usual o interesse em estimar o número médio de experimentos (observações) para que se obtenha o primeiro sucesso w=número de experimentos de Bernoulli necessários para obtenção do primeiro sucesso Portanto, se a variável w assume o valor w o, isso significa que ocorreram (w o -1) falhas antes da ocorrência do sucesso, exatamente no w o -ésimo experimento. Neste caso, a função densidade de probabilidade assume a equação: Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 19

20 Distribuição geométrica Função acumulada de probabilidades (fap): Valor Esperado: E(w)=1/p Variância: Assimetria: 20 Christopher Souza: Distribuição de probabilidades

21 Distribuição geométrica Tempo de retorno (Tr) Conceito: Intervalo médio de recorrência (ARI) de sucesso é obtido do cálculo de E[w] Se o intervalo de dados for anual, Tr é expresso em anos Para o estudo de recorrência de mínimas, estima-se o tempo de retorno por Tr=1/(1-p), dado que p=P(qq 0 ) Risco hidrológico Utilizando o conceito de risco apresentado tem-se: R=1-P(y=0)=1-(1-1/Tr) n, para estudo de cheias R=1-P(y=0)=1-(1/Tr) n, para estudo de estiagens Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 21

22 Distribuição binomial negativa (Pascal) Permite estimar a probabilidade de ocorrência do y 0 - ésimo sucesso na n-ésima repetição de um experimento de Bernoulli Formulação composta pela estimativa da probabilidade de obter (y 0 -1) sucessos em (n-1) observações, e sucesso na próxima observação O termo negativa vem da inversão do interesse de análise (número de observações para y 0 sucessos) em relação à distribuição binomial (número de sucessos para n observações) Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 22

23 Distribuição binomial negativa (Pascal) Função massa de probabilidades (fmp) Valor Esperado: E(n)=y 0 /p Variância: Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 23

24 Distribuição de Poisson Processo de Poisson: contagens de sucessos em intervalos (de tempo ou comprimento) que podem ser subdivididos em subintervalos suficientemente pequenos tal que: A probabilidade de mais de um sucesso em um subintervalo seja zero A probabilidade de um sucesso em um subintervalo seja a mesma para todos os subintervalos e proporcional ao comprimento do intervalo O sucesso em cada subintervalo seja independente de observações em outros subintervalos Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 24

25 Distribuição de Poisson Para n>50 e p <0,1, Poisson binomial. Variável aleatória de Poisson (y) designa o número de sucessos para n observações (ou subintervalos). Mostra-se necessário conhecer apenas o número esperado ( 1 ) de sucessos para o período em análise. FMP: Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 25

26 Distribuição de Poisson FAP: E[y]=VAR[y]= 1 Assimetria: Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 26

27 Distribuição Uniforme Processo eqüiprovável com n resultados possíveis: P(x=x o ) =1/n, onde a x b, sendo a e b os valores extremos de x e n=(b-a+1) FAP: E[x]=(a+b)/2 Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 27

28 Modelos para variáveis contínuas Uniforme Normal Log-Normal Exponencial Erlang Gama Pearson Distribuições de valores extremos Exatas Assíntoticas Máximas (Gumbel, Fréchet, GEV) Mínimas (Gumbel, Weibull, GEV) 28 Christopher Souza: Distribuição de probabilidades

29 Distribuição Uniforme Processo eqüiprovável com n resultados possíveis: P(x=x o ) =1/n, onde a x b, sendo a e b os valores extremos de x e n=(b-a+1) FAP: E[x]=(a+b)/2 Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 29

30 Distribuição Uniforme Geração de números aleatórios para qualquer modelo de distribuição Define-se a=0 e b=1, que equivalem ao intervalo de valores possíveis de probabilidade. Gera-se números aleatórios (rand) para o intervalo [a,b]. Aplicam-se os valores obtidos nas f -1 (x) do modelo de distribuição que se quer ter números aleatórios gerados, como se fossem probabilidades. Simulação de Monte Carlo Estudo de sensibilidade de modelos à definição de coeficientes Repete-se a geração de números aleatórios para servir de coeficiente de modelos numéricos Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 30

31 Distribuição Normal Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 31 Variável aleatória com variação simétrica 2 = = parâmetro de posição 1 = = parâmetro de escala FDP: FAP:

32 Distribuição Normal Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 32 Aplicações em hidrologia vazões médias anuais de pequenas bacias com pequenos aqüíferos alturas anuais de precipitação onde a sazonalidade seja pouco marcada e onde não exista prevalência de precipitações de origem frontal Distribuição Normal padrão ( =0, =1) - Tabela Escore z

33 Distribuição Normal (Binomial pela Normal) Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 33 Correção para continuidade usa-se o intervalo x-0,5 a x+0,5 na distribuição normal como um representante do valor discreto x na distribuição binomial Ex: P(x>15), onde x segue a distribuição binomial, com e conhecidos? P (x+0,5>15,5) pela distribuição normal, via escore z

34 Distribuição Normal (Teorema do limite central) Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 34 Dada a disponibilidade de n dados da variável aleatória independente x, com média µ, desvio σ e distribuição não exageradamente não-normal, a distribuição de médias de m valores de x segue a distribuição normal com média µ e desvio σ/ se n for grande o suficiente Quanto maior n, maior a aproximação da distribuição de médias amostrais da distribuição normal. Se x~N(, ), a aplicação do teorema independe de n. Se n 30, obtém-se uma aproximação razoável à normal Para x muito não-normal, sugere-se n >>30. Quando n>0,05N, recomenda- se usar como desvio

35 Distribuição Normal (Transformações normalizantes) Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 35 Equação de Box-Cox: onde i designa a posição do dado na amostra e a potência normalizante. Quando tende a zero, a transformação se aproxima da aplicação de ln. Um critério para examinar o valor de pode ser avaliar quando 0. Transformações modificam a magnitude e a escala da informação que estes contêm e por esta razão qualquer análise posterior deve ser transformada de volta. Técnicas para avaliar o ajuste de dados a uma distribuição, inclusive como determinar se há normalidade para os dados originais ou transformados, serão apresentados no próximo tópico.

36 Distribuição Log-normal Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 36 Aplicações em hidrologia estudo de cheias e estiagens, do tamanho de sedimentos e de gotas de chuva Se x está em análise e y=ln(x) atende critérios da teoria do limite central, y~N( y, y ) FDP: Esperança, Variância, CV e Assimetria

37 Distribuição Log-Normal-3 Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 37 Um 3 o coeficiente ( 4 ) pode ser utilizado para permitir melhor ajuste: y=ln(x- 4 )~N( y, y ) FAP: Esperança, Variância, Assimetria onde.

38 Distribuição Exponencial Se subintervalos de Poisson forem muito pequenos, a variável w que designa tais intervalos pode ser considerada contínua. A probabilidade de que se tenha w 0 intervalos até que o próximo sucesso ocorra pode ser estimado por uma distribuição de Poisson para y=0. Onde 1 =. w 0 e é a razão média de sucessos por subintervalo Tal distribuição se comporta como a distribuição geométrica Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 38

39 Distribuição Exponencial FDP: FAP: Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 39

40 Distribuição Erlang Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 40 Serve à estimativa do 3 -ésimo sucesso para w 0 subintervalos, assim como a distribuição binomial negativa servia a variáveis discretas. Para 3 =1, a distribuição obtida é a exponencial Para 3 >>0, a distribuição obtida se aproxima da Normal

41 Distribuição Gama Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 41 Aplicações em hidrologia precipitação diária, semanal, mensal e anual e de vazões médias anuais. Supondo que o número de sucessos ( 3 ) seja computado como uma variável contínua, substitui-se ( 3 -1)! pela função gama FDP: Esperança e Variância estimadas como na função Erlang

42 Distribuição Gama-3 Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 42 Um 3 o coeficiente ( 4 ) pode ser utilizado para permitir melhor ajuste da função Gama aos dados FAP:

43 Distribuição Pearson Distribuições Pearson podem representar oito grandes famílias de distribuição, incluindo a Normal, a Gama e a Beta. Pearson tipo III (Gama-3) apresenta o maior número de aplicações no estudo de freqüência de variáveis hidrológicas, com destaque para vazões e precipitações máximas anuais. Log-Pearson III = Pearson III (log(x)). Log-Pearson III ~ log-normal, para =0. Para <0, a distribuição apresenta um limite superior que pode limitar a estimativa para valores extremos de vazões máximas Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 43

44 Distribuições de valores extremos Exatas Assintóticas Máximas (Gumbel, Fréchet, GEV) Mínimas (Gumbel, Weibull, GEV) Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 44

45 Distribuição exata de valores extremos Valores extremos (máximos ou mínimos) de uma amostra são também variáveis aleatórias com distribuições próprias relacionadas à distribuição da variável aleatória original. Para y i = max(x ji ), FAP: FDP: Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 45

46 Distribuição exata de valores extremos Para mínimos, FDP: FAP: Poucas são as distribuições com expressões analíticas de fácil dedução e por essa razão aproximações quanto à forma da distribuição precisam ser trabalhadas Ex: P(x=x 0 ), para n. Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 46

47 Distribuições assintóticas de valores extremos Independentemente da distribuição da variável aleatória original, as FAPs de seus valores extremos podem convergir para formas funcionais Classificação de formas assintóticas: Tipo I: forma dupla exponencial, não existindo valor limite. Tipo II: forma exponencial simples. Tipo III: forma exponencial com limite. Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 47 TipoDistribuição da variável original Valores máximos IExponencial, Gama, Normal, Log-Normal ou máximos do tipo I IILog-Pearson III, t de Student ou máximos do tipo II IIIUniforme, Beta ou máximos do tipo III Valores mínimos INormal ou mínimos do tipo I IIt de Student ou mínimos do tipo II IIIUniforme, Exponencial, Beta, Log-Normal, Gama ou mínimos do tipo III

48 Distribuição Gumbel (máximos) Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 48 Aplicações em hidrologia relações intensidade-duração- freqüência de precipitações intensas e vazões de enchentes. FDP: FAP: Esperança, Variância e Assimetria Inversa

49 Distribuição Fréchet (máximos) Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 49 Conhecida como log-Gumbel Aplicações em hidrologia Eventos hidrológicos máximos. FDP: FAP: Esperança, Variância e CV Inversa

50 Distribuição GEV (máximos) Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 50 Incorpora as três formas assintóticas se 3 0, a GEV representa a distribuição do tipo I (Gumbel). se 3 >0, a GEV representa a distribuição do tipo II (Fréchet), definida para se 3 <0, a GEV representa a distribuição do tipo III (Weibull), definida para FDP: FAP: Esperança (para ) Variância (para ) Assimetria Inversa

51 Distribuição Gumbel (mínimos) Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 51 Conhecida como log-Weibull FDP: FAP: Esperança, Variância e Assimetria Inversa

52 Distribuição Weibull (mínimos) Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 52 FDP (para z 0 > 2, 1 0 e 3 0 ): FAP: Esperança (para 3 >1 ): Variância (para 3 >2 ): Assimetria Inversa

53 Distribuições de estatísticas amostrais Prerrogativas: Variáveis originais atendem aos critérios para aplicação do teorema do limite central Variáveis aleatórias e independentes Modelos: t de Student 2 F de Snedecor 53 Christopher Souza: Distribuição de probabilidades

54 Distribuição t de Student Aplicação para médias quando: não se conhece a variância populacional não se tem uma amostra com 30 ou mais dados Variável aleatória: FDP: Esperança: Variância: para n e >2 Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 54

55 Distribuição ² Aplicação para variâncias Variável aleatória: FDP (~gama(0,5; /2)): FAP: Esperança: Variância: Assimetria: Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 55

56 Distribuição F Aplicação para comparação de variâncias Variável aleatória: Para std 1 >std 2 FDP (p/ 1, 2 e F 0 >0): Esperança: Christopher Souza: Distribuição de probabilidades 56


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