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UNESP – Universidade Estadual Paulista Campus de Rio Claro Disciplina: Hidrogeologia 2010.

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Apresentação em tema: "UNESP – Universidade Estadual Paulista Campus de Rio Claro Disciplina: Hidrogeologia 2010."— Transcrição da apresentação:

1 UNESP – Universidade Estadual Paulista Campus de Rio Claro Disciplina: Hidrogeologia 2010

2 O QUE É UM MODELO ? Modelo é uma ferramenta desenvolvida para representar uma versão simplificada da realidade. WANG & ANDERSON (1982)

3 MODELOS A principal motivação para a utilização de modelos matemáticos é realizar previsão de certos fenômenos. REALIDADE MODELO PREVISÃO ?

4 MODELOS Qual a necessidade de se fazer previsões em Hidrogeologia? Rebaixamento do lençol freático em minas Migração de contaminantes em água subterrâneas Elevação da potenciometria após a construção de barragens Impacto gerado pela explotação de aquíferos para abastecimento

5 Well Locations and Pumping Rates ShallowDeep Water Levels in the Sandstone Aquifer (feet above sea level) Previsão do impacto na potenciometria induzida pela explotação excessiva de aquíferos MODELOS

6 Previsão do impacto na potenciometria induzida pela explotação excessiva de aquíferos

7 MODELOS Previsão de migração de plumas de contaminantes

8 MODELOS Previsão de migração de plumas de contaminantes

9 Modelos físicos Modelos analógicos Modelos matemáticos TIPOS DE MODELOS

10 MODELOS O modelo físico ou modelo reduzido constitui a representação em escala laboratorial dos processos estudados. Normalmente este tipo de modelagem física é utilizado auxiliar no entendimento de fenômenos complexos e complementar os resultados dos modelos matemáticos. Possuem a vantagem de serem realizados através de experimentos controlados em laboratório.

11 Modelos físicos Fonte:

12 Modelos físicos

13 Modelos analógicos Diversos fenômenos na natureza obedecem o mesmo princípio físico e, são portanto, matematicamente idênticos. Lei de Darcy Lei de Ohm Lei de Fourrier Em virtude da existência de uma analogia matemática e física entre as leis de Ohm e Darcy, circuitos elétricos foram empregados no passado para representar e simular explotação de aquíferos. Tais modelos consistem na representação de certos fenômenos a partir de outros em menor escala, por analogia com as leis físicas que regem estes fenômenos (WANG & ANDERSON, 1982).

14 Modelos analógicos A existência de similaridades nas formulações matemáticas que descrevem o fluxo de corrente elétrica (Lei de Ohm) com aquelas que descrevem o fluxo de água subterrânea (Lei de Darcy) permitiu que o primeiro fenômeno fosse utilizado para a simulação do segundo.

15 Modelos analógicos Conjunto de resistores e capacitores elétricos representando um aquífero.

16 Modelos analógicos

17 Modelos Matemáticos Soluções analíticas Soluções analíticas Soluções por aproximação numérica Soluções por aproximação numéricaTipos: Diferenças finitas Elementos finitos Volumes finitos Volumes finitos Elementos de contorno Elementos analíticos

18 Modelos Matemáticos Os modelos matemáticos são representados por um conjunto de expressões matemáticas compostas pelos seguintes elementos: Equações Governantes Equações Governantes Condições de contorno e iniciais Condições de contorno e iniciais

19 Equações Governantes As Equações Governantes representam a estrutura básica dos Modelos Matemáticos, constituindo representações matemáticas que descrevem um fenômeno físico, tais como fluxo de corrente elétrica, fluxo térmico, propagação de deformação em mecânica e fluxo de água subterrânea (WANG e ANDERSON, 1982). Patankar (1980) define as equações governantes como equações diferenciais parciais que satisfazem um princípio de conservação. Diante deste princípio, as formulações de um modelo matemático, em essência, trabalham com balanço de massa ou energia.

20 Equações Governantes Para Wang & Anderson (1982), a equação governante que representa o fluxo de água subterrânea, em sua forma analítica, é derivado da combinação da Lei de Darcy com a conservação de massa, como expresso abaixo: Onde: Ss é o armazenamento especifico W é a recarga Lei de Darcy:

21 Condições de contorno Presentes nas fronteiras do Modelo, as condições de contorno são elementos físicos que representam a interação entre os processos no interior do modelo e sua parte externa. A princípio, um modelo pode possuir um número infinito de soluções. As condições de contorno direcionam as simulações para a solução única do modelo.

22 Condições de contorno As condições de contorno podem ser agrupadas em 3 tipos: Condição de primeiro tipo Condição de segundo tipo Condição de terceiro tipo

23 Condições de primeiro tipo Exemplos de condição de carga hidráulica especificada (primeiro tipo). Tipo I - Contorno de carga hidráulica especificada ou carga hidráulica constante (condição de Dirichlet), que pode ser matematicamente representado pela expressão: h(x,y,z,t) = conhecido

24 Condições de primeiro tipo H = 10 m

25 Condições de segundo tipo onde: dh (x,y,z,t) é a variação elementar tridimensional e temporal de carga hidráulica, dn é a variação elementar de distância perpendicular à direção de fluxo. O fluxo especificado pode ser nulo ou não. A condição de fluxo nulo é aplicável quando existe um contorno impermeável, uma linha de simetria, uma linha de fluxo, ou seja, onde inexista fluxo transversal a este contorno. É comum que se use este tipo de condição de contorno em simulações de dimensões reduzidas, situação onde não se conhece a extensão real do aquífero, sendo a forma deste limite delineada a partir de uma linha de fluxo obtida a partir da elaboração da potenciometria local. Reilly et al (1987), exemplifica lagos e rios como tipos de condições de contorno de fluxo especificado (não nulo), desde que estes tenham sua interação com o aqüífero bem conhecida: q = f(x,y,z,t)

26 Condições de segundo tipo

27

28 Condições de terceiro tipo Um exemplo comumente usado para este tipo de contorno é aquele no qual existe uma camada semipermeável separando dois aqüíferos ou um aqüífero e um corpo de água superficial. O fluxo que passa deste corpo aquoso sobrejacente para o aqüífero, através da camada semipermeável é expressa pela equação de Darcy: Onde: q é a o volume de água que atravessa a camada semipermeável em virtude da diferença de carga hidráulica, K é a condutividade hidráulica da camada semiconfinada, H-h é a diferença de carga entre o aqüífero livre e o semiconfinado, b é a espessura da camada semiconfinante

29 Condições de terceiro tipo

30 Condições iniciais As condições iniciais são componentes essenciais em modelos transientes. A simulação em regime transiente requer, no início da simulação, uma distribuição de carga hidráulica, uma vez que os valores de cargas hidráulicas calculadas em um determinado passo de tempo são dependentes dos valores de carga hidráulica do passo anterior.

31 Protocolos para Aplicação de Modelos Matemáticos (PAMMs)

32 1)Compilação de informações de relevância; Informações referentes a Geologia Regional e Local, Geomorfologia, Climatologia, Dados de investigações geológicas previamente existentes; 2) Elaboração de um Modelo Conceitual; A segunda etapa é representada pela formulação de modelo hidrogeológico conceitual (formulação teórica sobre a Configuração do domínio), norteado pelo levantamento de informações relevantes existentes do domínio a ser simulado, tais como aquelas relacionadas aos aspectos geológicos, propriedades hidráulicas e potenciometria da área a ser simulada. Etapas de modelagem numérica de fluxo

33 MODELO CONCEITUAL Arenito, Siltito, Basalto Silte, argila (Unidade semi-confinante) ROCHA (CAMADA 3) SUPERFICICAL Areia e conglomerado (CAMADA 1) Layer 1 Layer 2 Layer 3 Areia e conglomerado (CAMADA 2)

34 Etapas de modelagem numérica de fluxo Modelo Conceitual Sedimentos aluvionares Siltitos da Fm. Rio Claro Diabásio

35 Modelo 3) Simulação numérica de fluxo Stream –aquifer System Representation of Stream –aquifer System River Surface Water Table Streambed River Stage (HRIV) Impermeable Walls M W RBOT Land Surface Head in Cell (h) Realidade

36 3) Simulação numérica de fluxo Representação do Modelo conceitual em línguagem matemática, no ambiente do software. Etapas de modelagem numérica de fluxo

37 4) Calibração do Modelo Ajustes nos parâmetros do modelo (condutividade hidráulica, recarga, espessura do aquífero, descarga no rio) até que exista uma correspondência em nível satisfatório entre os os valores calculados pela simulação e os valores reais de carga hidráulica, vazão ou concentração. Etapas de modelagem numérica de fluxo

38 3) Calibração Etapas de modelagem numérica de fluxo Coeficiente de correlação linear ® entre os valores de cargas hidráulicas reais e calculadas Raiz média do erro residual quadrático (RMS) Média absoluta do resíduo (MA) Variância do residuo (VAR) Resíduo Médio (M) cali é o valor de carga hidráulica calculada, obsi é o valor de carga hidráulica observada, é o valor médio de carga hidráulica calculada, é o valor médio de carga hidráulica observada.

39 3) Calibração Etapas de modelagem numérica de fluxo

40 6) Previsão Se o modelo matemático representa com fidelidade satisfatória a realidade, este pode ser empregado para realizar previsões do comportamento do aquífero ao longo do tempo. Etapas de modelagem numérica de fluxo

41 Modelos matemáticos Os Modelos analíticos fornecem valores exatos do problema. Contudo pressupõe um meio isotrópico, homogêneo, com geometrias simples do aquífero (retângulos, elipses, quadrados). Os Modelos numéricos fornecem valores aproximados do problema. Contudo, possuem a vantagem de permitirem a representação de meio heterogêneos, anisotrópicos e geometrias complexas dos aquíferos.

42 Modelos Matemáticos Soluções analíticas Soluções analíticas Soluções por aproximação numérica Soluções por aproximação numéricaTipos: Diferenças finitas Diferenças finitas Elementos finitos Elementos finitos Volumes finitos Volumes finitos Elementos de contorno Elementos de contorno Elementos analíticos Elementos analíticos

43 Modelos matemáticos Solução analítica de Toth (1962):

44 Modelos numéricos - Discretização

45 Conceitos básicos em diferenças finitas Considere a equação governante do fluxo de águas subterrâneas no meio poroso: Se o meio é isotrópico, então K xx = K yy = K zz e, deste modo, podemos retirar os valores de condutividade hidráulica da equação, o que reduz a expressão para a Expressão Laplaciana.

46 Conceitos básicos em diferenças finitas Se simplificarmos o problema 3D para 2D: Podemos aproximar a equação de laplace através de seu truncamento para equações algébrica simples.

47 Conceitos básicos em diferenças finitas h x DxDx DxDx DxDx

48 O mesmo tipo de aproximação é empregada na direção Y: Se o Dx = Dy, então, a equação de Laplace para o ponto (i,j) simplifica para:

49 Conceitos básicos em diferenças finitas A solução do problema através de métodos numéricos é realizada através de métodos iterativos. (i,j-1) (i,j) (i+1,j) (i-1,j) (i,j+1)

50 Modelos matemáticos Solução numérica: É considerado um conjunto finito de pontos em uma malha regular. Se localiza os pontos (ou nós) mediante suas coordenadas i,j

51 Conceitos básicos em diferenças finitas Para i=2,j=2 Para i=2,j=3 Para i=3,j=2 Para i=3,j=3

52 Métodos iterativos A solução do problema através de métodos numéricos é realizada através de métodos iterativos. Os métodos iterativos fazem aproximações sucessivas até que exista a convergência do modelo, isto é, até que a diferença entre duas iterações sucessivas seja menor que o critério de convergência.

53 15 Utilizando a equação acima, resolva o problema abaixo, utilizando o método iterativo de Jacobi, empregando um critério de convergência de 0,01. ? ? ?? Método iterativo de Jacobi

54 15 13,125 3ª iteração 13,125 Resíduo 2 = 13, ,250 = 1,875 14,993 11ª iteração 14,993 Resíduo 11 = 14, ,985 = 0,007 14,985 10ª iteração 14,985 Resíduo 10 = 14, ,971 = 0,015 14,98 9ª iteração 14,980 Resíduo 9 = 14, ,941 = 0,030 14,941 8ª iteração 14,941 Resíduo 8 = 14, ,883 = 0,059 14,883 7ª iteração 14,883 Resíduo 7 = 14, ,766 = 0,117 14,766 6ª iteração 14,766 Resíduo 6 = 14, ,531 = 0,234 14,531 5ª iteração 14,531 Resíduo 5 = 14, ,063 = 0,469 14,063 4ª iteração 14,063 Resíduo 4 = 14, ,125 = 0,938 11,250 2ª iteração 11,250 Resíduo 2 = 11,250 -7,500 = 3,500 7,500 1ª iteração 7,500 Resíduo 1 = 7,5 – 0 = 7,500 CC = 0, Iteração R e s í d u o Método iterativo de Jacobi

55 Neste método, ao contrário do Jacobi, são usados dois resultados já calculados dentro da iteração. Método iterativo de Gauss-Siedel

56 15 7,500 9,357 12,188 1ª iteração 7,500 9,357 12,188 13,594 14,297 2ª iteração 12,18813,594 14,297 14,648 14,824 3ª iteração 14,297 13,594 14,684 14,824 14,912 14,956 14,978 14,989 14,995 14,997 14,998 14,999 14,824 14,912 14,956 4ª iteração 14,956 14,978 14,989 5ª iteração 14,989 14,995 14,997 6ª iteração 14,997 14,998 14,999 7ª iteração CC = 0,010 Máximo Resíduo 1 = 12,188 Máximo Resíduo 2 = 4,688 Máximo Resíduo 3 = 2,109 Máximo Resíduo 4 = 0,507 Máximo Resíduo 5 = 0,312Máximo Resíduo 6 = 0,033Máximo Resíduo 7 = 0, Iteração Resíduo máximo Método iterativo de Gauss-Siedel

57 Neste método são empregados dois resultados já calculados dentro da iteração e o resíduo é multiplicado por fator de relaxação, w (valores entre 1 e 2), o que promove a aceleração da convergência do modelo. Método iterativo de SOR (Successive Over Relaxation)

58 15 CC = 0,010 w = 1,1 8,25010,519 14,035 13,21014,691 14,926 15,00915,013 15,038 15,00615,011 15,005 8,250 10,519 14,035 1ª iteração 13,210 14,691 14,926 2ª iteração 15,099 15,013 15,038 3ª iteração 15,006 15,011 15,005 4ª iteração 15,005 15,002 15,000 5ª iteração Iteração Resíduo Máximo 15,00515,002 15,000 Máximo Resíduo 1 = 14,035 Máximo Resíduo 2 = 4,960Máximo Resíduo 3 = 1,799Máximo Resíduo 4 = -0,033 Máximo Resíduo 5 = -0,009 Método iterativo de SOR (Successive Over Relaxation)

59 Diferenças Finitas EXEMPLO Suponha um hipotético aquífero aluvial, delimitado lateralmente por rochas impermeáveis do Embasamento Cristalino. O aquífero recebe influxo de água de um lago artificial a montante e descarrega em um rio à jusante. Calcule com o Excel, empregando técnicas de Diferenças Finitas, a distribuição de carga hidráulica entre o rio e o lago, admitindo-se que o aquífero seja homogêneo e isotrópico.

60 Diferenças Finitas

61 Células fictícias

62 Diferenças Finitas

63


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