Análise Dinâmica de Mecanismos

Introdução Projeto de máquinas Cinemática => Movimento e geometria Dinâmica => Força e movimento Cálculo de tensões e deformações Modos de falha => Fratura por tensão e interferência por deflexão Definição dos esforços atuantes Mecanismos com altas velocidades como: Motores Eixos Rotores Considera-se a inércia dos mecanismos. A flutuação das forças de natureza dinâmica são as causadoras de fadiga.

2ª Lei de Newton e Principio de D’Alembert Relação entre força e movimento Dinâmica da partícula 2º Lei de Newton Principio de D’Alembert

Equações de Newton-Euller Relação entre força e movimento Dinâmica dos corpos rígidos (elementos de máquinas) Massa distribuída Hipótese de rigidez ideal Equações escritas para o movimento do centro de massa Equações escritas para o movimento em torno de um ponto genérico P.

Equações de Newton-Euller Metodologia de solução de problemas Aplicação das equações e sua solução a cada componente do sistema Lado direito da equações = zero => Equações de equilíbrio dinâmico Classes de problemas Cálculo das acelerações por relações cinemáticas Lado direito das equações é conhecido Solução de um conjunto de equações algébricas O movimento dos corpos não é conhecido Acelerações => Segunda derivada das variáveis de posição (coordenadas generalizadas) Forças e momentos => Função das variáveis de posição Conjunto de equações diferenciais => Eqs. do movimento Vibrações de sistemas dinâmicos e dinâmica de multicorpos Dinâmica de máquinas Movimento de um componente de “entrada” é conhecido => Problema da primeira classe

Problemas solúveis utilizando dinâmica da partícula ou sistema de partículas Problemas que não envolvam rotação Peças tratadas como partículas Análise cinemática das posições relativas das peças Obtenção das acelerações

Problemas solúveis utilizando dinâmica da partícula Exemplo: Um veículo com peso 4000 lb possui distância entre eixos b + c = 90 in com posição do centro de massa b = 40 in atrás do eixo dianteiro. Quando parado em superfície plana o centro de massa está localizado a 25 in acima do solo.O raio das rodas r = 12,5 in e o coeficiente de atrito entre os pneus e o solo vale m = 0,8. Pede-se: Calcule a relação entre a máxima aceleração desenvolvida pelo veículo e a aceleração da gravidade considerando tração traseira e tração dianteira Calcule a máxima desaceleração que pode ser obtida em caso de frenagem considerando o proporcionamento ótimo do esforço de frenagem.

Problemas solúveis utilizando dinâmica da partícula Diagrama de corpo livre Primeira configuração => Tração traseira Sentido positivo => sentido da aceleração Abordagem do equilíbrio dinâmico M aG = Força de inércia FI => dir. oposta a da aceleração Eqs. do equilíbrio

Problemas solúveis utilizando dinâmica da partícula

Problemas solúveis utilizando dinâmica da partícula Diagrama de corpo livre Segunda configuração => Tração dianteira Sentido positivo => sentido da aceleração Abordagem do equilíbrio dinâmico M aG = Força de inércia FI => dir. oposta a da aceleração Eqs. do equilíbrio

Problemas solúveis utilizando dinâmica da partícula

Problemas solúveis utilizando dinâmica da partícula Diagrama de corpo livre Terceira configuração => Frenagem com proporção ótima Sentido positivo => sentido contrário ao da aceleração Abordagem do equilíbrio dinâmico M aG = Força de inércia FI => dir. oposta a da aceleração Eqs. do equilíbrio

Problemas solúveis utilizando dinâmica da partícula

Volantes de Inércia Dispositivos utilizados para o armazenamento de energia na forma de energia cinética de rotação. Suaviza as flutuações de velocidades em motores. Utilizado em prensas, tesouras rotativas (siderúrgicas), etc.

Volantes de Inércia Coeficiente de flutuação de velocidade

Balanceamento e Forças Harmônicas Máquinas rotativas e alternativas podem produzir forças periódicas de magnitudes elevadas, como em: Motores (Combustão interna, elétricos, etc) Compressores Geradores Turbinas Bombas Ventiladores Objetivo de análise Reduzir a magnitude das forças flutuantes Efeito de fadiga Transmissão para a base Comprometimento ambiental Desconforto

Balanceamento e Forças Harmônicas Máquinas funcionando em altas velocidades 2 tipos de forças atuantes => Forças externas e forças de inércia Forças de inércia Peças submetidas a acelerações elevadas Magnitude maior que as forças externas Consideração para dimensionamento Função das características de inércia e do movimento Potencial de redução Redução das massas e momentos de inércia Substituição de materiais Otimização geométrica Redução dos níveis de aceleração Acelerações angulares geralmente não podem ser reduzidas Acelerações lineares podem ser reduzidas => Reposicionamento dos centros de massa em direção a pontos de aceleração nula => Balanceamento Forças externas Associadas à função da máquina e seu acionamento Pouca coisa pode ser feita para sua minimização

Balanceamento em 1 Plano

Balanceamento em 1 Plano Equilíbrio estático Equilíbrio dinâmico

Balanceamento em 1 Plano O balanceamento pode ser realizado por adição de massa (em oposição de fase) ou por remoção de massa (em fase). mA rA = mB rB (acréscimo) mA rA = mC rC (remoção)

Balanceamento em mais de 1 Plano Se a distribuição de massa do rotor não é plana => Forças e momentos flutuantes O balanceamento estático elimina o efeito das forças radiais A excitação provocada pelos momentos continua sendo importante

Balanceamento em mais de 1 Plano Desbalanceamento no rotor da esquerda => uP = mP rP Magnitude da força de desbalanceamento => FP = uP w2 Desbalanceamento no rotor da direita => uQ = mQ rQ Magnitude da força de desbalanceamento => FQ = uQ w2

Balanceamento em mais de 1 Plano Estabelecimento do sistema de referência com Z ao longo do eixo e X na direção de uP

Balanceamento em mais de 1 Plano

Balanceamento em mais de 1 Plano

Balanceamento em mais de 1 Plano

Balanceamento em mais de 1 Plano uA = 0,08 kg m em 0º uB = 0,03 kg m em 70º uC = 0,04 kg m em -115º uD = 0,03 kg m em 160º O rotor de uma turbina a gás possui 4discos posicionados nos planos A, B, C e D como mostrado na figura, O eixo gira sobre mancais posicionados nos planos P e Q. Os desbalanceamentos presentes estão listados acima de acordo com o sistema de referência mostrado na figura. Pede-se: a] Calcular as forças nos mancais quando o rotor gira a 15000 rpm. b] O rotor será balanceado pela remoção de material do disco A em um raio de 0,03 m e do disco D em um raio de 0,02 m. Calcule a massa a ser removida em cada disco e a posição angular da remoção.

Balanceamento em mais de 1 Plano

Equilíbrio dinâmico de sistemas articulados Resolver o problema cinemático Determinar as forças decorrentes das juntas e as forças de inércia. Montar o diagrama de corpo livre, considerando um referencial pré definido. Para mecanismos planos escrever as equações de equilíbrio de forças e a equação de equilíbrio de momento. Resolva o sistema de equações lineares.

Equilíbrio dinâmico de sistemas articulados Exemplo: Os componentes do mecanismo da figura possuem as propriedades geométricas e de inércia apresentadas na tabela ao lado da figura. Encontre o valor instantâneo do torque de acionamento necessário que deve ser aplicado à manivela 2 para manter a velocidade de rotação constante de 60 rpm no sentido horário.

Exercício

Exercício

Balanceamento de Mecanismos Alternativos Massas com movimento alternativo são a segunda maior fonte de excitação em máquinas. Fontes com mais de um componente de freqüência, movimento periódico.

Modelo de Massa Concentrada sobre o C.G.

Modelo de Massa Concentrada sobre as Juntas.

Adequação entre os modelos Baseado na teoria para determinação do centro de massa de um sistema de partículas

Exercício Um compressor mono cilindro com massa do pistão de 2.5 lb, uma biela de 12in de comprimento e massa em G3 de 2 lb e contrapeso em G2 de 4 lb. Calcular a força de desbalanceamento sobre A se a manivela gira a 300 rpm no sentido anti-horário.

Exercício

Exercício

Balanceamento Analítico Posição do cursor: 𝑥=𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃+𝐿𝑐𝑜𝑠𝜙 (I) Posição mais distante da origem: 𝑥=𝑅+𝐿 Posição mais próxima da origem: 𝑥=−𝑅+𝐿

Balanceamento Analítico Define-se 𝑦 𝐴 como: 𝑦 𝐴 =𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃=𝐿𝑠𝑖𝑛𝜙 de onde conclui-se que: 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃=𝐿𝑠𝑖𝑛𝜙 𝑠𝑖𝑛𝜙= 𝑅 𝐿 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙= 1− 𝑠𝑖𝑛𝜙 2 = 1− 𝑅 𝐿 𝑠𝑖𝑛𝜃 2 (II)

Balanceamento Analítico Substituindo (II) em (I) obtêm-se: 𝑥=𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃+𝐿 1− 𝑅 𝐿 𝑠𝑖𝑛𝜃 2 A velocidade é obtida como se segue: 𝑣 𝐵 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 =−𝑅𝜔 𝑠𝑖𝑛𝜃+ 𝑅 2𝐿 𝑠𝑖𝑛2𝜃 1− 𝑅 𝐿 𝑠𝑖𝑛𝜃 2

Balanceamento Analítico A aceleração provem de: 𝑎 𝐵 = 𝑑 𝑣 𝐵 𝑑𝑡 =−𝑅 𝜔 2 𝑐𝑜𝑠𝜃+ 𝑅 𝐿 𝑐𝑜𝑠2𝜃 1− 𝑅 𝐿 2 + 𝑅 𝐿 3 cos 4 𝜃 1− 𝑅 𝐿 𝑠𝑖𝑛𝜃 2 3 2

Balanceamento Analítico Considerando 𝑅/𝐿≤1/4 a equação anterior pode ser aproximada com erros menores que 0.5% como se segue: 𝑎 𝐵 =−𝑅 𝜔 2 𝑐𝑜𝑠𝜃+ 𝑅 𝐿 𝑐𝑜𝑠2𝜃

Balanceamento Analítico Aceleração 𝑎 𝐴 Aceleração 𝑎 𝐵 Os vetores das forças de inércia devido as massas em A e em B são: 𝐹 𝐴 =− 𝑚 𝐴 𝑎 𝐴 = 𝑚 𝐴 𝑅 𝜔 2 ∡𝜃 𝐹 𝐵 =− 𝑚 𝐵 𝑎 𝐵 ≅ 𝑚 𝐵 𝑅 𝜔 2 𝑐𝑜𝑠𝜃+ 𝑅 𝐿 𝑐𝑜𝑠2𝜃 ∡0

Balanceamento Analítico Os vetor de força resultante é: 𝐹 𝑆 = 𝐹 𝐴 + 𝐹 𝐵 𝐹 𝑆 =𝑅 𝜔 2 𝑚 𝐴 + 𝑚 𝐵 𝑐𝑜𝑠𝜃+ 𝑚 𝐵 𝑅 𝐿 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑖 +𝑅 𝜔 2 ( 𝑚 𝐴 𝑠𝑖𝑛𝜃) 𝑗

Balanceamento Analítico Com a adição da força devida ao balanceamento 𝑚 𝑐𝑏 o vetor de força resultante é: 𝐹 𝑆 =𝑅 𝜔 2 𝑚 𝐴 + 𝑚 𝐵 − 𝑚 𝑐𝑏 𝑐𝑜𝑠𝜃+ 𝑚 𝐵 𝑅 𝐿 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑖 +𝑅 𝜔 2 [ ( 𝑚 𝐴 − 𝑚 𝑐𝑏 )𝑠𝑖𝑛𝜃] 𝑗

Balanceamento Analítico A massa de balanceamento ótima é obtida resolvendo a equação abaixo: 𝑑 𝑚𝑎𝑥 𝐹 𝑆 𝑑 𝑚 𝑐𝑏 =0

Balanceamento Analítico Exercício 13.8 Dados: 1 𝜔 2 =160 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝐶𝐶𝑊 1 𝛼 2 =0 𝑟𝑎𝑑/ 𝑠 2 𝑊 2 =0.95 𝑙𝑏 𝐼 𝐺 2 =0.00369 𝑙𝑏 .𝑠 2 .𝑖𝑛 𝑊 3 =3.5𝑙𝑏 𝑊 4 =2.5𝑙𝑏 Determine a equação para a força total sobre o mancal, desenhe o vetor de força sobre o mancal, determine a massa de balanceamento ótima e desenhe a força de desbalanceamento para uma revolução completa.

Balanceamento Analítico Exercício 13.8 Determinação das massas equivalentes em B e C: 𝑚 2 = 𝑊 2 𝑔 = 0,95 32,2 =0,0295→ 𝑚 2 ′ = 𝐺 2 𝐴 𝐴𝐵 𝑚 2 = 3−1,2 3 0,0295=0,0177 𝑚 3 = 𝑊 3 𝑔 = 3,5 32,2 =0,1087→ 𝑚 3𝐵 ′ = 𝐺 3 𝐶 𝐵𝐶 𝑚 3 = 12−3,6 12 0,1087=0,0761 𝑚 3𝐶 ′ = 𝑚 3 − 𝑚 3𝐵 ′ =0,1087−0,0761=0,0326

Balanceamento Analítico Exercício 13.8 Determinação das massas equivalentes em B e C: 𝑚 𝐵 = 𝑚 2 ′ + 𝑚 3𝐵 ′ =0,0177+0,0761=0,0938 𝑚 𝐶 = 𝑚 4 + 𝑚 3𝐶 ′ = 2,5 32,2 +0,0326=0,1102

Balanceamento Analítico Exercício 13.8 Após determinarmos as massas equivalentes em B e C a força é obtida através de: 𝐹 𝑆 =𝑅 𝜔 2 𝑚 𝐵 + 𝑚 𝐶 − 𝑚 𝑐𝑏 0 𝑐𝑜𝑠𝜃+ 𝑚 𝐶 𝑅 𝐿 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑖 +𝑅 𝜔 2 [ ( 𝑚 𝐵 − 𝑚 𝑐𝑏 0 )𝑠𝑖𝑛𝜃] 𝑗 Onde 𝑚 𝑐𝑏 é nulo uma vez que esta se calculando a força de desbalanceamento.

Balanceamento Analítico Exercício 13.8 Substituindo os valores numéricos temos: 𝐹 𝑆 =3∗ 160 2 0,0938+0,1102 𝑐𝑜𝑠𝜃+0,1102 3 12 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑖 +3∗ 160 2 [0,0938𝑠𝑖𝑛𝜃] 𝑗 Para 𝜃= −30 𝑜 o vetor de força de desbalanceamento é 𝐹 𝑆 = 14,62 𝑖 −4,23 𝑗 10 3 𝑙𝑏

Balanceamento Analítico Exercício 13.8 Para se obter a força total sobre o mancal A temos: 𝐹 𝑇 = 𝐹 𝑆 + 𝐹 𝐵 𝐹 𝑇 = 14,62 𝑖 −4,23 𝑗 10 3 −10 𝑖 𝐹 𝑇 = 14,619 𝑖 −4,23 𝑗 10 3 𝑙𝑏

Balanceamento Analítico Exercício 13.8 Para se obter a força total sobre o mancal A temos: 𝐹 𝑇 = 𝐹 𝑆 + 𝐹 𝐵 𝐹 𝑇 = 14,62 𝑖 −4,23 𝑗 10 3 −10 𝑖 𝐹 𝑇 = 14,619 𝑖 −4,23 𝑗 10 3 𝑙𝑏

Balanceamento Analítico Exercício 13.8 Para se determinar a massa ideal de balanceamento utiliza-se o MATLAB®.