MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Ensino Médio, 2º ano Sistemas Lineares

Internacional (Buenos Aires) SISTEMAS LINEARES Três irmãos, Paula, Júlia e André, ao confrontarem suas contas de telefone celular, ficaram curiosos em saber quanto custou um minuto de cada tipo de ligação realizada. As três contas apresentam ligações para telefones fixo e móveis, e ligações internacionais para Buenos Aires, onde moram seus primos. A tabela informa o tempo (em minuto) das ligações que cada um efetuou e o valor correspondente da conta, já descontado o preço da assinatura. Fixo Móvel Internacional (Buenos Aires) Valor (R$) Paula 10 min 6 min 2 min 12,20 Júlia 14 min 4 min 3 min 13,40 André 8 min 5 min 14,70

Vamos denominar x, y e z os preços do minuto de ligação para telefones fixos, para telefones móveis e para Buenos Aires, respectivamente: A conta de Paula é dada por: 10x + 6y + 2z = 12,20 A conta de Júlia é dada por: 14x + 4Y + 3z = 13,40 A conta de André é dada por: 8x + 5y + 5z = 14,70 As três equações acima constituem um exemplo de sistema linear.

EQUAÇÃO LINEAR As equações que obtivemos têm muitas coisas em comum. Vamos analisar por exemplo a equação: 10x + 6y + 2z = 12,20 É uma equação de 1º grau. Os três termos do 1º membro são de 1º grau. O termo do segundo membro é de grau zero (independe de qualquer variável). Uma equação desse tipo é chamada de equação linear.

EQUAÇÃO LINEAR (NOTAÇÃO) De maneira geral, se a1, a2, a3, ..., an, b são constantes reais e x1, x2, x3, ..., xn são variáveis reais, uma equação linear é do tipo: a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b x1, x2, x3, ..., xn são as incógnitas; a1, a2, a3, ..., an são os coeficientes; b é o termo independente; Note que, numa equação linear, os expoentes de todas as variáveis são sempre iguais a 1.

SISTEMA LINEAR Chama-se sistema linear a n incógnitas um conjunto de duas ou mais equações lineares com n incógnitas. Sistema linear com 2 equações e 2 incógnitas (x, y). x + 2y = 3 x – y = 5 Sistema linear com 3 equações e 4 incógnitas (x, y, z e t). 2x – y +z – t = 0 x – 2y + t = 0 3x + y – 2z = 0

OBSERVAÇÃO Todo sistema linear pode ser representado na forma matricial. 2x + y = 3 x – 2y = 0 5x + y = 0 2 1 –2 5 3 1 x Y A = X = B = Matriz dos coeficientes Matriz das incógnitas Matriz dos termos independentes

SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR Uma solução de um sistema linear é um conjunto de valores que satisfaz ao mesmo tempo todas as equações do sistema linear. x + y = 5 No sistema linear 2x – y = 1 2 + 3 = 5 (V) (2, 3) é solução → 2.2 – 3 = 1 (V) 3 + 2 = 5 (V) (3, 2) não é solução → 2.3 – 2 = 1 (F)

SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO Consideramos como sistema linear homogêneo aquele que possui todos os coeficientes independentes nulos. Num sistema linear homogêneo, todas as equações são homogêneas (possui todos os coeficientes independentes nulos). Todo sistema linear homogêneo admite a solução nula (0, 0, 0, ..., 0), chamada de trivial. Um sistema homogêneo pode ter outras soluções além da trivial.

EXEMPLO x – 2y = 0 O sistema linear é homogêneo. –3x + 6y = 0 0 – 2.0 = 0 (V) (0, 0) é solução → –3.0 + 6.0 = 0 (V) 2 – 2.1 = 0 (V) (2, 1) também é solução → –3.2 + 6.1 = 0 (V)

SISTEMAS EQUIVALENTES Dois ou mais sistemas que tenham exatamente as mesmas soluções são chamados sistemas equivalentes. 2x + y = 5 x + y = 3 e x – y = 1 3x + y = 7 Ambos os sistemas são possíveis e determinados. A solução é a sequência (2, 1).

PROPRIEDADES DE EQUIVALÊNCIA ENTRE SISTEMAS Trocar de posição, entre si, duas equações do sistema. Multiplicar (ou dividir) os dois membros de uma equação do sistema por uma constante não-nula. Substituir uma equação pela soma, membro a membro, dela com outra equação, podendo ser ambas multiplicadas, antes por uma constante real não-nula.

CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR Quanto ao número de soluções, um sistema pode ser possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível. Sistema linear Tem solução? Não Sim Impossível (SI) Possível (SP) Quantas? Apenas uma Infinitas Determinado (SPD) Indeterminado (SPI)

SISTEMA DE EQUAÇÕES COM DUAS INCÓGNITAS E INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DA SOLUÇÃO Em um plano cartesiano, as equações da forma ax + by = c, em que a e b são simultaneamente não nulos, definem uma reta. A solução de um sistema linear de duas equações a duas variáveis corresponde aos pontos comuns às retas relacionadas a essas equações.

EXEMPLO 1 3x – y = 5 x + y = 7 Na 1ª equação, y = 3x – 5. Subst. na 2ª equação, x + 3x – 5 = 7 → 4x = 12 → x = 3 y = 3x – 5 → y = 3.3 – 5 → y = 4 Solução (3, 4) Um sistema linear pode ter uma única solução. No caso, ele é chamado sistema possível e determinado (SPD).

Veja a interpretação gráfica do sistema x + y = 7 4 Retas concorrentes 3 r2

EXEMPLO 2 x – 3y = 4 –2x + 6y = 3 Na 1ª equação, x = 4 + 3y. Subst. na 2ª equação, –2(4 + 3y) + 6y = 3 → –8 – 6y + 6y = 3 → 0y = 11 Um sistema linear pode não ter solução. No caso, ele é chamado sistema impossível (SI).

Veja a análise geométrica do sistema –2x + 6y = 3 Retas paralelas r s

EXEMPLO 3 x – 2y = –5 –2x + 4y = 10 Na 1ª equação, x = 2y – 5. Subst. na 2ª equação, –2(2y – 5) + 4y = 10 → –4y + 10 + 4y = 10 → 0y = 0 Um sistema linear pode ter infinitas soluções. No caso, ele é chamado sistema possível e indeterminado (SPI).

Veja a análise gráfica do sistema –2x + 4y = 10 r1≡ r2 Retas coincidentes

RESUMO (EQUAÇÕES COM DUAS VARIÁVEIS) y x Retas concorrentes Determinado Possível (Uma única solução) (Possui solução) y x Retas coincidentes SISTEMA Indeterminado (Infinitas soluções) y x Impossível Retas paralelas (Não possui solução)

REGRA DE CRAMER Processo de resolução de sistemas lineares por meio de determinantes. a1x + b1y = c1 Suponhamos o sistema linear a2x +b2y = c2 a1 b1 a2 b2 D = = a1.b2 – a2.b1 c1 b1 c2 b2 a1 c1 a2 c2 Dx = = c1.b2 – c2. b1 Dy = = a1. c2 – a2.c1 y = Dy D x = Dx D

Analogamente, podemos escrever a matriz incompleta de qualquer sistema linear n x m, assim como o seu determinantes D e também os determinantes Di obtidos através da troca dos coeficientes de uma i-ésima incógnita pelos termos independentes no determinante da matriz incompleta. A regra de Cramer pode ser aplicada para resolver um sistema n x m, onde D  0. a solução é dada pelas razões: x 1 = D 1 D , x 2 = D 2 D , x 3 = D 3 D ... x n = D n D

EXEMPLO 3x + y = 5 Resolver o sistema linear utilizando a regra de Cramer. 5x – 2y = 12 3 1 5 –2 D = = 3.(–2) – 1.5 = –11 5 1 12 –2 Dx –22 Dx = = 5.(–2) – 1.12 = –22 = = 2 → x = D –11 3 5 12 Dy 11 Dy = = 3.12 – 5.5 = 11 = –1 → y = = D –11

RESOLUÇÃO DE SISTEMAS POR ESCALONAMENTO A regra de Cramer pode ser utilizada para discutir e resolver sistemas lineares em que o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). Quando m e n são maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares.

ESCALONAMENTO DE SISTEMAS Um sistema está escalonado quando de equação para equação, no sentido de cima para baixo, houver aumento dos coeficientes nulos situados antes dos coeficientes não nulos. Por esse motivo, vamos descrever o sistema em forma de escada, ou seja, por escalonamento. Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento: Fixamos como 1ª equação uma das que possuem o coeficiente da 1ª incógnita diferente de zero; Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações; Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.

EXEMPLO 1 x – 2y + z = 3 0x + y – z = 2 0x + 0y + 0z = 3 Um sistema escalonado é impossível (SI) só quando apresenta uma equação impossível.

EXEMPLO 2 x – y + z = 4 3ª equação: 3z = 3 → z = 1 0x + y – z = 2 Solução (6, 3, 1) Um sistema escalonado é possível e determinado (SPD) quando o número de equações é igual ao número de incógnitas.

EXEMPLO 3 x – y + z = 3 0x + y – 2z = 3 0x + 0y + 0z = 0 x – y + z = 3 A última equação é nula. Por isso, ela deve ser eliminada. x – y + z = 3 0x + y – 2z = 3 Um sistema escalonado é possível e indeterminado (SPI) quando o número de equações é menor que o número de incógnitas.

x – y + z = 3 0x + y – 2z = 3 Troca de variável: z = k 2ª equação: y – 2z = 2 → y – 2k = 3 → y = 2k + 3 1ª equação: x – y + z = 3 → x – (2k + 3) + k = 3 → x – 2k – 3 + k = 3 → x = k + 6 Solução geral: (k + 6, 2k + 3, k) k = –1 → (5, 1, –1) k = 0 → (5, 1, –1) k = 1 → (7, 5, 1)...

ESCALONAMENTO NA FORMA DE MATRIZ A todo sistema linear podemos associar uma matriz, chamada matriz completa do sistema. x – 2y + 3z = 1 1x – 2y + 3z = 1 2y + z = 7 0x + 2y + 1z = 7 –x + z = 5 –1x + 0y + 1z = 5 Matriz completa: 1 –2 3 2 7 –1 5

EXEMPLO 2x – y = 5 Escalonar, discutir e resolver, se possível, o sistema x + 3y = 1 3x – y = 4 2 –1 5 1 3 4 Associando o sistema a uma matriz temos:

2 –1 5 1 3 4 1 3 2 –1 5 4 x(-2) +  1 3 1 x(-3) + 1 3 1 –7 3  –7 3 x10 3 –1 4 –10 1 x7 1 3 1 1 3 1  –70 30 X(-1) + –70 30 –70 7 –23 A matriz está escalonada. A última linha representa a equação 0x + 0y = –23 → SI

QUESTÕES

1) (UFF-RJ) Um biscoito é composto por açúcar, farinha de trigo e manteiga, sendo a quantidade de farinha o dobro da quantidade de açúcar. Os preços por quilograma do açúcar, da farinha e da manteiga são, respectivamente, R$ 0,50, R$ 0,80 e R$ 5,00. O custo por quilograma de massa do biscoito, considerando apenas esses ingredientes, é R$ 2,42. Calcule a quantidade, em gramas, de cada ingrediente presente em 1 kg de massa do biscoito. Açúcar: 200g Farinha: 400g Manteiga: 400g

2) (Fuvest-SP) Carlos e sua irmã Andreia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá, encontrara uma velha balança com defeito que só indicava corretamente pesos superiores a 60kg. Assim eles pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas: Carlos e o cão pesam, juntos, 87 kg; Carlos e Andreia pesam 123 kg; Andreia e Bidu pesam 66 kg. Podemos afirmar que: a) Cada um deles pesa menos que 60 kg. b) Dois deles pesam mais que 60 kg. c) Andreia é a mais pesada de todas. d) O peso de Andreia é a média aritmética dos pesos de Carlos e Bidu. e) Carlos é o mais pesado que Andreia e Bidu juntos.

3) (Vunesp-SP) Misturam-se dois tipos de leite, um com3% de gordura e outro com 4% de gordura para obter, ao todo, 80 litros de leite com 3,25% de gordura. Quantos litros de leite de cada tipo foram misturados? 60 litros de leite com 3% de gordura 20 litros de leite com 4% de gordura

4) (Osec – SP) O sistema linear : a) admite solução única b) admite infinitas soluções c) admite apenas duas soluções d) não admite solução e) N.D.A.

EXTRAS GEOGEBRA WINMAT Utilizar o software geogebra para a representação gráfica de sistemas de equações lineares. Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço: http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm. WINMAT Utilizar o software winmat para o escalonamento de sistemas. Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço: http://math.exeter.edu/rparris/winmat.html.

REFERÊNCIAS Sites: Livros: http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/sistemas-equacoes-lineares.htm http://www.brasilescola.com/matematica/sistemas-lineares.htm http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistemas_lineares http://pt.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1tica_elementar/Sistemas_lineares http://www.somatematica.com.br/emedio/sistemas/sistemas.php Livros: I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 2 : ensino médio – São Paulo : FTD, 2009. Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005. I. Iezzi,Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto. Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.