MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Ensino Médio, 2º Ano Binômio de Newton

Matemática, 2º Ano, Binômio de Newton O Binômio de Newton foi definido pelo físico e matemático inglês Isaac Newton (1642-1727), esse estudo veio complementar o estudo dos produtos notáveis (quadrado da soma ou quadrado da diferença). Isaac Newton nasceu em 25 de dezembro de 1642. Em 1661 matriculou-se no Trinity College, em Cambridge. Em 1672 foi eleito membro da Royal Society e em 1703 tornou-se presidente da mesma. Em 20 de março de 1727 Newton faleceu.

Matemática, 2º Ano, Binômio de Newton O quadrado da soma diz que um binômio elevado ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro monômio (termo) mais duas vezes o primeiro vezes o segundo monômio (termo), mais o quadrado do segundo monômio (termo). (a + b)² = a² + 2ab + b²

Vejamos as seguintes potências: (a + b)0 = 1 (a + b)1 = a + b Matemática, 2º Ano, Binômio de Newton A fórmula do binômio de Newton destina-se ao desenvolvimento das potências sucessivas de um binômio. Vejamos as seguintes potências: (a + b)0 = 1 (a + b)1 = a + b (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

Matemática, 2º Ano, Binômio de Newton É interessante considerar a relação existente entre os coeficientes dos desenvolvimentos de cada potência anterior com os valores do triângulo de Pascal. Triângulo de Pascal: 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 ...

Fórmula do Binômio de Newton Matemática, 2º Ano, Binômio de Newton Fórmula do Binômio de Newton (a + b)n = Cn,0∙an∙b0 + Cn,1∙an-1∙b1 + Cn,2∙an-2∙b2 + ... + Cn,n∙na-n∙bn ou (a + b)n = n,p ∙ an-p ∙ bp Observação: Cn,p =

Termo Geral Tp+1 = Cn,p ∙ an-p ∙ bp Matemática, 2º Ano, Binômio de Newton Termo Geral Chama-se termo geral do desenvolvimento do binômio o termo que vem precedido de p termos. É, pois, o termo de ordem p + 1. Ele será designado por Tp+1. Temos: Tp+1 = Cn,p ∙ an-p ∙ bp

Desenvolvimento de (a – b)n Matemática, 2º Ano, Binômio de Newton Desenvolvimento de (a – b)n Vejamos as potências: (a – b)0 = 1 com a  b (a – b)1 = a – b (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 (a – b)4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4 (a – b)5 = a5 – 5a4b + 10a3b2 – 10a2b3 + 5ab4 – b5

Tp+1 = (1)p ∙ Cn,p ∙ an-p ∙ bp Matemática, 2º Ano, Binômio de Newton Assim, obtemos a fórmula Tp+1 = (1)p ∙ Cn,p ∙ an-p ∙ bp para o termo geral de (a – b)n. Observe que, desta forma, os termos do desenvolvimento terão os sinais alternados entre positivo e negativo, pois (− 1) quando elevado a um expoente par resulta em 1 e quando elevado a um expoente ímpar resulta em − 1.

Soma dos coeficientes numéricos da expansão binomial Matemática, 2º Ano, Binômio de Newton Soma dos coeficientes numéricos da expansão binomial Fazendo a = b = 1, em (a + b)n, teremos: (1 + 1)n = 2n Fazendo a = b = 1, em (a – b)n, teremos: (1 – 1)n = 0n = 0 (supondo n  1) Isto também é válido para outras potências de polinômios.

Matemática, 2º Ano, Binômio de Newton Exemplos: Para a obtenção da soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de (4x2 + 5yz – 3xz2)5, fazemos x = 1, y = 1 e z = 1, assim: (4 ∙ 12 + 5 ∙ 1 ∙ 1 – 3 ∙ 1 ∙ 12)5 = (4 + 5 – 3)5 = 65. Para a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de (3a2 + 2b5 – c3)6, fazemos a = 1, b = 1 e c = 1 e teremos: (3 ∙ 12 + 2 ∙ 15 – 13)6 = (3 + 2 – 1)6 = 46

Matemática, 2º Ano, Binômio de Newton Fórmula de Leibniz A fórmula do binômio de Newton, pode ser generalizada, para a potenciação dos polinômios. Seja um polinômio de p termos, que devemos elevar à potência n (a + b + c + ... + m)n O problema se reduz, aos dois seguintes: Determinar o coeficiente de cada termo; Formar todos os termos possíveis da forma aα ∙ bβ ∙ cγ ... mλ (α + β + γ + ... + λ = n).

Fórmula de Leibniz O coeficiente procurado será, pois Matemática, 2º Ano, Binômio de Newton Fórmula de Leibniz O coeficiente procurado será, pois O cálculo dos termos se executa facilmente, decompondo de todas as formas possíveis o número n em p parcelas, partindo da parcela de valor maior. Podemos escrever a fórmula de Leibniz: (a + b + c + ... + m)n = Ʃ aα∙bβ∙cγ ... mλ

Matemática, 2º Ano, Binômio de Newton Leibniz Gottfried Wilhelm von Leibniz nasceu em 1º de julho de 1646. Em 1666 Leibniz recebeu o título de Doutor em Direito. Em 1670, aos 24 anos, foi nomeado conselheiro da Alta Corte de Justiça de Mogúncia. Em 1676 descobriu o cálculo diferencial, praticamente ao mesmo tempo e independentemente das descobertas de Isaac Newton sobre o mesmo tema. A 14 de novembro de 1716, acometido de uma crise de gota, morre Leibniz.

Portanto, o coeficiente será dado por: 7! . 42 ∙ 33 ∙ 22 2! 3! 2! Matemática, 2º Ano, Binômio de Newton Exemplo: Dado o polinômio (4x5 + 3y2 + 2z3)7 calcule, no desenvolvimento da potência, o valor do coeficiente do termo de parte literal x10y6z6. Temos, então: 5α = 10  α= 2 2β = 6  β= 3 3γ = 6  γ= 2 Portanto, o coeficiente será dado por: 7! . 42 ∙ 33 ∙ 22 2! 3! 2! ou seja: 362 880.

Atividades Resolvidas Matemática, 2º Ano, Binômio de Newton Atividades Resolvidas No desenvolvimento de (3x4 + 2x-3)14, obtenha o termo: em x21. independente de x. médio. a) Tp+1 = C14,p ∙ (3x4)14-p ∙ (2x-3)p = C14,p ∙ 314-p ∙ 2p ∙ x56-7p O expoente de x deve ser 21, portanto: 56 – 7p = 21  p = 5 Logo: T5+1 = C14,5 ∙ 314-5 ∙ 25 ∙ x56-7∙5 T6 = C14,5 ∙ 39 ∙ 25 ∙ x21

b) Nesse caso, o expoente de x deve ser zero: 56 – 7p = 0  p = 8 Matemática, 2º Ano, Binômio de Newton b) Nesse caso, o expoente de x deve ser zero: 56 – 7p = 0  p = 8 Logo: T8+1 = C14,8 ∙ 314-8 ∙ 28 T9 = C14,8 ∙ 36 ∙ 28 c) A expansão de (3x4 + 2x-3)14 tem 15 termos. Logo o termo solicitado é: T8 = T7+1 = C14,7 ∙ 314-7 ∙ 27 ∙ x56-7∙7 T8 = C14,7 ∙ 37 ∙ 27 ∙ x7

T14 = Cn,13 ∙ xn-13 ∙ (2y)13 e T28 = Cn,27 ∙ xn-27 ∙ (2y)27. Daí vem: Matemática, 2º Ano, Binômio de Newton 2) No desenvolvimento de (x + 2y)n, segundo potências decrescentes de x, os coeficientes binomiais do 14º e do 28º termos são iguais. Calcule a soma dos coeficientes numéricos dessa expansão. T14 = Cn,13 ∙ xn-13 ∙ (2y)13 e T28 = Cn,27 ∙ xn-27 ∙ (2y)27. Daí vem: n = 13 + 27 (propriedade das combinações) n = 40 Portanto, a soma dos coeficientes numéricos da expansão de (x + 2y)40 é obtida fazendo x = 1 e y = 1: (1 + 2 ∙ 1)40 340

n deve ser múltiplo natural de 3. Matemática, 2º Ano, Binômio de Newton 3) Determine a condição sobre n pertencente ao conjunto dos números naturais, para que a expansão de (x – x-2)n tenha termo independente de x. Sendo o termo geral: Tp+1 = (1)p ∙ Cn,p ∙ xn-p ∙ (x-2)p Tp+1 = (1)p ∙ Cn,p ∙ xn-3p. O expoente de x deve ser zero, portanto: n  3p = 0  n = 3p, p pertencente ao conjunto dos números naturais e p  n. Logo: n deve ser múltiplo natural de 3.

a) Basta notar que a expressão dada é o desenvolvimento de (7 + 3)18. Matemática, 2º Ano, Binômio de Newton 4) Calcule o valor de: y = C18,0 ∙ 718 + C18,1 ∙ 717 ∙ 3 + C18,2 ∙ 716 ∙ 32 + ... + C18,18 ∙ 318 E = C20,0 ∙ 520 – C20,1 ∙ 519 ∙ 3 + C20,2 ∙ 518 ∙ 32  ... + C20,20 ∙ 320 a) Basta notar que a expressão dada é o desenvolvimento de (7 + 3)18. Então: y = (7 + 3)18 = 1018. b) Basta notar que a expressão dada é a expansão de (5 – 3)20. E = (5 – 3)20 = 220.

5) Achar o coeficiente de x5 no desenvolvimento de (1 + 2x + x2)4. Matemática, 2º Ano, Binômio de Newton 5) Achar o coeficiente de x5 no desenvolvimento de (1 + 2x + x2)4. Temos, imediatamente: α + β + γ = 4 β + 2γ = 5 donde α = γ  1, β = 5  2γ Ora, α e β devem ser inteiros positivos, logo a segunda relação mostra que γ  2, enquanto que a primeira indica ser γ  1. Concluímos que γ só pode receber os valores 1 e 2.

Obtemos assim o quadro: α β γ 3 1 2 Matemática, 2º Ano, Binômio de Newton Obtemos assim o quadro: α β γ 3 1 2 E o coeficiente procurado será, finalmente: 4! 10 ∙ 23 ∙ 11 + 4! 11 ∙ 21 ∙ 12 0! 3! 1! 1! 1! 2! 4 ∙ 1 ∙ 8 ∙ 1 + 12 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 1 = 32 + 24 = 56

Matemática, 2º Ano, Binômio de Newton Atividades Propostas Ao desenvolver totalmente (2x + 4)12, qual o coeficiente do termo de grau 5? Determine a soma dos coeficientes dos termos obtidos no desenvolvimento dos binômios: (x + y)6 (x + y)11 (x + y)13

4) No desenvolvimento de (a3 – 2)8 encontre o termo que contém a15. Matemática, 2º Ano, Binômio de Newton 3) Calcule o 10º termo do desenvolvimento dos binômios a seguir (segundo expoentes decrescentes de x) (x + 4y)11 (2x – y)n (x + y-1)n d) (x2 – y2)13 4) No desenvolvimento de (a3 – 2)8 encontre o termo que contém a15.

5) Encontre o 4º termo no desenvolvimento do binômio (2 – x)7. Matemática, 2º Ano, Binômio de Newton 5) Encontre o 4º termo no desenvolvimento do binômio (2 – x)7. 6) Marque verdadeiro ou falso e justifique sua resposta. No desenvolvimento de (x + 3y)9: existem 9 termos. o coeficiente de x5 é ímpar. o coeficiente de y7 é par. a soma dos coeficientes é menor que 1 000.

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