MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Binômio de Newton Isaac Newton nasceu na pequena cidade inglesa de Lincolnshire em 4 de janeiro de 1643 e morreu em 31 de março de 1727. Ele foi um menino rebelde, mas você também seria se sua mãe o abandonasse em um colégio interno que ensinava gramática na maior parte do tempo... Essa não era a disciplina preferida do jovem Newton, que, como vamos ver, desenvolveu várias teorias que revolucionaram a matemática, física e astronomia. MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Ensino Médio, 2º ano Matrizes: Operações Em Cambridge, Isaac Newton foi o primeiro da classe. Formou-se em 1665 e teve que retornar a sua aldeia natal quando a universidade fechou devido ao surto de peste bubônica. Como a epidemia o impedia de sair de casa, o jovem se dedicou a rever tudo o que tinha aprendido na faculdade. A partir daí, ele não parou de pesquisar e realizar experimentos. Nessa época, Newton dava os primeiros passos rumo às descobertas mais importantes, como a decomposição da luz, o princípio da gravitação universal, desenvolvimentos matemáticos diversos e as chamadas três leis de Newton.

OPERAÇÕES COM MATRIZES http://2.bp.blogspot.com/-Yr2wUq1eG0E/T9lFT4WDsPI/AAAAAAAAkeY/QpOcWTVbcO8/s1600/professora+3d.gif Em certos casos surge a necessidade de efetuar operações com matrizes. São elas: Adição; Subtração; Multiplicação de uma constante real por uma matriz; Multiplicação entre matrizes; Inversa.

ADIÇÃO DE MATRIZES Para adicionarmos duas ou mais matrizes é preciso que todas elas tenham o mesmo número de linhas e de colunas. Define-se a adição A + B = C como sendo formada pelos elementos cij= aij + bij (os termos correspondentes deverão ser somados). A soma dessas matrizes irá resultar em outra matriz que também terá o mesmo número de linhas e de colunas. - 4 1 3 2 2 3 4 Dada as matrizes: A = B = - 4 1 3 2 2 3 4 -2 1 A + B = + = 6 6

SUBTRAÇÃO DE MATRIZES Para efetuarmos a subtração de duas matrizes, elas devem ter a mesma ordem (mesmo número de linhas e colunas) e a matriz obtida com a subtração (matriz diferença) também deve ser de mesma ordem que as matrizes subtraídas. Define-se a subtração A - B = C como sendo formada pelos elementos cij= aij – bij (cada elemento de uma matriz deve ser subtraído com o elemento correspondente da outra matriz). - 5 - 1 4 1 - 2 2 Dada as matrizes: A = B = 1 - 2 2 - 5 - 1 4 6 -2 B - A = - = 3 -3

MULTIPLICAÇÃO UMA MATRIZ POR UMA CONSTANTE K Para multiplicar um número real k, qualquer, por uma matriz Amxn, basta multiplicar todos os elementos da matriz por k. Assim, a matriz resultante será de mesma ordem da matriz A. –2 1 3 2 Dada a matriz: A = 3.(–2) 3.1 –6 3 9 6 3.A = = 3.3 3.2

EQUAÇÕES MATRICIAIS Uma equação é chamada de Matricial quando envolve matrizes em suas operações. Exemplo 1: Resolver a equação 3X – A = 2B, onde: –5 –1 4 1 –3 2 A = B = x y z t A matriz X deve ser do mesmo tipo de A e B: X =

x y z t –5 –1 4 1 –3 2 3.X – A = 2B ⇒ 3. – = 2. 3x 3y 3z 3t 5 1 –4 2 –6 4 3x + 5 3y 2 –6 4 ⇒ + = ⇒ = 3z + 1 3t – 4 3x + 5 = 2 3x = 2 - 5 3x = - 3 x = -3/3 x = –1 3y = –6 y = – 6/3 y = – 2 y = – 2 y = –2 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 3z + 1 = 4 3z = 4 - 1 3z = 3 z = 3/3 z = 1 3t – 4 = 2 3t = 2 +4 3t = 6 t = 6/3 t = 2 –1 –2 1 2 X =

Dada as matrizes abaixo obter a matriz 3M – 2N + I2. Exemplo 2: Dada as matrizes abaixo obter a matriz 3M – 2N + I2. –2 1 3 2 2 3 4 M = N = 3.–2 3.1 –6 3 9 6 –2.2 –2.0 –4 –6 –8 3.M = = –2.M = = 3.3 3.2 –2.3 –2.4 3M –2N + I2 = 3.M + (–2.N) + I2 = –6 3 9 6 –4 –6 –8 1 –9 3 = + + = 3 –1

MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES Sob certas condições, definem-se a multiplicação de matrizes. Dadas duas matrizes A e B: Existe o produto AB (ou A.B) se, e somente se, o número de colunas de A (1ª matriz) é igual ao número de linhas de B (2ª matriz); Existindo a matriz AB, ela tem o número de linhas de A (1ª matriz) e o número de colunas de B (2ª matriz). A é matriz m x n iguais ⇒ existe AB B é matriz n x p AB é do tipo ⇒ m x p

Exemplo 1: Dado as matrizes A e B abaixo, mostrar que é definido e obter o produto AB. –1 2 3 5 –2 6 –3 1 2 4 –2 A = B = A é uma matriz 2 x 3 iguais ⇒ existe AB B é uma matriz 3 x 2 AB é do tipo 2 x 2 x11 x12 x21 x22 AB =

–1 2 3 5 –2 6 –3 1 2 4 –2 A = B = Cálculo de x11: x11 = –3.(–1) + 1.3 + 0.(–2) = 3 + 3 + 0 = 6 Cálculo de x12: x12 = –3.2 + 1.5 + 0.6 = –6 + 5 + 0 = –1 Conclusão: Cálculo de x21: x21 = 2.(–1) + 4.3 + (–2).(–2) = –2 + 12 + 4 = 14 6 –1 14 12 AB = Cálculo de x22: x22 = 2.2 + 4.5 + –2 .6 = 4 + 20 – 12 = 12

OBSERVAÇÃO Observe que no caso das matrizes A2x3 e B3x2 do exemplo anterior, existe o produto BA que é do tipo 3 x 3. Ainda que, em certos casos, tanto AB como BA sejam definidos, em geral AB ≠ BA. Se existirem tanto AB quanto BA e, além disso, AB = BA, dizemos que A e B comutam. Se A é uma matriz quadrada, existe o produto AA, que também pode ser indicado por A2.

EQUAÇÕES QUE ENVOLVEM PRODUTO DE MATRIZES Exemplo: Dado as matrizes A e B abaixo, resolver a equação matricial AX = B. 2 –1 1 5 4 A = B = AX = B 2 –1 1 x y 5 4 2x – y 5 . = ⇒ = x + y 4 2x – y = 5 3 1 x = 3 ⇒ ⇒ X = x + y = 4 y = 1

INVERSA DE UMA MATRIZ QUADRADA Dizemos que uma matriz quadrada A, de ordem n, é invertível se, e somente se, existir uma matriz B tal que AB = BA = In. No caso a matriz B é chamada de inversa de A e é representada por A–1. Portanto: A é a inversa de B (A = B–1); B é a inversa de A (B = A–1).

Dadas as matrizes A e B abaixo, vamos obter os produtos AB e BA. Exemplo 1: Dadas as matrizes A e B abaixo, vamos obter os produtos AB e BA. 1 2 3 3 –1 –2 1 A = B = 1 2 3 3 –1 –2 1 3 – 2 –1 + 1 1 AB = . = = 6 – 6 –2 + 3 1 3 –1 –2 1 1 2 3 3 – 2 3 – 3 1 BA = . = = –2 + 2 –2 + 3 1 Note que AB = BA = I2, matriz identidade de ordem 2.

Exemplo 2: 2 –5 1 –3 Calcular a matriz inversa de . A = 2 –5 1 –3 a b c d 1 . A . A–1 = I2 ⇒ = 2a – 5c 2b – 5d 1 = ⇒ a – 3c b – 3d 2a – 5c = 1 2b – 5d = 0 ⇒ e a – 3c = 0 b – 3d = 1

2a – 5c = 1 2a – 5c = 1 + a – 3c = 0 -2a +6c = 0 c = 1 a – 3c = 0 ⇒ x (-2) -2a +6c = 0 c = 1 a – 3c = 0 ⇒ a – 3.1 = 0 ⇒ a – 3 = 0 ⇒ a = 0 2b – 5d = 0 2b – 5d = 0 + b – 3d = 1 x (-2) -2b +6d = -2 d = -2 b – 3d = 1 ⇒ b – 3.(-2) = 1 ⇒ b + 6 = 1 ⇒ b = 1 - 6 ⇒ b = -5 Logo: a b c d 3 –5 1 –2 A–1 = =

QUESTÕES http://zonadaponte.com.sapo.pt/gifs/escola/esc003.gif

6º) (CESGRANRIO) Cláudio anotou suas médias bimestrais de matemática, português, ciências e estudos sociais em uma tabela com quatro linhas e quatro colunas, formando uma matriz, como mostra a figura. Sabe-se que as notas de todos os bimestres têm o mesmo peso, isto é, para calcular a média anual do aluno em cada matéria basta fazer a média aritmética de suas médias bimestrais. Para gerar uma nova matriz cujos elementos representem as médias anuais de Cláudio, na mesma ordem da matriz apresentada, bastará multiplicar essa matriz por:

7º) (PUCCAMP) Em um laboratório, as substâncias A, B e C são a matéria-prima utilizada na fabricação de dois medicamentos. O Mariax é fabricado com 5g de A, 8g de B e 10g de C e o Luciax é fabricado com 9g de A, 6g de B e 4g de C. Os preços dessas substâncias estão em constante alteração e, por isso, um funcionário criou um programa de computador para enfrentar essa dificuldade. Fornecendo-se ao programa os preços X, Y e Z de um grama das substâncias A, B e C, respectivamente, o programa apresenta uma matriz C, cujos elementos correspondem aos preços de custo da matéria-prima do Mariax e do Luciax. Essa matriz pode ser obtida de:

8º) (UFRS) A matriz C fornece, em reais, o custo das porções de arroz, carne e salada usados num restaurante; A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada usados na composição dos pratos tipo P, P‚ Pƒ desse restaurante: A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P, P‚ e Pƒ, está indicada na alternativa:

EXTRAS UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE WINMAT É um software matemático gratuito que permite construir matrizes e operar com elas. É possível trabalhar com números inteiros, reais e complexos. Determina, entre outras coisas, a matriz inversa, transposta, determinante, traço da matriz e encontra inclusive o polinômio característico da matriz. Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço: http://math.exeter.edu/rparris/winmat.html.

REFERÊNCIAS Sites: Livros: http://www.brasilescola.com/matematica/matriz.htm http://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica) www.mundoeducacao.com.br/.../matriz-determinantes.htm http://pt.wikibooks.org/wiki/%C3%81lgebra_linear/Matrizes Livros: I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 2 : ensino médio – São Paulo : FTD, 2009. Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005. I. Iezzi,Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto. Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.