LEI DE DISTRIBUIÇÃO DE BOLTZMANN CONTEÚDOS: Atmosfera exponencial Distribuição de velocidades Moleculares 27-04-2017

Sabe-se que as moléculas movem-se caoticamente. INTRODUÇÃO: Sabe-se que as moléculas movem-se caoticamente. Disto resultam numerosas colisões que originam alterações nas velocidades individuais das moléculas. Da discussão sobre a interpretação cinética da temperatura sabemos que a velocidade média quadrática é proporcional à raiz quadrada de T. 27-04-2017

Introdução (cont): Nesta secção pretende-se conhecer a fracção de moléculas possuindo uma dada característica (ex: uma dada % de energia total ou velocidade). O quociente entre o nº de moléculas possuindo uma dada característica e o nº total de moléculas, representa a probabilidade de que uma dada molécula tenha tal característica. 27-04-2017

Atmosfera exponencial: Como é que a concentração de moléculas na nossa atmosfera varia com a altitude? No modelo que vamos usar, supõe-se que a atmosfera está a uma T = constante (na verdade para ). Contudo o modelo ilustra certos aspectos básicos da distribuição. Sabe-se para um gás ideal em equilíbrio 27-04-2017

Atmosfera exponencial (cont.) Onde é a concentração das moléculas . A pressão na atmosfera diminui com o aumento da altitude. Para determinarmos consideremos uma camada da atmosfera de espessura e área de secção A. 27-04-2017

Atmosfera exponencial (cont.) Assumindo que o ar está em equilíbrio estático: No entanto, Assim, (1) Mas (2) Substituindo (2) em (1) teremos: 27-04-2017

Atmosfera exponencial (cont): Integrando os dois membros: Para . Assim, lei da atmosfera. À uma temperatura constante, a concentração de moléculas diminui exponencialmente com o aumento da altitude. A concentração ao nível do mar é 27-04-2017

Atmosfera exponencial (cont.) Tendo onde A comparação deste modelo com a verdadeira pressão atmosférica em função da altitude mostra que a forma exponencial é uma aproximação razoável para a atmosfera terrestre. Tendo a energia potencial duma molécula à uma altura y do solo teremos 27-04-2017

Atmosfera exponencial (cont.) a expressão: esta expressão mostra-se válida para qualquer que seja a energia E. Pelo que, em geral podemos escrever: (lei de distribuição de Boltzmann) Daí que: é a probabilidade de se encontrar moléculas num determinado estado energético. 27-04-2017

DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADES MOLECULARES: Em 1860, James Clerk Maxwell (1821-1879) deduziu a expressão que descreve a distribuição de velocidades moleculares. 60 anos mais tarde é que foram realizadas experiências cujos resultados confirmaram as predições de Maxwell. Consideremos um recipiente contendo gás cujas moléculas têm uma determinada distribuição de velocidades. No estado de 27-04-2017

DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADES MOLECULARES: equilíbrio térmico a distribuição das velocidades moleculares apresenta o seguinte aspecto: 27-04-2017

DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADES MOLECULARES: Onde é a função de distribuição de Maxwell- Boltzmann. Se N é o nº total de moléculas na amostra, então, o nº de moléculas com velocidades entre é dado pela relação: Esse nº é igual a área da figura sombreada. A fracção é a fracção das moléculas cujas velocidades estão entre , que corresponde a probabilidade de que uma dada molécula tenha sua velocidade nesse intervalo. 27-04-2017

DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADES MOLECULARES: A expressão fundamental que descreve a distribuição de velocidades de N moléculas em equilíbrio é: Desta fórmula nota-se que: A distribuição das velocidades moleculares no gás depende da massa das moléculas e da temperatura. 27-04-2017