Sistemas de equações lineares MCEF 2011/12

O Sistemas lineares constituem um caso particular dos sistemas não lineares, sendo que os métodos estudados se aplicam também a estes. Chamamos sistema de equações lineares a qualquer sistema do tipo: Sistemas Lineares

Os sistemas lineares podem ser escritos na sua forma matricial, tendo em conta a definição da operações de multiplicação de matrizes. Forma matricial

Vamos tentar resolver o um sistema linear utilizando o método do ponto fixo. Para tal devemos reescrever o sistema na forma x = G(x), o que equivale a, em cada equação, isolar a respectiva variável. Uma forma de o fazer pode ser a seguinte: Métodos Iterativos para sistemas lineares (um exemplo)

O Processo descrito anteriormente conduz a um método conhecido como Método de Jacobi, que pode ser descrito pelo seguinte algoritmo Método de Jacobi

O Método de Jacobi pode ser obtido de uma forma um pouco diferente da apresentada, se começarmos por decompor a matriz A : Convergência do Método de Jacobi

Método de Jacobi

Condições suficientes de convergência

Pensando nas duas normas matriciais que estudámos, elas serão inferiores a 1 para a matriz C se o módulo de cada elemento na diagonal de A for estritamente superior a todos os elementos na mesma linha ( no caso da norma infinito) ou na mesma coluna (no caso da norma 1). De facto, Este facto motiva a definição seguinte: Condições suficientes de convergência

Condições suficientes de convergência: O resultado

Exemplo

Várias medidas do erro …

Método de Gauss-Seidel

Convergência do método de Gauss-Seidel

O Método de eliminação de Gauss consiste na transformação do sistema linear inicial, utilizando apenas operações que não aletram as respectivas soluções, até chegar a um sistema de “fácil” resolução. Todos estes sistemas têm a mesma solução, sendo que o último é de resolução trivial. Métodos diretos para sistemas lineares: Eliminação de Gauss

Método de eliminação de Gauss

Comparação dos métodos (tempo de computação em segundos) NElim. GaussJacobiGauss-Seidel

Comparação dos vários Métodos

Suponhamos que pretendemos resolver o sistema linear A x = b, mas apenas dispomos de uma aproximação do segundo membro b. Isto ocorre frequentemente nas aplicações, estando normalmente ligado a erros de medição, amostragem, estamação de parâmetros, etc. O que podemos dizer sobre o erro inerente que afecta a solução deste sistema ? Condicinamento de sistemas lineares

Exemplo

Dizemos que uma matriz é bem condicionada se pequenos erros relativos nos dados conduzem a pequenos erros relativos na solução. Dizemos que uma matriz é mal condicionada se pequenos erros relativos nos dados dão origem a grandes erros relativos na solução. Condicionamento

Exemplo: Modelos de Leontief Modelos lineares que descrevem uma economia com n indústrias produtivas interdependentes, cada uma delas produzindo um bem. Para produzir esses bens, cada uma das indústrias necessita dos bens produzidos pelas outras indústrias. Cada indústria, além de produzir o necessário para abastecer as restantes, deve ainda satisfazer uma determinada procura final do bem. Os dados vêm normalmente agregados por ramo de actividade, com diversos níveis de agregação, a seleccionar conforme a aplicação. Os dados podem ser expressos em unidades produzidas ou em unidades monetárias, consoante a informação disponível.

Formalização

Sistema de Leontief Procura Final Nível de produção

Exemplo “modificado” Industry Consuming Agriculture Food & Beverages TextilesApparel Lumber & Wood Furniture & fixtures Paper & allied products Total Output Industry Producing Agriculture Food & Beverages Textiles Apparel Lumber & Wood Furniture & fixtures Paper & allied products Total Outlays Source: Leontief (1947), Bureau of labour Statistics data. Units: BillionsOf US dollars.

1.Construir uma matriz de coeficientes técnicos nesta situação, em que os disponíveis estão expressos em unidade monetárias, sem referência a quantidades produzidas ou ao custo unitário. 2.Identificar a procura final, por área de negócio, e resolver o sistema de Leontief correspondente. 3.Mediante os resultados obtidos, discuta a utilidade da resolução do sistema. 4.Discuta o condicionamento do sistema linear e estime o erro cometido na resolução do mesmo se as estimativas das procuras finais estiverem afectadas de um erro inferior a 10%. Actividade