Binômio de Newton

História "...é muito grande o risco de se dizer bobagem da grossa ao se falar sobre assuntos de história da Matemática sem a devida formação. Até mesmo em assuntos que não exigem praticamente base nenhuma de História da Matemática e não envolvem nenhuma sutileza histórica ou matemática, como é o caso do binômio, o que os livros de ensino médio e até universitário dizem é pura fantasia." J. F. Porto da Silveira

Binômio de Newton Vamos começar nosso estudo calculando potências do tipo (a + b) n, nas quais n  N. n = 0  (a + b) 0 = 1 n = 1  (a + b) 1 = a + b n = 2  (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = = a 2 + 2ab + b 2 n = 3  (a + b) 3 = (a + b)(a + b) 2 = (a + b)(a 2 + 2ab + b 2 ) = = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b + 2ab 2 + b 3 = = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

n = 4  (a + b) 4 = (a + b)(a + b) 3 = = (a + b)(a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ) = = a 4 + 3a 3 b + 3a 2 b 2 + ab 3 + a 3 b + 3a 2 b 2 + 3ab 3 + b 4 = = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4... Analisando os expoentes de a e de b, o que podemos concluir? O expoente de a decresce de n até 0, enquanto o de b cresce de 0 até n. Por exemplo, (a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + a 0 b 3.

É possível determinarmos o número de termos do desenvolvimento de um binômio de grau n? Quantos são? O binômio tem n + 1 termos. Vamos analisar os coeficientes de cada termo, para isso, calculemos o produto: (x + a)(x + b)(x + c) = (x 2 + bx + ax + ab)(x + c) = = x 3 + cx 2 + bx 2 + bcx + ax 2 + acx + abx + abc = = 1.x 3 + (a + b + c)x 2 + (ab + bc + ac)x + abc

(x + a)(x + b)(x + c) = = x 3 + (a + b + c)x 2 + (ab + bc + ac)x + abc Chamemos de S o coeficiente de x 0, analogamente de T o de x, de U o de x 2 e de V o de x 3. Concluímos que: Tomando a = b = c, voltamos ao estudos das potências de binômios.

Generalizando, temos o binômio de Newton que é o método para desenvolver potências do tipo (a + b) n, n  N:

Número Binomial O número, com n, p  N e n  p é chamado de número binomial e também pode ser escrito como C n, p ou, ou seja, Chama-se n numerador e p denominador. Lembremos da Análise Combinatória que

Uma forma de ordenar os números binomiais é: Obs.: O último elemento da linha é o número binomial com n = p, pois n  p (definição de número binomial). Numa determinada linha n todos os números binomiais têm mesmo numerador n. Numa determinada coluna p todos os números binomiais têm mesmo denominador p.

Outra forma de escrever o triângulo de Pascal Calculando o valor de cada número binomial.

Propriedade 1 O primeiro e o último elemento de cada linha será sempre igual a 1, pois C n,0 e C n,n,respectivamente, são iguais a 1.

Propriedade 2 Somando dois elementos consecutivos de uma mesma linha obtemos o elemento situado abaixo da segunda parcela.

Propriedade 3 Numa linha, dois números binomiais eqüidistantes dos extremos são iguais.

Propriedade 4 A soma dos elementos da linha n vale 2 n.

Propriedade 5 A soma dos elementos de uma coluna, desde o primeiro até um determinado elemento, é igual ao elemento situado imediatamente à direita e abaixo do último elemento considerado.

Propriedade 6 A soma dos elementos de uma diagonal, desde o elemento da 1ª coluna até determinado elemento, é igual ao elemento situado imediatamente abaixo do último elemento considerado.

Se você identificar outra propriedade, escreva-a.

Aplicações do binômio de Newton "A tarefa do professor de Matemática, principalmente o do ensino elementar, é extremamente ingrata. Ao contrário de seus colegas de Biologia, Física e Química que podem mostrar aplicações de suas ciências em praticamente tudo o que nos cerca, o professor de Matemática conta nos dedos os assuntos que ele pode mostrar a aplicabilidade. Uma reação à essa situação tem sido a invenção da aplicabilidade da Matemática no cotidiano, uma fantasia que só provoca risos entre os verdadeiros usuários de Matemática: engenheiros, físicos, químicos, etc. A Matemática tem sim aplicações, porém essas dificilmente se mostram aos NÃO iniciados nas ciências e na Matemática de nível superior. E bote difícil nisso!" J. F. Porto da Silveira

Exercício 1: Determine o 6º termo de (x + 2) 8 e o 5º termo de (x - 3) 7 : (x+2) 8 = C 8,0 x C 8,1 x C 8,2 x C 8,3 x C 8,4 x C 8,5 x C 8,6 x C 8,7 x C 8,8 x (x -3) 7 = C 7,0 x C 7,1 x C 7,2 x C 7,3 x C 7,4 x C 7,5 x C 7,6 x C 7,7 x 0 3 7

Exercício 2: Determine o 40º termo de (x + 2) 101 : Vamos usar os desenvolvimentos do exercício 1: (x+2) 8 = C 8,0 x C 8,1 x C 8,2 x C 8,3 x C 8,4 x C 8,5 x C 8,6 x C 8,7 x C 8,8 x (6 0 termo) (x+3) 7 = C 7,0 x C 7,1 x C 7,2 x C 7,3 x C 7,4 x C 7,5 x C 7,6 x C 7,7 x (5 0 termo) T p = C n,p-1 a n-(p-1) b p-1 T 40 = C 101,39 a 62 b 39

Exercício 3: Calcule o termo médio no desenvolvimento de (2x + 3y) 8 : O desenvolvimento desse binômio tem 9 termos, daí o termo médio, também chamado de central, é o 5º termo, calculado como vimos anteriormente.

Exercício 4: Determine o termo em x 3 do desenvolvimento de (x 2 + 1/x) 6 : T p = C 6,p-1 (x 2 ) 6-(p-1) (1/x) p-1 T p = C 6,p-1 x 12-2(p-1) x -(p-1) x 12-2(p-1) x -(p-1) = x p +2 - p + 1 = 3 - 3p = p = 12/3 = 4 T 4 = C 6,3 x 3 = 20x 3

Exercício 5: UCS - Se 360 x 3 é um dos termos do desenvolvimento de (x + 3m) 5, então o valor de m é: a) 1 b) -1 c) -1 ou 1 d) -2 ou 2 e) 3 (x + 3m) 5 = x 5 (3m) x 4 (3m) x 3 (3m) x 2 (3m) x 1 (3m) 4 + x 0 (3m) 5 10 x 3 (3m) 2 = 360 x 3 90 m 2 = 360 m 2 = 360/90 m 2 = 4 m = -2 ou m = 2

Exercício 6: Qual o valor da soma dos coeficientes do desenvolvimento de ( 10y 2 - 7y 3 ) 4 ? Basta somar os coeficientes dos termos do binômio e elevar ao expoente do próprio binômio: ( ) 4 = 3 4 = 81 Mostre que a regra dada acima é sempre válida.

Desenvolvendo o binômio e calculando p(1), teremos apenas a soma dos coeficientes desse desenvolvimento. Então, calculando o valor do binômio ( 10y 2 - 7y 3 ) 4, para y = 1, teremos a mesma soma de coeficientes. Logo, ( ) 4 = 3 4 = 81

fim