Departamento de Informática – E D L M Teoria dos Conjuntos Rosen 5 th ed., §§ Estruturas Discretas e Lógica Matemática Dep. de Informática – UFMA Prof. Anselmo Paiva

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Introdução à Teoria dos Conjuntos Conjunto: – estrutura que representa uma coleção não ordenadade zero ou mais objetos distintos. Teoria dos conjuntos trata das operações entre conjuntos e as afirmações acerca de conjuntos. Conjuntos são muito usados em Computação.

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Conceitos Praticamente tudo que podemos fazer com objetos individuais podemos fazer com conjuntos. Ex: –Comparar, compbinar, se referi a ele,… Podemos fazer coisas que não podemos fazer com objetos individuais. Ex: –Verificar quando um conjunto é contido por outro (?) –Determinar quantos elementos um cojunto tem (?) –Aplicar quabtificadores sobre esses elementos (usando o conjunto como UD para ,  )

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Notação Básica Para conjuntos usaremos as variáveis S, T, U, … Notação: –Listando todos os elementos que o compoem entre chaves: {a, b, c} cojunto dos três objetos a, b, c. –Definindo sua regra de construção Considere P(x) sobre um determinado U.D., {x|P(x)} é o conjunto de todos os x tal que P(x).

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Propriedades Básicas Sets não definem ordem: –{a, b, c} = {a, c, b} = {b, a, c} = … Todos os elementos são distintos; –Se a=b then {a, b, c} = {a, c} = {b, c} = {a, a, b, a, b, c, c, c, c}. –Este conjunto possui 2 elementos!

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Propriedades Básicas Existe outra estrutura (Multiconjuntos) que aceita elementos repetidos –Se a=b, então [c,a] = [c,b], mas –[a, b, c]  [a, c]  [a,a,a,c] Notação: Se B é um multicojunto, então countB(e)=número de ocorrências de e em B

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Igualdade de Conjuntos Dois conjuntos são iguais s.s.s possuem exatamente os mesmos elementos. Não importa como o cojunto é definido Exemplo: –{1, 2, 3, 4} = –{x | x é um inteiro com x>0 e x<5 } = –{x | x é um inteiro com quadrado menor que >0 e <25}

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Conjuntos Infinitos Conjuntos podem ser infinitos. Alguns conjuntos infinitos especiais: –N = {0, 1, 2, …} Números Naturais. –Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} Inteiros. –R = Números reais … Existem conjuntos infinitos de tamanhos diferentes!

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Diagramas Venn/Euler John Venn

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Relações Básicas: Pertence a x  S (“x está em S”) é a proposição que afirma que o objeto x é um elemento do conjunto S. –3  N, “a”  {x | x é letra do alfabeto} Podemos definir igualdade entre conjuntos em termos da relação  : –  S,T: S=T  (  x: x  S  x  T) –“Dois conjuntos são iguais sss possuem os mesmos elementos.” x  S :   (x  S) “x não está em S”

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Conjunto Vazio Um conjunto S é denominado conjunto vazio sss não possui elementos:  x(x  S). Prove que  xy((empty(x)  empty(y)  x=y) Nota: U.D formado por todos os conjuntos!

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Só existe um conjunto vazio Prove que  xy((empty(x)  empty(y))  x=y) –Por redução ao absurdo: –Suponha que existem a e b tal que empty(a) e empty(b). –Assim,  x(x  a)   x(x  b) –Suponha a  b. Isto significa que  x(x  a   x  b) ou  x(x  b   x  a) –Mas o primeiro caso não pode acontecer porque  x(x  a). O segundo caso não pode acontecer porque  x(x  b) –Contradição

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva O Conjunto Vazio Como só existe um único conjunto vazio usamos um símbolo especial para representá-lo:  (“conjunto vazio”) é o único conjunto que não contém nenhum elemento.  = {} = {x|False}

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Subconjuntos e Relação: contido S  T (“S é um subconjunto de T”) significa que todo elemento de S é também um elemento de T. S  T   x (x  S  x  T)  S, S  S. S  T (“S ‘o superconjunto de T”) significa T  S. Note que S=T  S  T  S  T. significa  (S  T), i.e.  x(x  S  x  T)

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Subconjunto Próprio S  T (“S é um subconjunto próprio de T”) significa que S  T mas. Similarmente para S  T. S T Venn Diagram equivalent of S  T Exemplo: {1,2}  {1,2,3}

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Conjuntos são objetos também Conjuntos podem ser elementos de outros conjuntos. E.g. Seja S={x | x  {1,2,3}} então S={ , {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}} Note que 1  {1}  {{1}} !!!!

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Cardinalidade |S| (lemos “a cardinalidade de S”) é a medida que indica o número de elementos diferentes que S possui. E.g., |  |=0, |{1,2,3}| = 3, |{a,b}| = 2, |{{1,2,3},{4,5}}| = ____ Se |S|  N, então S é um conjunto finito. Senão S é um conjunto infinito. Alguns conjuntos infinitos:

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Conjunto das Partes O conjunto das partes P(S) de um conjunto S é o conjunto que cujos elementos são todos os subconjuntos de S. –P(S) :≡ {x | x  S}. –E.g. P({a,b}) = { , {a}, {b}, {a,b}}. Algumas vezes P(S) é escrito 2S. Note que (para um cojunto S finito), –|P(S)| = 2|S|. Assim:  S:|P(S)|>|S|, e.g. |P(N)| > |N|. Existem conjuntos infinitos com tamanhos diferentes !!!!!

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Teoria Axiomática dos Conjuntos Varios axiomas, e.g., afirmando que a união de dois conjuntos também é um conjunto Axioma chave: Dado um predicado P como construtor de um conjunto. O conjunto consiste de todos os elementos x do U.D para os quais P(x) é True. Mas, a teoria resultante pode se tornar logicamente inconsistente! –Paradoxo de Russel

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Operador de União Para conjuntos A, B, a união A  B é o conjunto que contém todos os elementos que estão em A, ou (“  ”) em B (ou, em ambos). Formalmente: –  A,B: A  B = {x | x  A  x  B}. A  B é superconjunto de de A e de B –de fato é o menor superconjunto –  A, B: (A  B  A)  (A  B  B)

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva {a,b,c}  {2,3} = {a,b,c,2,3} {2,3,5}  {3,5,7} = {2,3,5,3,5,7} = {2,3,5,7} União - Exemplo Forma correta

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Operador de Interseção Sejam os conjuntos A, B. Sua interseção A  B é o conjunto que contem todos os elementos que estão simultanemanete em A e (“  ”) em B. Formalmente:  A,B: A  B={x | x  A  x  B}. A  B é subconjunto de A e de B –O maior subconjunto de ambos simultaneamente –  A, B: (A  B  A)  (A  B  B)

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva {a,b,c}  {2,3} = ___ {2,4,6}  {3,4,5} = ______ Interseção - Exemplo  {4}

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Disjunção Dois conjuntos A e B são ditos disjuntos sss sua interseção é vazia (A  B=  ) Exemplo: –Conjunto dos números pares e conjunto dos números ímpares.

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Princípio da Inclusão-Exclusão Quantos elementos possui o conjunto A  B? Poderiamos definir uma fórmula geral? (Em termos de |A| e |B| ou de algo mais.)

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Inclusion-Exclusion Principle Quantos elementos possui A  B? |A  B| = |A|  |B|  |A  B| Exemplo: Quantos alunos temos na lista de s da disciplina? Considere conjunto E  I  M, I = {s | s preencheu a ficha de cadastro} M = {s | s mandou o para o monitor} Alguns alunos fizeram as duas coisas! |E| = |I  M| = |I|  |M|  |I  M|

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Diferença entre conjuntos A diferença entre A e B, escrita A  B, é o conjunto de todos os elementos que estão em A mas não em B. Formalmente:  A  B :   x  x  A  x  B  Também chamado de: –Complemento de B em relação a A.

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Diferença entre conjuntos-Exemplo {1,2,3,4,5,6}  {2,3,5,7,9,11} = ___________ Z  N  {…, −1, 0, 1, 2, …}  {0, 1, … } = {x | x é inteiro mas não é natural} = {x | x is a negative integer} = {…, −3, −2, −1} {1,4,6}

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Diferença entre conjuntos Venn Diagram –A−B é o que sobra depois que B morde um pedaço de A” Set A Set B Set A  B Chomp!

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Complemento O universo de discurso pode ser considerado como um conjunto denominado U (conjunto universo). O complemento de A, é o complemento de A com relação a U: U  A. Escrito E.g., Se U=N,

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Identidades A  = A = A  U A  U = U A  =  A  A = A = A  A A  B = B  A A  B = B  A A  (B  C)=(A  B)  C A  (B  C)=(A  B)  C

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Leia:  := ,  := ,  :=T, U:=F A  = A = A  U A  U = U, A  =  A  A = A = A  A A  B = B  A, A  B = B  A A  (B  C)=(A  B)  C, A  (B  C)=(A  B)  C

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Identidades Identidade: A  = A = A  U Dominação: A  U = U, A  =  Idempotência: A  A = A = A  A Duplo complemento: Comutativa: A  B = B  A, A  B=B  A Associativa: A  (B  C)=(A  B)  C, A  (B  C)=(A  B)  C

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Lei de DeMorgan Análoga à das proposições.

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Perspectiva Algébrica Lógica proposicional e teoria dos conjuntos são isomorfas. Ambas instanciam a Álgebra Booleana:

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Provando Indentidades Para provar afirmatvas da forma E1 = E2 (onde E é um expressão sobre conjuntos) : 1. Prove que E1  E2 and E2  E1 separadamente. 2. Use notação de construtores e equivalências lógicas. 3. Use uma tabela verdade.

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Subconjuntos mútuos Exemplo: Mostre que A  (B  C)=(A  B)  (A  C). Parte 1: Mostre que A  (B  C)  (A  B)  (A  C). –Assume x  A  (B  C) –mostra que x  (A  B)  (A  C). –Se x  A, e também x  B or x  C. Caso 1: x  B. entao x  A  B, assim x  (A  B)  (A  C). Caso 2: x  C. entao x  A  C, assim x  (A  B)  (A  C). –Logo, x  (A  B)  (A  C). –e, A  (B  C)  (A  B)  (A  C). Parte 2: Mostre (A  B)  (A  C)  A  (B  C).

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Subconjuntos mútuos Alternativa 1: –Traduza para lógica proposicional, prove e traduza de volta para teoria dos conjuntos. E.g., Mostrar A  (B  C)  (A  B)  (A  C). Suponha x  A  (x  B  x  C). Prove (x  A  x  B)  (x  A  x  C).

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Subconjuntos mútuos Alternativa 2: –Parecido com tabela verdade. –Colunas para diferentes expressões de conjuntos. –Linhas para todas as condições de pertence. –“1” indica pertence –“0” indica não pertence. Prove equivalência com colunas idênticas.

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Exemplo – Alternativa 2 Prove (A  B)  B = A  B

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva União e Interseção Generalizada Como são comutativas e e associativas podemos generalizar para n conjuntos: –(A1,…,An) ou até para conjuntos não ordenados X={A | P(A)}.

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva União Generalizada A  A2  …  An :  ((…((A1  A2)  …)  An) Notação “Big U” : Infinitos conjuntos:

Departamento de Informática – E D L M Prof. Anselmo Paiva Interseção Generalizada A1  A2  …  An  ((…((A1  A2)  …)  A n) Notação “Big Arch” : Infinitos conjuntos: