Física I Aula 17 Momento de uma Força e Momento Angular 2009/2010

Sumário O Momento angular A 2.ª Lei de Newton na forma angular O Momento Angular de um Sistema de Partículas O Momento Angular de um Corpo Rígido que Roda em torno de um Eixo Fixo A Conservação do Momento Angular Física I Aula 17 2

3 Momento Angular O momento angular instantâneo,, de uma partícula em relação à origem O é definido como o produto vectorial do vector posição instantânea da partícula,, e do seu momento linear instantâneo,

Física I Aula 174 transportado para a origem Prolongando a linha de acção Momento Angular

Física I Aula 17 5 Momento de uma Força e Momento Angular Para uma partícula

Física I Aula 17 6 O momento da força está relacionado com o momento angular Da mesma forma que a força está ligada ao momento linear Esta é a forma rotacional da 2.ª Lei de Newton  e devem estar calculados em relação ao mesmo ponto A expressão é válida para qualquer ponto num referencial inercial Momento de uma Força e Momento Angular

Física I Aula 17 7 Momento Angular A unidade SI de momento angular é kg. m 2 /s Tanto o módulo como a direcção de dependem da escolha do ponto de referência

Física I Aula 178 Momento Angular de uma Partícula, Exemplo O vector aponta para fora do diagrama O módulo é ℓ = mvr sin 90 o = mvr Uma partícula com movimento circular uniforme possui momento angular constante em relação ao centro da trajectória

Física I Aula 17 9 Momento Angular de um Sistema de Partículas O momento angular total de um sistema de partículas é, por definição, o vector soma dos momentos angulares das partículas que o constituem Diferenciando em relação ao tempo

Física I Aula Os momentos das forças internas que actuam no sistema cancelam-se dois a dois Portanto, O momento resultante das forças exteriores que actuam num sistema, em relação a um ponto de um referencial inercial, é igual à derivada temporal do momento angular total do sistema (calculado em relação ao mesmo ponto) Momento Angular de um Sistema de Partículas

Física I Aula 1711 Momento Angular de um Corpo Rígido em Rotação Cada partícula do corpo roda no plano xy em torno do eixo dos z com velocidade angular O módulo do momento angular de uma partícula é e  têm a direcção e sentido do eixo dos z

Física I Aula Obtemos o momento angular do corpo adicionando os momentos angulares das partículas individuais Obtemos assim a forma rotacional da 2.ª Lei de Newton (corpo rígido, eixo fixo) Momento Angular de um Corpo Rígido em Rotação

Física I Aula Conservação do Momento Angular O momento angular total de um sistema é constante, em módulo, direcção e sentido se o momento resultante das forças exteriores que actuam no sistema é nulo Momento de forças resultante = 0 -> significa que o sistema é isolado Para um sistema de partículas,

Física I Aula Se a massa de um sistema isolado se redistribui, o momento de inércia varia A conservação do momento angular exige uma variação da velocidade angular I i  i = I f  f Esta expressão é válida para rotação em torno de um eixo fixo e para rotação em torno de um eixo que passa no centro de massa de um sistema em movimento O momento de força resultante deve ser nulo em qualquer dos casos Conservação do Momento Angular

Física I Aula Sumário das Leis de Conservação Para um sistema isolado - (1) Conservação da Energia: E i = E f (2) Conservação do Momento Linear : (3) Conservação do Momento Angular :

Física I Aula 1716 Conservação do Momento Angular : O Carrossel O momento de inércia do sistema, em relação ao eixo de rotação, é a soma do momento de inércia da plataforma e do momento de inércia da pessoa Supomos que a pessoa pode ser tratada como uma partícula Se a pessoa se move para o centro da plataforma o módulo da velocidade angular aumentará, para que permaneça constante

Física I Aula Definição de Produto Externo ou Vectorial Dados os vectores O vector produto externo de A e B é um terceiro vector, C C lê-se “ ” O módulo de C é AB sin  em que  é o ângulo entre A e B

Física I Aula 1718 Produto Vectorial AB sin  é a área do paralelogramo formado por A e B A direcção de é perpendicular ao plano formado por O sentido pode ser determinado pela regra da mão direita Regra da mão direita

Física I Aula Propriedades do Produto Vectorial O produto vectorial não é comutativo. A ordem dos vectores é importante Se é paralelo a (  = 0 o ou 180 o ), então Portanto

Física I Aula Se é perpendicular a, então O produto vectorial obedece à lei distributiva Propriedades do Produto Vectorial

Física I Aula A derivada do produto vectorial em relação a uma variável, como t, é em que é importante conservar a ordem multiplicativa de Propriedades do Produto Vectorial

Física I Aula Produto Vectorial dos Vectores Unitários

Física I Aula Produto Vectorial dos Vectores Unitários Podemos mudar os sinais em produtos vectoriais

Física I Aula Utilização de Determinantes O produto vectorial pode ser expresso na forma Desenvolvendo os determinantes obtemos