A ULA 3 B IOESTATÍSTICA James Dean Oliveira dos Santos Júnior

INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE Eventos aleatórios, axiomas, probabilidade condicional, independência e Teorema de Bayes

O QUE É P ROBABILIDADE ? Sabemos que um fenômeno aleatório produz resultados que não podem ser preditos com certeza. O conjunto de todos esses resultados é denominado Espaço Amostral e identificado aqui pela letra S. Os elementos de S são denominado eventos. O probabilidade é um artifício matemático para expressar a chance de ocorrer algum resultado de S

O QUE É P ROBABILIDADE ? Dizer que ocorreu o resultado A ou B implica em dizer que qualquer um dos dois ocorreu. Em linguagem de conjuntos, dizemos que ocorreu A  B (lê-se A união com B). Exemplo: Lançamos um dado de seis faces. Sejam os eventos: A: resultado é ímpar B: o resultado é menor que 4.

O QUE É P ROBABILIDADE ? Continuação do exemplo: S = {1,2,3,4,5,6} A = {1,3,5} B ={1,2,3} O evento A  B quer dizer que ocorreu ou um elemento de A ou um de B, logo A  B={1,2,3,5}

O QUE É P ROBABILIDADE ? Dizer que ocorreram os resultados A e B implicam e dizer que os dois ocorreram juntos. Em linguagem de conjuntos: A  B (lê-se A interseção com B) Exemplo: Lançamos um dado de seis faces. Sejam os eventos: A: resultado é ímpar B: o resultado é menor que 4.

O QUE É P ROBABILIDADE ? Continuação do exemplo: S = {1,2,3,4,5,6} A = {1,3,5} B ={1,2,3} O evento A  B quer dizer que ambos A e B devem ocorrer, logo só podem ocorrer elementos que estejam nos dois conjuntos. Assim A  B={1,3}

O QUE É P ROBABILIDADE ? Representação gráfica da união entre A e B Representação gráfica da interseção entre A e B S AB S

O QUE É P ROBABILIDADE ? O evento A c é a não ocorrência de A. Exemplo: S = {1,2,3,4,5} A ={1,3,5} A c = {2,4} O evento impossível é o vazio, denotado por . Exemplo: S = {1,2,3,4} A = {1,2} B = {3,4} A  B = .

DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE Definição: Dizemos que P é uma probabilidade se 1. 0 ≤ P(C) ≤ 1 para qualquer C em S 2. P(S) = 1 3. Se A  B = , então P(A  B) = P(A) + P(B). Interpretando: 1. Probabilidade é um número entre 0 e 1 2. Como S possui todos os resultados, S sempre ocorre. 3. Se A e B não podem ocorrer ao mesmo tempo (ou seja, são mutuamente exclusivos ), podemos somar suas probabilidades.

P ROBABILIDADE DO C OMPLEMENTAR O complementar de A é composto por todos os elementos que não estão em A. Como a soma de todos os elementos deve dar um, termo que P(A) + P(A c ) = 1. Logo P(A c ) = 1- P(A).

P ROBABILIDADE DO C OMPLEMENTAR A AcAc

PROBABILIDADE DA UNIÃO P(A  B) = P(A)+P(B)-P(A  B). S A B = S A S B S + - ABAB

E XEMPLO Se P(A)=0,3 P(B)=0,5 e P(A  B)=0,1, quando vale P(A  B)? Resposta: P(A  B)=0,3 + 0,5 – 0,1 = 0,7

P ROBABILIDADE L APLACIANA Suponha que temos uma coleção de m objetos em uma urna, todos com a mesma probabilidade serem retirados. Então, a probabilidade de retirarmos um objeto é 1/ m (um objeto entre m objetos). Essa definição é conhecida como probabilidade Laplaciana.

E XEMPLO : L ANÇAMENTO DE UM D ADO Lançamento de um dado: podemos identificar a “urna” com o espaço amostral {1,2,3,4,5,6} e os “objetos” como sendo o resultado do lançamento. Assim, seja A i o evento no qual ocorre a face i. Teremos que P( A i )= 1/6. Seja B o evento no qual ocorre uma face par. Então P( B ) = P( A 2  A 4  A 6 )= P( A 2 ) + P( A 4 ) + P( A 6 ) = 3/6 =1/2.

U MA U RNA PARA C OMEÇAR... Suponha que retiramos um objeto de uma urna, dentre 36 objetos possíveis. Como cada objeto possui a mesma chance de sair, a probabilidade de um objeto qualquer ser selecionado é 1/36 (um objeto em 36). Acontece que esses objetos podem ser verdes ou azuis e podem ser quadrados ou circunferências. Veja a urna no próximo slide.

U MA U RNA PARA C OMEÇAR...

Seja C o evento no qual o objeto é uma circunferência e A o evento no qual o objeto é azul. P( C ) = 13/36 P( A ) = 12/36 P( A  C ) = 2/36 P( A  C ) = P( A )+P( C ) – P( A  C ) = 23/36

E SE UM DOS EVENTOS FOR CONHECIDO ? Suponha agora que o objeto selecionado é um quadrado. Qual a probabilidade deste objeto ser azul? Neste caso, houve uma mudança no espaço amostral: dos 36 objetos, apenas 23 deles são possíveis (os quadrados). Dentre os quadrados, 10 deles são azuis. Assim, a probabilidade deve ser 10/23. Esse tipo de probabilidade, no qual algum dos eventos é conhecido, é denominada condicional.

P ROBABILIDADE C ONDICIONAL Sejam A e B dois eventos. Suponha que B é conhecido. Usaremos a notação A | B (lê-se A dado B ) para dizer que estamos interessados no evento A sabendo que B ocorreu. A probabilidade de A dado B é dada por

E XEMPLO : U RNA R ETOMADA... Queremos calcular a probabilidade de sair um objeto azul dado que o objeto é um quadrado. Sabemos que: P(Quadrado) = 23/36 P(Quadrado e Azul) = 10/36

I MPORTANTE L EMBRAR P( A  B ) é a probabilidade de ocorrerem os eventos A e B simultaneamente. P(A  B) é a probabilidade de ocorrer A quando sabemos que B ocorreu.

INDEPENDÊNCIA Se P( A | B ) = P( A ), então o conhecimento de B não interferiu na probabilidade de A. Quando isto acontece, dizemos que A e B são independentes. Acontece que: Logo, se A e B são independentes, então P( A  B )=P( A )P( B )

E XEMPLO : L ANÇAMENTO DE UMA M OEDA Lançamos uma moeda duas vezes. Dado que o primeiro lançamento saiu cara, qual a probabilidade de ter saído cara no segundo lançamento  Os resultados possíveis em um lançamento são: cara,coroa. Assim, a probabilidade de sair algum deles é ½. Os resultados possíveis em dois lançamentos são: (cara,cara), (cara,coroa), (coroa,cara), (coroa,coroa). Logo a chance de sair um destes 4 resultados é ¼.

E XEMPLO : L ANÇAMENTO DE UMA M OEDA Sejam C 1 e C 2 os eventos “resultado cara no primeiro lançamento” e “resultado cara no segundo lançamento”. Então: P(C 1  C 2 ) = ¼ P(C 1 ) = ½ P(C 2  C 1 ) = P(C 1  C 2 )/ P(C 1 ) = ½. Como P(C 2  C 1 ) = P(C 2 ), os lançamentos são independentes.

T EOREMA DA P ROBABILIDADE T OTAL Uma partição de S é uma coleção de eventos sem interseção uns com os outros, cuja a união é igual a S. Na figura abaixo, A 1,..., A 7 formam uma partição de S S A1A1 A2A2 A3A3 A7A7 A6A6 A5A5 A4A4

T EOREMA DA P ROBABILIDADE T OTAL Seja A 1,...,A 7 uma partição de S. Então Nota: A e A c sempre formam uma partição de S. S A1A1 A2A2 A3A3 A7A7 A6A6 A5A5 A4A4 B

E XEMPLO Sejam M e F os eventos Sexo Masculino e Sexo Feminino. Seja A o evento no qual um indivíduo é favorável a legalização do aborto. Sabemos que P( A  M )=0,3 e P( A  F )=0,1. Também sabemos que P(F)=0,6 e P(M)=0,4. Qual a probabilidade de uma pessoa qualquer ser favorável a legalização do aborto 

E XEMPLO P(A) = P(A  M)P(M) + P(A  F)P(F) = 0,3.0,4 + 0,6.0,1 = 0,12 +0,06 = 0,18. FemininoMasculino Aborto

T EOREMA DE B AYES Teorema: Se A,...,A é uma partição de S, então:

E XEMPLO Consideremos os dados do exemplo anterior: P(A  M)= 0,3; P(A  F)= 0,1; P(F)=0,6; P(M)=0,4. Encontramos uma pessoa favorável a legalização do aborto. Qual a probabilidade dela ser do sexo feminino 

E XEMPLO