Zeros reais de funções reais: Métodos da Bisseção; Newton-Raphson e Secante. Vamos considerar aqui o estudo de métodos numéricos para a resolução da equação f(x) = 0, onde Um número real ξ é um zero da função f(x) ou uma raiz da equação f(x) = 0 se f(ξ) = 0. Tendo em vista que é praticamente impossível se achar os zeros exatamente, os métodos numéricos determinam valores aproximados para a raiz, que denotaremos por .

Critérios de Parada

1. Método Gráfico Uma primeira aproximação para a raiz da equação f(x) = 0 pode ser obtida através da análise gráfica da função f(x). Podemos utilizar um dos seguintes processos: i) Esboçar o gráfico da função f(x) e localizar as abscissas dos pontos onde a curva intercepta o eixo ox ; ii) Escrever a equação f(x) = 0 na forma equivalente g(x) = h(x), esboçar os gráficos de g(x) e h(x) no mesmo eixo cartesiano e localizar os pontos onde as duas curvas se interceptam. Neste caso f(ξ) = 0 g(ξ) = h (ξ); iii) Usar os programas que traçam gráficos de funções, disponíveis em algumas calculadoras ou softwares matemáticos.

Exemplo. Usando o Método Gráfico determinar as aproximações para as raízes da equação .

2. Método da Bisseção Seja a função f(x) contínua no intervalo [a, b] e tal que f(a)f(b) < 0. Dividimos o intervalo [a, b] ao meio e escolhemos o novo subintervalo que ainda contém a raiz. O processo é repetido até atingir a precisão requerida . Graficamente

Considerações sobre a convergência do método da bissecção i) Se f(x) é contínua no intervalo [a, b] e f(a)f(b) < 0, o método da Bissecção gera uma sequência que converge para a raiz da equação f(x) = 0. ii) Dada uma precisão ε e um intervalo inicial [a, b], é possível saber, a priori, quantas iterações serão efetuadas pelo método da bissecção até que se obtenha b – a < ε . iii) As iterações envolvem cálculos simples, mas a convergência é muito lenta. Se o intervalo inicial é tal que b0- a0 >> ε e se ε for muito pequeno, o número de iterações tende a ser muito grande.

3. Método de Newton-Raphson O Método de Newton - Raphson é obtido geometricamente da seguinte forma: dado o ponto (xk, f(xk)) traçamos a reta Lk(x) tangente à curva neste ponto. A intersecção desta reta com o eixo das abscissas fornece o ponto xk+1.

Observação. Quando da implementação computacional devemos também utilizar um número máximo de iterações permitidas como critério de parada.

Exemplo. Usando o método de Newton-Raphson calcular a raiz positiva da equação x2 – sen (x ) = 0 com a aproximação inicial x0 = 1. Utilizar como critério de parada o desvio absoluto com tolerância ε =10-3. Solução. Neste caso f(x) = x2 – sen(x), f ’(x) = 2x – cos(x), x0 = 1 e ε = 10-3. Observação. A aproximação x3 está exata para 6 casas decimais. Com 12 casas decimais exatas o valor da raiz é: 0.876726215395.

Gráfico de f(x) usando o Scilab. Pesquisamos as raízes no intervalo [0, 1]. Uma raiz é x = 0 e a outra está entre 0.8 e 0.9.

Considerações sobre a convergência do método de Newton-Raphson Teorema 1. Sejam f(x), f ’(x) e f ’’(x) contínuas num intervalo I que contém a raiz x = ξ de f(x) = 0. Suponha que f ’( ξ ) ≠ 0. Então existe um intervalo Ī I, contendo a raiz ξ, tal que se x0 Ī, a sequência gerada pelo método de Newton-Raphson convergirá para a raiz da equação f(x) = 0. Observações: O teorema 1 afirma que o método de Newton converge desde que a aproximação inicial seja escolhida “suficientemente próximo” da raiz ξ. O método de Newton apresenta ordem de convergência quadrática (p = 2). Ou seja, próximo da raiz, a quantidade de dígitos corretos é praticamente duplicada a cada iteração.

4. Método da Secante

Dedução algébrica do método da secante

Outra dedução algébrica do método da secante

Exemplo. Usando o método da secante calcular a raiz positiva da equação x2 – sem (x) = 0 com a aproximação inicial x0 = 1. Utilizar como critério de parada o desvio absoluto com tolerância ε =10-3. Solução. Temos neste caso f(x) = x2 – sen(x) e ε =10-3. Vamos considerar as aproximações iniciais x0 = 0.7 e x1 = 0.9. Observação. A aproximação x4 está exata para 5 casas decimais.

Considerações sobre a convergência do método da secante i) Visto que o método da secante é uma aproximação para o método de Newton-Raphson, as condições de convergência do método são praticamente as mesmas; acrescente-se ainda que o método pode divergir se f(xk) ≈ f(xk-1). ii) A ordem de convergência do método não é quadrática como no método de Newton-Raphson. Pode-se mostrar que p = 1.6118... .

SCILAB (Scientific Laboratory) é um ambiente gráfico para cálculo científico disponível gratuitamente desde 1994 e desenvolvido desde 1990 por pesquisadores do “Institut National de Recherche em Informatique et em Automatique (INRIA)” e “Ecole Nationale des Ponts et Chaussée (ENPC) na França. O Scilab possui recursos similares àqueles existentes no MATLAB e outros ambientes para cálculo científico. Para baixar o software: www.scilab.org Existem versões de 32 e 64 bits para diversas plataformas: Linux, windows, HP-UX e Mac OSX.

Exemplo. (Ruggiero e Lopes, 1997.)

Algoritmo para o método da bissecção. (Ruggiero e Lopes, 1997.)

Algoritmo - Método de Newton-Raphson. (Ruggiero e Lopes, 1997.) Seja a equação f(x) = 0 e suponha que as condições do teorema 1 sejam satisfeitas.

Cálculo de raízes de equações polinomiais pelo Scilab O Scilab possui a função “roots” para o cálculo de zeros de polinômios. Exemplo. Usando a função roots do Scilab calcular as quatro raízes da equação polinomial: T(x) = 24 – 14x – 13x2 + 2x3 + x4 = 0.

Referências bibliográficas [1] CAMPOS FILHO, F. F. Fundamentos de SCILAB. Edição 2010.08. Universidade Federal de Minas Gerais. 2010. [2] CONTE, S. D. Elementos de análise numérica. Editora Globo. 3ª edição 1977. [3] LOPES, J. M. Apostila de cálculo numérico. FEIS/UNESP, 1994. [4] LOPES, L. C. O. Utilizando scilab na resolução de problemas de engenharia química. XV COBEQ. Curitiba, PR, 2004. [5] RUGGIERO, M. A. G.; LOPES,V. L. R. Cálculo numérico - aspectos teóricos e computacionais, 2ª edição. Pearson, 1997.