i = referente a um intervalo de tempo p 5.TAXAS EQUIVALENTES duas taxas são equivalentes se, considerados o mesmo prazo de aplicação e o mesmo capital, for indiferente aplicar em um ou em outra considerando-se um mesmo capital aplicado por um mesmo período de tempo a cada uma das taxas, ambas as taxas produzirão um mesmo montante se forem equivalentes sejam as taxas: i = referente a um intervalo de tempo p iq = correspondente a um intervalo de tempo igual à fração própria p/q (q>p = 1/ q) i q = q√(1+i) -1

i q = q√(1+i) -1 i 3 = 3√(1+0,092727) -1 i 3 = 3√(1,092727) -1 5.TAXAS EQUIVALENTES exercício 1: Dada a taxa de juros de 9,2727% ao trimestre, determinar a taxa de juros compostos equivalente mensal. Obs: Resposta deve ser dada em formato de percentual i q = q√(1+i) -1 Onde: q = 3 meses i= 9,2727% a.t. i 3 = 3√(1+0,092727) -1 i 3 = 3√(1,092727) -1 i 3 = (1,092727) ^ 0,33333 -1 i 3 = 1,03 - 1 i 3 = 0,03 a.m i 3 = 3% a.m Resposta: a taxa de juros compostos equivalente mensal é de 3% a.m.

exercício 2: Suponhamos que: PV= 1 000,00 i q = 2% a.m. 5.TAXAS EQUIVALENTES exercício 2: Suponhamos que: PV= 1 000,00 i q = 2% a.m. i = 26, 824% a.a. n = 1 ano Verificar se i e iq são equivalentes. Como resolver? Para verificar se ambas são equivalentes, vamos aplicar o capital de $ 1 000,00 pelo mesmo prazo. FV = PV ( 1+i ) n FV = 1 000 ( 1+ 0,02 ) 12 FV = 1 000 ( 1+ 0,26824 ) 1 FV = 1 000 ( 1,02 ) 12 FV = 1 000 ( 1,268242 ) FV = 1 000 ( 1,26824 ) 1 FV = 1 268,24 FV = 1 268,24 FV = $ 1 268,24 FV = $ 1 268,24 Resposta: estas duas taxas são equivalentes

5.TAXAS EQUIVALENTES exercício 3: se um capital de $ 1 000,00 puder ser aplicado às taxas de juros compostos de 10% a.a. ou de 33,1% ao triênio, determinar a melhor aplicação. Aplicando à 10% a.a.por 3 anos Aplicando à 33,1 % a.trienio por 1 período FV = PV ( 1+i ) n FV = PV ( 1+i ) n FV = 1 000 ( 1+ 0, 1 ) 3 FV = 1 000 ( 1+ 0,331 ) 1 FV = 1 000 ( 1,331 ) FV = 1 000 ( 1, 1 ) 3 FV = 1 331,00 FV = 1 000 ( 1, 331 ) FV = $ 1 331,00 FV = 1 331,00 FV = $ 1 331,00 Resposta: como estas duas taxas são equivalentes, é indiferente aplicar-se qualquer das taxas.

5.TAXAS EQUIVALENTES Períodos Não Inteiros é aquela em que os juros dos períodos não-inteiro são calculados utilizando-se a taxa equivalente. FV n , p/q = PV ( 1 + i ) n + p/q

5.TAXAS EQUIVALENTES Períodos Não Inteiros Exercícios: um capital de $ 1 000,00 é emprestado à taxa de juros compostos de 10% a.a., pelo prazo de 5 anos e 6 meses. Tendo por base a capitalização anual, qual será o montante? por etapas: 1º. Calculamos o montante para os períodos inteiros: FV n = PV ( 1 + i ) n FV 5 = 1000 ( 1 + 0,1 ) 5 FV 5 = 1000 ( 1,1 ) 5 FV 5 = 1000 ( 1,61051) FV 5 = 1 610,51

5.TAXAS EQUIVALENTES Períodos Não Inteiros Exercícios: um capital de $ 1 000,00 é emprestado à taxa de juros compostos de 10% a.a., pelo prazo de 5 anos e 6 meses. Tendo por base a capitalização anual, qual será o montante? por etapas: 2º. Calculamos o montante para os períodos não inteiros, e como a taxa está em base anual (12 meses). Temos : p = 6 meses e q = 12 meses FV´ n, p/q = FV5 ( 1 + i ) n + p/q FV´ 5, 1/2 = 1 610,51 ( 1, 1 ) 1/2 FV´ 5, 1/2 = 1 610,51 (1, 048809) FV´ 5, 1/2 = 1 689,12 FV´ 5, 1/2 = $ 1 689,12

5.TAXAS EQUIVALENTES Períodos Não Inteiros Exercícios: um capital de $ 1 000,00 é emprestado à taxa de juros compostos de 10% a.a., pelo prazo de 5 anos e 6 meses. Tendo por base a capitalização anual, qual será o montante? Usando direto a fórmula: FV´ n, p/q = FV5 ( 1 + i ) n + p/q FV´ 5, 1/2 = 1 000,00 ( 1, 1 ) 5 + 1/2 FV´ 5, 1/2 = 1 000,00 ( 1, 1 ) 5,5 FV´ 5, 1/2 = 1 000,00 ( 1, 68912 ) FV´ 5, 1/2 = 1 689,12 FV´ 5, 1/2 = $ 1 689,12

5.TAXAS EQUIVALENTES Taxa Efetiva e Taxa Nominal- Quando Período de Capitalização não coincide com o período da taxa É comum adotar-se a convenção de que a taxa por período de capitalização seja proporcional à taxa nominal i kn FV nk = PV 1+ k Sendo: i = taxa nominal if = taxa efetiva k = número de capitalizações para 1 período da taxa nominal PV = valor presente, ou principal FVnk = Montante

E a taxa efetiva é dada por: 5.TAXAS EQUIVALENTES Taxa Efetiva e Taxa Nominal- Quando Período de Capitalização não coincide com o período da taxa E a taxa efetiva é dada por: i k 1 + if = 1+ k Sendo: i = taxa nominal if = taxa efetiva k = número de capitalizações para 1 período da taxa nominal

i k 1 + if = 1+ k 5.TAXAS EQUIVALENTES Taxa Efetiva e Taxa Nominal- Quando Período de Capitalização não coincide com o período da taxa Exercício: um banco faz empréstimos à taxa de 5% a.a., mas adotando a capitalização semestral dos juros. Qual seria o juro pago por um empréstimo de $ 10 000,00, feito por um ano? i k 1 + if = 1+ k Sendo: i = taxa nominal = 5% a.a. = 0,05 a.a. if = taxa efetiva = ??? k = número de capitalizações para 1 período da taxa nominal = 2 (capitalizações em um ano, pois são 2 semestres num ano)

i k 1 + if = 1+ k 1 + if = (1,025) 2 1 + if = (1,050265) 5.TAXAS EQUIVALENTES Taxa Efetiva e Taxa Nominal- Quando Período de Capitalização não coincide com o período da taxa Exercício: um banco faz empréstimos à taxa de 5% a.a., mas adotando a capitalização semestral dos juros. Qual seria o juro pago por um empréstimo de $ 10 000,00, feito por um ano? i k 1 + if = 1+ k 1 + if = (1,025) 2 1 + if = (1,050265) if = 1,050265 - 1 0,05 2 1 + if = 1+ 2 if = 0,050265 if = 5,0265 % a.a. Resposta: a taxa efetiva é de 5,0265 % a.a. 1 + if = (1+0,025) 2

5.TAXAS EQUIVALENTES Exercício: um capital de $ 1 000,00 foi aplicado por 3 anos, à taxa de 10% a.a. com capitalização semestral. Calcular o montante e a taxa efetiva da operação i = 10 % a.a. k = 2 (1 ano tem 2 semestres) n= 3 anos FV 6 = 1 340, 10 i kn FV nk = PV 1+ k Resposta: o montante será de $ 1 340,10. FV 3*2 = 1 000( 1+ 0,1/2) 2*3 FV 6 = 1 000( 1+ 0,05) 6 FV 6 = 1 000( 1,05) 6 FV 6 = 1 000 (1,340096)

1 + if = (1+ 0,05) 2 1 + if = (1,05) 2 1 + if = 1,1025 i k 1 + if = 1+ 5.TAXAS EQUIVALENTES Exercício: um capital de $ 1 000,00 foi aplicado por 3 anos, à taxa de 10% a.a. com capitalização semestral. Calcular o montante e a taxa efetiva da operação i = 10 % a.a. k = 2 (1 ano tem 2 semestres) n= 3 anos 1 + if = (1+ 0,05) 2 1 + if = (1,05) 2 1 + if = 1,1025 i k 1 + if = 1+ k if = 1,1025 - 1 if = 0,1025 if = 10, 25% a.a. 0,10 2 1 + if = 1+ 2 Resposta: a taxa efetiva é de 10,25% a.a.

5.TAXAS EQUIVALENTES Exercício: sabendo-se que uma taxa nominal de 12% a.a.é capitalizada trimestralmente, calcular a taxa efetiva i = 12 % a.a. k = 4 (1 ano tem 4 trimestres) 1 + if = (1+ 0,03) 4 1 + if = (1,03) 4 1 + if = 1,125509 i k 1 + if = 1+ k if = 1,125509 - 1 if = 0,125509 if = 12, 55% a.a. 0,12 4 1 + if = 1+ 4 Resposta: a taxa efetiva é de 12,55 % a.a.

5.TAXAS EQUIVALENTES Exercício: um banco emprestou a importância de $ 1 000,00 por 1 ano. Sabendo-se que o banco cobra a taxa de 12% a.a., com capitalização mensal, pergunta-se qual a taxa efetiva anual e qual o montante a ser devolvido ao final de 1 ano. 1 + if = (1+ 0,01) 12 i = 12 % a.a. k = 12 (1 ano tem 12 meses) 1 + if = (1,01) 12 1 + if = 1,126825 i k 1 + if = 1+ k if = 1,126825 - 1 if = 0,126825 if = 12, 68 % a.a. 0,12 12 1 + if = 1+ 12 Resposta: a taxa efetiva é de 12,68 % a.a.

5.TAXAS EQUIVALENTES Exercício: um banco emprestou a importância de $ 1 000,00 por 1 ano. Sabendo-se que o banco cobra a taxa de 12% a.a., com capitalização mensal, pergunta-se qual a taxa efetiva anual e qual o montante a ser devolvido ao final de 1 ano. FV 12 = 1 000 (1+ 0,01 ) 12 i = 12 % a.a. k = 12 (1 ano tem 12 meses) n= 1 ano FV 12 = 1 000 (1,01 ) 12 FV 12 = 1 000 (1,126825) FV 12 = 1 126, 83 i kn FV nk = PV 1+ k FV 12 = $ 1 126, 83 Resposta: o montante é de $ 1 126,83. 0,12 12*1 FV 1*12 = 1 000 1+ 12