Conceitos Básicos

Lógica A lógica é usada em Informática para desenvolver linguagens que modelam situações e que fornecem mecanismos para raciocinar sobre essas situações de modo a que se possa garantir que os resultados obtidos estão correctos. Definição de lógica no contexto desta cadeira: ramo do conhecimento que aborda a analise de argumentos, ou a analise dos métodos para distinguir argumentos validos de argumentos inválidos.

Proposições Frases declarativas que fazem afirmações sobre algo Exemplos Sócrates é homem. Todas as aves têm penas. Todos os homens são mortais. 2 e 3 são divisores de 6. Contra-exemplos O que é um dinossauro? Diga qual é o seu nome. Could you please pass me the salt?

Premissas e conclusões Objectivo da lógica: geração de raciocínio correcto. Input = premissas: conjunto de frases declarativas que se assume serem verdadeiras. Output = conclusões: conjunto de outras frases, geradas a partir das premissas, que são verdadeiras nessa situação. Argumento - é um par (premissas,conclusão) também representado por (,). Inferência - é o processo de geração de conclusões a partir de premissas.

Argumentos Representação de um argumento: Em linguagem corrente as premissas e a conclusão são relacionadas com palavras como então portanto logo Em lógica podem ser usadas duas representações alterativas: ({todos os Homens são mortais, Sócrates é um homem}, Sócrates é mortal) todos os Homens são mortais Sócrates é um homem  Sócrates é mortal

Argumentos válidos e inválidos Diz-se que Um argumento (,) é valido ou que  implica logicamente  ou, ainda, que  é uma consequência lógica de  sse for logicamente impossível ter todas as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Caso contrario o argumento é inválido.

Validade/Invalidade vs Verdade/Falsidade Validade/Invalidade são atributos de argumentos Verdade/Falsidade são atributos de proposições Validade/Invalidade de um argumento é independente dos conteúdos das proposições Validade/Invalidade de um argumento depende apenas da existência de uma relação entre os valores lógicos (verdadeiros ou falsos) das premissas e da conclusão

Validade/Invalidade vs Verdade/Falsidade (cont.) Valores lógicos (,) Argumento válido Argumento inválido (Verdadeiro,Verdadeiro) todos os homens são mortais Sócrates é um homem  Sócrates é mortal todos as pessoas são humanos  todos os homens são pessoas (Verdadeiro,Falso) - todos os cães são animais  todos os animais são cães (Falso,Verdadeiro) todas as aves são humanos todos os humanos têm penas  todas as aves têm penas todos os animais são cães  todos os cães são animais (Falso,Falso) todos os cães são felinos todos os felinos têm penas  todos os cães têm penas todos os gatos são cães  todos os cães são gatos

Princípio da irrelevância do valor lógico Excepto no caso em que as premissas são todas verdadeiras e a conclusão e falsa, a verdade/falsidade das proposicões que constituem um argumento não é relevante para determinar a validade/invalidade do argumento.

Forma dos argumentos A forma de um argumento é estudada independentemente do domínio: as partes das proposicões são substituídas por símbolos associados à categoria gramatical (nome proprio, substantivo, adjectivo). Por exemplo o argumento: Bobi é um animal todos os cães são animais Bobi não é cão  nem todos os animais são cães tem a forma: A é um B todo o C é B A não é C  nem todos os B são C em que A é um nome próprio e B e C são substantivos

Forma dos argumentos (cont.) Por exemplo os dois argumentos: Piupiu é uma ave TESTE é um nome em Java nenhuma ave tem barbatanas nenhum nome em Java contém o caracter %  Piupiu não tem barbatanas  TESTE não contém o caracter % têm a mesma forma: A é um B nenhum B tem C  A não tem C em que A e um nome próprio e B e C são substantivos Princípio da forma: se dois argumentos têm a mesma forma então são ambos válidos ou ambos inválidos.

Sistema Formal A lógica é um sistema formal porque estuda argumentos do ponto de vista da forma. A lógica utiliza símbolos para descrever em termos lógicos os objectos que são comuns a formas de argumentos. Por exemplo a forma: A é um B nenhum B tem C  A não tem C pode ser apresentada de um modo mais compacto como: B(A) x [B(x) C(x)]  C(A) em que todos é representado por , implica por  e não por 

Metodologia para determinar validade/invalidade

Metodologia para determinar validade/invalidade (cont.) Embora um argumento seja sempre válido ou inválido, a sua validade ou invalidade pode ser desconhecida. Por exemplo o último teorema de Fermat foi formulado no sec. XVII mas só foi provado em 1993. ({axiomas da aritmética}, para n > 2, não existem inteiros x, y e z tais que zn = xn + yn)

Componentes de uma lógica A linguagem de uma lógica é definida através de um conjunto de regras de formação que especificam as frases possíveis da lógica, denominadas formulas bem formadas (fbfs). Seja L a linguagem que corresponde às fbfs. Logo, um argumento é um par (,) no qual   L e  L. Podemos manipular as frases da linguagem a dois níveis diferentes: A nível simbólico - sistema dedutivo: realização de operações de manipulação de símbolos que dão origem a sequências de frases que começam pelas premissas e tentam obter uma conclusão. A nível do significado - sistema semântico: atribuição de significado/valor lógico às proposições de um argumento com o objectivo de avaliar validade/invalidade de um argumento.

Sistema dedutivo Composto por um conjunto de regras para a manipulação de símbolos chamadas regras de inferência. Estas regras especificam como formar novas fbfs a partir das fbfs existentes. Prova de um argumento (,): sequência finita de fbfs geradas a partir de  de modo a obter , tal que cada fbf ou é uma premissa ou é o resultado da aplicação de uma regra de inferência a uma ou mais fbfs anteriores da prova. Axioma: fbf que é aceite sem demonstração.

Derivação, demonstração e teoremas Dado um argumento (,),  é derivável a partir de , ou seja,   sse existir uma sequência de regras de inferência que aplicadas às fbfs de  (e às fbfs geradas a partir de ) produz . Por outras palavras,  é derivável a partir de  se existe uma prova de  a partir de . Se   então o argumento (,) e demonstrável. O conjunto de todas as fbfs deriváveis a partir de   L corresponde à teoria gerada a partir de , ou seja, aos teoremas de  (Th()).

Sistema semântico Especifica as condições sob as quais as proposições são verdadeiras ou falsas Uma interpretação permite determinar os valores lógicos das proposições Dado um argumento (,), se não existe nenhuma interpretação que torna todas as proposições em  verdadeiras e  falso, então diz-se que  implica logicamente  ou que  é uma implicação lógica de  , ou seja,  . Se   então o argumento (,) é válido.

Sistema dedutivo e sistema semântico Solidez (ou coerência) de uma lógica: qualquer argumento demonstrável (pelo sistema dedutivo) é válido (de acordo com a semântica). Completude de uma lógica: qualquer argumento válido (de acordo com a semântica) e demonstrável (pelo sistema dedutivo). Os conceitos de solidez e completude estabelecem uma relação entre o sistema dedutivo e a semântica. Numa lógica sólida e completa os conceitos de derivabilidade e validade são equivalentes.