Verossimilhança

Construção de modelos: 1 estimativa dos parâmetros que melhor ajustam os modelos aos dados, 2 selecionar aqueles modelos que tem o melhor ajuste Métrica usada para avaliar o ajuste Verossimilhança: probabilidade de ocorrência dos dados dado um modelo.

Modelo Parte determinística: Expectativa da média da distribuição de erros. Y= Normal(ax+b, σ) Y=Poisson(ax+b)

As distribuições de erros pertencem à famílias de funções exponenciais e podem ser descritas por: Onde θi e φ são parâmetros de localização e escala, respectivamente. Ex. Poisson:

Binomial Normal

Estimativas de parâmetros: uma única distribuição Conjunto de dados independentes vindos todos da mesma distribuição. Ex: Predação de frutos em experimento de remoção – binomial; Densidade de árvores com distribuição aleatória em parcelas – Poisson. Estimo os parâmetros da distribuição.

Máxima verossimilhança Maximizar a verossimilhança entre os dados e o modelo Estimativa dos parâmetros de conjunto independente de dados: verossimilhança conjunta é o produto das estimativas individuais a partir de cada dado. Se a distribuição é única (dados vindos da mesma distribuição) temos o produto de termos similares

Por convenção, usa-se: - log do valor de verossimilhança e procuramos minimizar o soma das mesmas.

Exemplo: uma única observação: k sucessos em N possibilidades, dado uma probabilidade individual p de sucessos Em n tentativas, cada uma com N possibilidades, e o numero de sucessos da iésima tentativa é ki

Melhor valor para p Analiticamente: derivada do L em relação a p. Máximo – derivada é zero. Numero de sucessos Numero de tentativas

Para Poisson, o melhor estimador de lambda é a média. Para a normal o melhor estimador da média e desvio são estes parâmetros calculados à partir dos dados. Para algumas distribuições, entretanto, não há solução analítica: solução numérica

Solução numérica no R. P1=rbinom(20, size =6, p=0.7) #Crio a função de densidade acumulada (verossimilhança bionomial) para um dado p e conjunto de dados x: binomL=function(p,k,N){-sum(dbinom(k, prob=p, size=N, log=TRUE))} #usando a função optimize. Otimiza o parêmtro escolhido, a partir de uma estimativa inicial, usando alguns métodos O1=optim(fn=binomL,par=c(p=0.5),N=6,k=P1, method= “BFGS”)

library(bbmle) Função mle() já usa o negativo da verossimilhança. M1=mle2(minuslog=binomL,start=list(p=0.5),data=list(N=6, k=P1))

Modelos mais complexos Ex. p=f(x) Y ~ binomial(p,N). Ajuste de uma reta ou uma curva logística usando 3 parametros: y= a/exp((b-x)/c) my=c(5,6,11,20,27,33,57,43,47,31) co=c(5,15,20,25,30,35,40,45,55,60)

Reta com desvios normais #primeiro crio a função de densidade acumulada que combina a parte determinística e a estocástica ren=function(p,mean,sd,x){ a=p[1] b=p[2] myp=a*co+b sd1=((sum((my-myp)^2))/(length(my)-1)^0.5 -sum(dnorm(x,mean=myp,sd=sd1, log=TRUE)) }

Agora uso a função de otimização: O2=optim(fn=ren,x=my,p=c(0.5,5), method=“BFGS”). Como faria se quisesse comparar isto com uma curva construída com distribuição de posson?

rpo=function(p,lambda,x){ a=p[1] b=p[2] myp=a*cob+b -sum(dpois(x,lambda=myp, log=TRUE)) }

logip=function(p,lambda,x){ a=p[1] b=p[2] c=p[3] Agora tente fazer um ajuste a função logística: y= a/exp((b-x)/c). Com desvios normais e depois com Poisson logip=function(p,lambda,x){ a=p[1] b=p[2] c=p[3] myp = a/(1+exp((b-co)/c)) -sum(dpois(x,lambda=myp, log=TRUE)) }

login=function(p,mean,sd,x){ a=p[1] b=p[2] c=p[3] myp = a/(1+exp((b-co)/c)) sd1=(sum((my-myp)^2))^0.5 -sum(dnorm(x,mean=myp,sd=sd1, log=TRUE)) }