UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA PROJETO PIBEG Unidade Zeros de funções reais

Sumário: 1 – Introdução 1.1 – Isolamento das raízes 1.2 – Refinamento 2 – Método da Bisseção 2.1 – Interpretação Geométrica 2.2 – Algoritmo 2.3 – Estimativa do Número de Iterações 2.4 – Estudo da Convergência 3 – Método do Ponto Fixo 3.1 – Interpretação Geométrica 3.2 – Estudo da convergência do MPF 3.3 – Algoritmo 3.4 – Ordem de convergência do MPF 4 – Método de Newton - Raphson 4.1 – Interpretação Geométrica 4.2 – Estudo da convergência do MNR 4.3 – Algoritmo 4.4 – Ordem de convergência do MNR

1 – Introdução

Em muitos problemas de Ciência e Engenharia há a necessidade de se determinar um número r para o qual uma função f (x) seja zero, ou seja, f (r)=0. Este número é chamado zero ou raiz da função f (x) e pode ser real ou complexo. Em nossos estudos r representará uma raiz real. Graficamente, os zeros reais são representados pelos pontos de interseção da curva com o eixo Ox, conforme figura abaixo: f(x) x

O objetivo desta unidade é o estudo de métodos numéricos para a resolução de equações não-lineares, as quais não possuem solução analítica. Exemplo: A idéia central destes métodos é partir de uma aproximação inicial para a raiz e em seguida refinar essa aproximação através de um processo iterativo do tipo: F(x) é chamada função de iteração.

Portanto, o processo iterativo pode ser dividido em duas fases: Fase I - Localização ou isolamento das raízes: Consiste em obter um intervalo [a,b] que contém uma única raiz; Fase II - Refinamento: Consiste em, escolhidas aproximações iniciais no intervalo [a,b], melhorá-las sucessivamente até se obter uma aproximação para a raiz dentro de uma precisão prefixada.

1.1 – Fase I: Isolamento das raízes Nesta fase é feita uma análise gráfica e teórica da função. A precisão desta análise é o pré-requisito para o sucesso da fase II. 1.1.1 - Análise Gráfica Esta análise pode ser feita através de um dos seguintes processos: i) Esboçar o gráfico da função f (x) e localizar as abscissas dos pontos de interseção da curva com o eixo ; Exemplo:

ii) A partir da equação f (x) = 0, obter a equação equivalente g(x) = h(x), esboçar os gráficos g(x) e h(x) no mesmo eixo cartesiano e localizar os pontos x de interseção das duas curvas, pois Exemplo: h(x) g(x) Resolução:

Nesta análise usamos freqüentemente o teorema de Bolzano: 1.1.2 – Análise Teórica Nesta análise usamos freqüentemente o teorema de Bolzano: “Seja uma função contínua no intervalo [a, b]. Se f (a) f (b) < 0, então existe pelo menos um ponto x = r entre a e b que é zero de f (x)” Graficamente: f(x) x a b f(x) x a b

Sob as hipóteses do teorema anterior, se f’(x) existir e preservar o sinal em [a, b], então existe uma única raiz neste intervalo. Graficamente: f(x) x f(x) x a b a b

Podemos aplicar este teorema atribuindo valores para x e analisar o sinal de f (x). Exemplo: f(x) = - Analisando a mudança de sinal podemos concluir que existe pelo menos uma raiz dentro dos intervalos indicados. - Derivando a função descobrimos que conserva o sinal em cada um dos intervalos, portanto cada raiz é única no intervalo. x -10 -5 -3 -1 1 2 3 4 f(x) - +

Observação Se f (a) f (b) > 0 então pode existir ou não raízes no intervalo [a,b]. Graficamente: f(x) x a b

1.2 – Fase II: Refinamento Esta fase consiste em aproximarmos uma raiz r dentro do intervalo [a, b] através de um método iterativo. Um método iterativo é uma seqüência de instruções que são executadas passo a passo, algumas das quais são repetidas em ciclos, cada ciclo recebe o nome de iteração. Estas iteração utilizam valores obtidos em iterações anteriores para encontrar uma nova aproximação para a raiz. Estes métodos fornecem uma aproximação para a raiz exata. 1.2.1 – Critérios de parada Durante a aplicação de uma método para determinar-se uma raiz, necessitamos que uma certa condição seja satisfeita para estabelecer se o valor de xi está suficientemente próximo de r.

O valor de xi é raiz aproximada com precisão e se: ii) Nem sempre é possível ter as duas exigências satisfeitas simultaneamente, analisemos os casos abaixo: x f(x) f(x) x

Como não conhecemos o valor da raiz r para aplicar o teste i) |xi – r| < e, usamos freqüentemente os conceitos de erro absoluto e erro relativo para determinarmos o critério de parada. a) Erro absoluto: b) Erro relativo:

2 – Método da Bisseção

Condições para aplicação: -A função deve ser contínua no intervalo [a, b], onde contém pelo menos uma raiz, ou seja, f (a) f (b) < 0. -Caso o intervalo contenha duas ou mais raízes, o método encontrará uma delas. O objetivo deste método é reduzir a amplitude do intervalo inicial que contém a raiz até que seu comprimento seja menor que a precisão desejada, usando para isso sucessivas divisões de [a, b] ao meio.

x2 = (a2 + b2) x1 = (a1 + b1) x0 = (a0 + b0) a3 = x2 a2 = x1 a1 = a0 2.1 – Interpretação Geométrica f(x) a0 a1 a2 x1 x2 a3 r b2 b1 b3 x0 b0 x Iteração 1: Iteração 3: Iteração 2: x2 = (a2 + b2) x1 = (a1 + b1) x0 = (a0 + b0) a3 = x2 a2 = x1 a1 = a0 b1 = x0 b2 = b1 b3 = b2 f (x1) < 0 f (x2) < 0 f (x0) > 0 r  [a1 , b1] r  [a3 , b3] r  [a2 , b2]

2.2 – Algoritmo Seja f (x) contínua em [a, b] e tal que f (a) f (b) < 0. 1) Dados iniciais: a) intervalo inicial [a, b]; b) precisão e 2) Se (b – a) < e, então escolha para r FIM. 3) k = 1 4) 5) Se , faça Vá para o passo 7 6) 7) Se (a – b) < e, escolha para r FIM. 8) k = k +1. Volte ao passo 4.

2.3 - Estimativa do número de iterações Dada uma precisão e e um intervalo [a, b], vamos determinar quantas iterações k serão efetuadas pelo método da Bisseção até que bk – ak < e. Sendo k um número inteiro.

Deve-se obter o valor de k tal que , ou seja:

2.4 - Estudo da convergência da Bisseção: Seja f (x) uma função contínua em [a, b], onde f (a) f (b) < 0. O método da bisseção gera três seqüências: não-decrescente e limitada superiormente por tal que: não-crescente e limitada inferiormente por tal que: por construção temos que A amplitude de cada intervalo gerado é a metade da amplitude do anterior, assim temos:

Aplicando o limite temos: Então t = s Seja = t = s o limite das duas seqüências, aplicando o limite na seqüência xk temos que: Resta provarmos que é zero da função, ou seja, f ( ) = 0. Em cada iteração k temos que , então:

3 – Método da Iteração Linear (Método do Ponto Fixo)

Seja f (x) uma função contínua em [a, b], intervalo que contém uma raiz r da equação f (x) = 0. O Método da Iteração Linear (MIL ou MPF) consiste em transformar f (x) = 0 em uma equação equivalente x = j(x), onde j(x) é uma função de iteração. A partir de uma aproximação inicial gerar uma seqüência . de aproximações sucessivas através do processo iterativo dado por:

3.1 - Interpretação Geométrica Graficamente, uma raiz da equação x = j(x) é a abcissa do ponto de intersecção da reta y = x e da curva y = j(x) f(x) x

Exemplo: Encontre uma função de iteração j(x) para a seguinte equação Existem várias funções de iteração para esta equação, por exemplo:

Analisemos alguns casos de função de iteração: f(x) x Converge x f(x) Converge x f(x) Não Converge x f(x) Não Converge

3.2 – Estudo da Convergência do MIL Para que o MIL forneça uma solução da equação f (x) = 0 é necessário que a seqüência gerada , dada por , seja convergente. A convergência será dada pelo seguinte teorema: Teorema 2: Seja r uma raiz da equação f (x) = 0, isolada num intervalo I centrado em r. Seja j(x) uma função de iteração para a equação f (x) = 0. Se: i) e são contínuas em I então a seqüência gerada converge para a raiz r.

Demonstração 1) Provemos que se então r é uma raiz exata da equação f (x) = 0. Assim, e, para qualquer k, temos: (1) j(x) é contínua e diferenciável em I, então, pelo Teorema do Valor Médio, se existe entre e r tal que: (2) Portanto, comparando (1) e (2), resulta

Então, ou seja, a distância entre e r é estritamente menor que a distância entre e r e, como I está centrado em r, temos que se . então Por hipótese, então 2) Provemos que De (1) , segue que: ( está entre e r )

Então, pois 0 < M < 1. Assim, ( está entre e r )

3.3 – Algoritmo do MIL Considere a equação f (x) = 0 e a equação equivalente x = j(x) 1) Dados iniciais: a) : aproximação inicial; b) e : precisões. 2) Se faça FIM. 3) i = 1 4) 5) Se ou se então faça FIM. 6) 7) i = i +1. Volte ao passo 4.

3.4 – Ordem de convergência do MIL Definição: Seja uma seqüência que converge para um número r e seja o erro na iteração k. Se existir um número p > 1 e uma constante C > 0, tais que (2) então p é chamada de ordem de convergência da seqüência e C é a constante assintótica de erro. Uma vez obtida a ordem de convergência p de um método iterativo, ela nos dá uma informação sobre a rapidez de convergência do processo. De (2) podemos escrever:

Provaremos que o MIL tem convergência apenas linear. Conforme foi demonstrado, temos que: Tomando o limite quando Portanto, Então para grandes valores de k o erro em qualquer iteração é proporcional ao erro na iteração anterior, sendo j’(r ) o fator de proporcionalidade.

4 – Método de Newton - Raphson

No estudo do método do ponto fixo, vimos que: i) uma das condições de convergência é que onde I contém a raiz r; ii) a convergência do método será mais rápida quanto menor for |j’(r)|. Com a finalidade de acelerar e garantir a convergência, o MNR procura uma função de iteração j(x) tal que j’(r) = 0. Partindo da forma geral para j(x), iremos obter a função A(x) tal que j’(r) = 0.

Assim, donde tomamos Então, dada f (x), a função de iteração representada por será tal que j’(r) = 0, pois como podemos verificar:

4.1 – Interpretação Geométrica Dado o ponto traçamos a reta tangente à curva neste ponto, dado por f(x) x f (x) r

4.2 – Estudo da Convergência do MNR Teorema 3: Sejam f (x), f’(x), f’’(x) contínuas num intervalo I que contém a raiz x = r de f (x) = 0. Suponha que f’(r) 0. Então, existe um intervalo contendo a raiz r, tal que se . a função de iteração convergirá para a raiz. Demonstração Devemos provar que as hipóteses do Teorema 2 estão satisfeitas para

i) Afirmação: j(x) e j’(x) são contínuas em Temos: Por hipótese, f ’(r) 0 e, como f ’(x) é contínua em I, é possível obter tal que f ’(x) 0, Assim, no intervalo , tem-se que f (x), f ’(x) e f ’’(x) são contínuas e f ’(x) 0. Então j(x) e j’(x) são contínuas em ii) Afirmação: |j’(x)| < 1, Como j’(x) é contínua em e j’(r) = 0, é possível escolher tal que |j’(x)| < 1, de forma que r seja seu centro. Concluindo, conseguimos obter um intervalo , centrado em r, tal que j(x) e j’(x) sejam contínuas em e |j’(x)| < 1, .

4.3 – Algoritmo do MNR Seja f (x) = 0. 1) Dados iniciais: a) aproximação inicial; b) precisões 2) Se , faça .FIM 3) k = 1 4) 5) 6) 7) k = k + 1 Volte ao passo 4.

4.4 – Ordem de Convergência do MNR Seja a função de iteração j(x) desenvolvida em série de Taylor, em torno de x = r: mas, Generalizando para , resulta: ou,

se, portanto Assim para i suficientemente grande pode-se escrever: ou seja, o erro da iteração do MNR é proporcional ao quadrado do erro da iteração anterior. Por isso, diz-se que a convergência é quadrática, ou seja, p = 2.