Escola Básica do 2º e 3º Ciclos Professor Gonçalo Sampaio Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores do 2º Ciclo Escola Básica do 2º e 3º Ciclos Professor Gonçalo Sampaio

Rosáceas “A geometria, presente nas civilizações mais primitivas, constitui-se num importante instrumento de leitura, conhecimento e domínio da natureza. Esta, em suas infinitas estruturas, serve como fonte de inspiração para as criações que expressam as representações imaginárias das distintas culturas. Um bom exemplo dessa relação são os desenhos das “mandalas”, encontradas nas mais antigas inscrições e grafismos da humanidade.” (Roberto Alcarria do Nascimento, Maria Antonia Benutti, Aniceh Farah Neves, 2007) Navajo Construções com areia colorida Tibete Yin Yang 2

“Enquanto uso sagrado aparece na construção de templos, que adornam catedrais. A denominação “rosácea”, forma circular com elementos internos que lembram rosas, deve-se a uma não aceitação dos elementos pagãos pelo cristianismo.” (Roberto Alcarria do Nascimento, Maria Antonia Benutti, Aniceh Farah Neves, 2007) 3

“rosáceas”, propriedades: • nâo têm translações nem reflexões deslizantes; • têm apenas um ponto fixo; • grupo de simetria finito; • algumas têm apenas rotações; • não há nenhuma que só tenha reflexões; • C n ou D n sempre!? 4

Tipos de rosáceas Dn (diedral) Cn (cíclicas) A sua construção obtém- se apenas pela rotação do elemento base. Dn (diedral) A sua construção obtém- se pela rotação e pela reflexão em relação a um eixo. C10 D7 Com n finito 3 n= 1 2 4 5 6 n= 1 2 4 5 6 3 5

Rosáceas Diedrais Considera agora apenas as rosáceas do tipo D (diedrais). Como as podemos caracterizar relativamente ao seu grupo de simetria? Observa a imagem abaixo. Repara que ela tem três eixos de simetria (abaixo assinalados). 6

Observa agora a seguinte rosácea: Rodando o disco anterior e colocando o ponto vermelho em cada uma das 3 posições indicadas abaixo, é possível sobrepor a imagem de cima à de baixo. Esta rosácea tem 3 simetrias de rotação. Repara que o número de simetrias de reflexão é sempre igual ao número de simetrias de rotação. Isso não é coincidência! Uma rosácea com n simetrias de reflexão tem exactamente n simetrias de rotação! Tal rosácea é representada por Dn. 7

C2 C6 C8 Alertar para a D3 que é apenas a parte interior D3 D4 D8 8

Bibliografia MANDALAS E ROSÁCEAS: EM BUSCA DE NOVAS ABORDAGENS PARA ANTIGOS CONTEÚDOS Roberto Alcarria do Nascimento; Maria Antonia Benutti; Aniceh Farah Neves UNESP - Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Departamento de Artes e Representação Gráfica, 2007. http://www.mandalaproject.org/What/Index.html http://www.matematita.it Veloso; Universidade Lusófona Complementos de Geometria 2003-2004 Programas informáticos: Kali (freeware) Tess (shareware)

FIM Trabalho realizado pelo grupo de Formação Contínua de Matemática - 2º Ciclo – E.B.2/3 Prof. Gonçalo Sampaio Ano lectivo 2008-2009 10