Paradoxo de Monty Hall

COMO SURGIU O PARADOXO? O paradoxo de Monty Hall é um problema matemático que surgiu a partir de um concurso televisivo dos Estados Unidos da América chamado Let's Make a Deal (“Vamos fazer um negócio”), exibido na década de 1970.

PARADOXO O jogo consiste no seguinte: Monty Hall (o apresentador) apresentava 3 portas aos concorrentes, sabendo que atrás de uma delas estava um carro e que as outras tinham uma cabra.

A B B C Paradoxo de Monty Hall Na 1ª etapa o concorrente escolhe uma porta, suponhamos que é B C A B B

A B C Paradoxo de Monty Hall De seguida Monty abre uma das outras duas portas que o concorrente não escolheu, sabendo à partida que o carro não se encontra aí. Suponhamos que é A A B C

? Paradoxo de Monty Hall Quer mudar da porta? Ou permanece na B B C

Quando o apresentador revelou uma porta não premiada, o concorrente teria à frente um novo dilema com apenas duas portas e um prémio. A probabilidade deveria ser de ½. ERRADO B C

Quantos casos possíveis de sair carro e cabra é que temos à partida? Porta A Porta B Porta C Caso 1 Carro Cabra Caso 2 Caso 3 P(sair o carro)=3/9=1/3 P(sair cabra)=6/9=2/3 Lei de Laplace

Probabilidade de o apresentador escolher esta porta DIAGRAMA DE ÁRVORE 1/3 1/3 1/3 Concorrente escolhe: Cabra 1 Carro Cabra 2 Probabilidade de o apresentador escolher esta porta 1 1 1/2 1/2 Apresentador mostra: Cabra 2 Cabra 1 Cabra 1 Cabra 2 Troca? S N S N S N S N Carro Cabra1 Carro Cabra2 Cabra2 Carro Cabra1 Carro 1/3 1/3 1/3 1/3 1/6 1/6 1/6 1/6 Mudar Não Mudar Carro: 1/3 +1/3=2/3 Carro:1/6+1/6=1/3 Cabra1:1/6 Cabra1:1/3 Cabra2: 1/6 Cabra2:1/3 1/3 2/3

Explicação Existem três portas, a porta 1, 2 e 3. Quando se escolhe uma das portas, a hipótese de que ela seja a premiada é de 1/3. Como consequência, as hipóteses de que se tenha errado é de 2/3. Pode-se comprovar isso somando a probabilidade de cada uma das outras portas sabendo-se que terá de ser igual a 1.

  Sabendo isso, o apresentador abrirá sem a possibilidade de erro uma dessas duas portas, que contêm uma cabra, talvez a porta A. Ao fazer isso, o apresentador está a dar uma informação muito importante ao concorrente: Pois se o prémio estava nas outras portas que não tinham sido escolhidas necessariamente as portas B ou C, agora só pode estar na porta que o concorrente não escolheu e que não foi aberta, isto é, a porta C. Se o concorrente errou ao escolher uma porta, as hipóteses de isso vir a acontecer são de 2/3. Então, ao abrir uma das outras portas que não tenham o prémio, o apresentador está a dizer onde se situa o prémio.

Então o concorrente está perante 3 situações: 1- Inicialmente ao escolher a porta com a cabra 1. No entanto o apresentador escolhe a outra cabra. Mudando, o jogador ganha o carro. 2- Inicialmente escolhe a porta com a cabra 2. No entanto o apresentador escolhe a outra cabra. Mudando, o jogador ganha o carro. 3- Inicialmente escolhe a porta com carro. O apresentador escolhe uma cabra. Mudando, o jogador fica com uma cabra.

É assim visível que é mais vantajoso trocar de porta! Como as hipóteses de que se tenha errado, ao escolher inicialmente, são de 2/3, se trocar-se as hipóteses de ganhar serão de 2/3. Por conseguinte a probabilidade que o concorrente tem de ganhar, e se no entanto este não trocar de porta, é de apenas 1/3. É assim visível que é mais vantajoso trocar de porta! É assim visível que é mais vantajoso trocar de porta!

Sabia que podemos aplicar a LEI DOS GRANDES NÚMEROS?? Imagine que existem 1000 portas. Suponhamos que escolhe a 446. A probabilidade de acertar da 1ª vez é de 1/1000, é pouco provável que acerte logo a 1ª. O apresentador elimina 998 portas. Sobraram : 446 ( que escolheu ) e a porta 8. Se ficar na porta 446 ,tem 1/1000 de ganhar Se mudar para porta 8 , tem 999/1000 de ganhar O que precisamos levar em consideração é que o apresentador, sabe onde está o prémio . E isto é a chave do problema .Tendo essa informação, ele jamais eliminará a porta que contém o prémio, e sim somente as que NÃO contem o prémio , restando apenas a porta premiada . Quando ele deixa apenas 1 das 1000 portas, esta praticamente aponta onde está o prémio.

Simulação virtual http://people.hofstra.edu/Steven_R_Costenoble/MontyHall/MontyHallSim.html http://www.grand-illusions.com/simulator/montysim.htm http://math.ucsd.edu/~anistat/chi-an/MonteHallParadox.html http://translate.google.pt/translate?js=y&prev=_t&hl=pt-PT&ie=UTF-8&u=http://www.cut-the-knot.org/hall.shtml&sl=en&tl=pt

Bibliografia: http://pt.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Monty_Hall http://enigma.weblog.com.pt/arquivo/085543.html http://hugosilva.wordpress.com/2009/05/10/o-paradoxo-de-monty-hall/

O trabalho foi realizado por: Kamal Miriam Nadiya Nuno

Para a disciplina: Matemática A pedido do professor: Rui Pedro Pereira