Aula de Monitoria – Prova 1 2011.2 Para Computação Aula de Monitoria – Prova 1 2011.2 Alberto Trindade Gisely Melo José Araújo

Roteiro Crescimento de Funções Inclusão-Exclusão Indução Matemática Definições Recursivas Teorema Binomial Triângulo de Pascal

Crescimento de Funções NOTAÇÃO NOME O(xx) ordem exponencial O(x!) Ordem fatorial O(cx) O(xc) Ordem polinomial O(x · log x) ordem linear-logarítmica O(x) ordem linear O(log x) ordem logarítmica O(1) ordem constante A letra c denota uma constante qualquer Gisely Melo

Crescimento de Funções Gisely Melo

Fica sendo o big-O aquele que possuir maior expoente. Crescimento de Funções Retire todas as Constantes: f(x): 3x2 + 9 f(x): x2 O(x2) Fica sendo o big-O aquele que possuir maior expoente. g(x) = 3x2 + 70x5 = x2 + x5 = x5 O(x5 ) reduzir os expoentes... h(x) = 3x2 + 70x5 + 10 x12/x4 = x2 + x5 + x12/x4 = x2 + x5 + x8 = x8 O(x8) ampliar os expoentes... r(x) = 3x2 + 70x5 + 5(x6 . x4) r(x) = x2 + x5 + (x6 . x4) = x2 + x5 + (x10) = (x10) O(x10) Gisely Melo

12n4 + 55 n3 78n2 + 10 n log n Crescimento de Funções log n + 240 O(n4) O(n5) O(n3) O(n2) O(n5) O(n) O(log n) O(n) Gisely Melo

Crescimento de Funções   Gisely Melo

Crescimento de Funções   Gisely Melo

Crescimento de Funções   Gisely Melo

Crescimento de Funções   Gisely Melo

E se aparecer um sinal de MENOS na equação? Crescimento de Funções E se aparecer um sinal de MENOS na equação? Gisely Melo

Crescimento de Funções o BIG–O é pra estimar o tempo que um algoritmo leva pra ser realizado.. Essas equações que vocês veem, é como se fosse a “soma dos tempos”. E não faz sentido aparecer tempo negativo na equação... Gisely Melo

  Inclusão-Exclusão Gisely Melo

QUANTAS CADEIAS DE 6 BITS COMEÇAM E TERMINAM COM BITS IGUAIS Inclusão-Exclusão Exemplo QUANTAS CADEIAS DE 6 BITS COMEÇAM E TERMINAM COM BITS IGUAIS 2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 1 1/0 * 32 Esse valor vai depender do primeiro, logo nessa posição só vai ter uma opção: A QUE FOI COLOCADA NO PRIMEIRO QUADRADO Gisely Melo

Inclusão-Exclusão 2 X 2 X 2 X 2 X 1 X 1 X 1 X 1 16 CADEIAS 1/0 . Exemplo QUANTAS CADEIAS DE 8 BITS PODEMOS FORMAR DE MODO QUE ELAS SEJAM PALÍDROMOS? 2 X 2 X 2 X 2 X 1 X 1 X 1 X 1 16 CADEIAS 1/0 . Essas ultimas quatro posições vão procurar saber o que a correspondente a ela colocou... Gisely Melo

Inclusão-Exclusão Encontre a quantidade de inteiros positivos que são menores ou iguais a 100 que ñ são divisíveis por 5 e por 7. Calcularemos primeiro a quantidade de inteiros positivos: De 1 até 100 100 números Por 5 Por 7 Depois Calcularemos a quantidade de inteiros positivos divisíveis por 5 e por 7: {35, 70} = 2 números Por 5 e por 7 Resposta 100 – 2 = 98 Gisely Melo

Inclusão-Exclusão Exemplo: 1) Quantas cadeias de tamanho 8 ou começam com o bit 1, ou terminam com 2 bits 00? 1 1/0   1/0   1 1/0     Essa opção já esta incluída em A e em B Gisely Melo

Inclusão-Exclusão Exemplo : questão 5 da lista de vocês: QUANTAS CADEIAS DE 6 BITS COM 4BITS “1” JUNTOS EXISTEM? Gisely Melo

Inclusão-Exclusão Provar que a quantidade de subconjuntos de um conjunto finito S é 2 |𝑠| ..... existem 2 |𝑠| cadeias de bits de tamanho | S |. Logo, | P(S) |= 2 |𝑠| Gisely Melo

6) Entre 100 pessoas quantas pelo menos nasceram no mesmo mês? Eu vou dividir 100 por 12 pra ver quantos grupos de 12 certinho eu consigo formar Depois percebo que da 8,333333 ? Resposta Função teto de: 8,333 = 9 Gisely Melo

Crescimento de Funções

QUANTAS CADEIAS DE 6 BITS COMEÇAM E TERMINAM COM BITS IGUAIS Inclusão-Exclusão Exemplo QUANTAS CADEIAS DE 6 BITS COMEÇAM E TERMINAM COM BITS IGUAIS Gisely Melo

Indução matemática 1ª) Use a indução matemática para provar que para qualquer inteiro positivo n: 2 + 6 + 10 + ... + (4n - 2) = 2n² b) 2 3n - 1 é divisível por 7 Alberto Trindade

Definições recursivas 2ª) Dê uma definição recursiva para a seqüência {An}, n = 1, 2, 3, ... se: An = 5n – 3 An = n(n + 1) An = n² Alberto Trindade

Definições recursivas e Indução matemática Alberto Trindade

Indução matemática 1ª) Use a indução matemática para provar que para qualquer inteiro positivo n: 2 + 6 + 10 + ... + (4n - 2) = 2n² b) 2 3n - 1 é divisível por 7 Alberto Trindade

Definições recursivas 2ª) Dê uma definição recursiva para a seqüência {An}, n = 1, 2, 3, ... se: An = 5n – 3 An = n(n + 1) An = n² Alberto Trindade

Definições recursivas e Indução matemática 3ª) Seja 𝑓 𝑛 o n-ésimo número de Fibonacci. Use indução matemática para provar que (𝑓 1 )² + (𝑓 2 )² + ... + (𝑓 𝑛 )² = (𝑓 𝑛 )² . (𝑓 𝑛+1 )², sendo n um inteiro positivo. Alberto Trindade

Teorema binomial / Triângulo de Pascal 4ª) Prove, usando argumento combinatorial, que: 𝑛 0 2 + 𝑛 1 2 +…+ 𝑛 𝑛 2 = 2𝑛 𝑛 Ligeiro

Teorema binomial / Triângulo de Pascal 5ª) Prove Usando argumento combinatório Usando identidade de Pascal Ligeiro

Teorema binomial / Triângulo de Pascal 6ª) Prove Use uma interpretação combinatória Ligeiro