UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA PROJETO PIBEG Unidade IV Interpolação Polinomial

SUMÁRIO INTRODUÇÃO PROBLEMA GERAL DA INTERPOLAÇÃO POLINÔMIO INTERPOLADOR TEOREMA (EXISTÊNCIA E UNICIDADE) FORMA DE LAGRANGE FORMA DE NEWTON FORMULA DE NEWTON PARA O POLINÔMIO INTERPOLADOR ESTUDO DO ERRO DE TRUNCAMENTO NA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL

SUMÁRIO NEWTON GREGORY INTERPOLAÇÃO INVERSA

Introdução

Introdução: A interpolação consiste em determinar uma função que assume valores conhecidos em certos pontos. A classe de funções escolhida para a interpolação é a priori arbitrária, e deve ser adequada às características que pretendemos que a função possua.

Um dos motivos desta aproximação é: Estimar valores intermediários entre dados precisos. EXEMPLO: É sabido que no Brasil é realizado censo geral a cada 10 anos. Portanto nos anos em que é realizado o censo, tem-se dados precisos da população do país. Os valores do número de habitantes em anos intermediários pode ser estimado através de uma interpolação.

Problema Geral da Interpolação Considere a tabela abaixo com (n+1) pontos distintos: x x0 x1 x2 ... xn f(x) f(x0) f(x1) f(x2) f(xn) A interpolação de f(x) consiste em se obter uma função g(x), tal que:

Graficamente: g(x) f(x) (x0 , f(x0)) (x1 , f(x1)) (x2 , f(x2))

Nesta unidade consideraremos que g(x) pertence à classe das funções polinomiais. OBSERVAÇÃO: Existem outras formas de interpolação polinomial como, por exemplo, a fórmula de Taylor para a qual as condições de interpolação são outras. Assim como g(x) foi escolhida entre as funções polinomiais, poderíamos ter escolhido g(x) como função racional, função trigonométrica, etc.

Polinômio interpolador: Consideremos o intervalo [a, b] Ì R, os pontos x0, x1, ..., xn Î [a, b] e uma função f cujos valores são conhecidos naqueles pontos. Um polinômio P, de grau menor do que ou igual a n, que satisfaz P(xi) = f(xi), i = 0 , 1, 2, ..., n, chama-se polinômio interpolador de f nos pontos x0, x1, ..., xn .

Teorema (Existência e Unicidade) Dado um conjunto de n + 1 pontos distintos, isto é (xk, fk), k = 0, 1, ..., n, com xk ≠ xj para k ≠ j. Existe um único polinômio p(x) de grau menor ou igual a n, tal que p(xk) = f(xk) = fk para k = 0, 1, 2, ..., n. DEMONSTRAÇÃO

Seja p(x) = a0 + a1x + a2x2 +. + anxn Seja p(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn. Para obter os ai usamos a condição de interpolação fk = p(xk) para k = 0, 1, 2, ..., n. Logo, segue que: Que corresponde ao sistema linear da forma

A matriz A, associada ao sistema, é uma matriz de Vandermonde, cujo o determinante é dado por Como xl ≠ xj para l ≠ j, segue que o determinante da matriz A é diferente de zero e portanto o sistema admite uma única solução EXEMPLO

Forma de Lagrange

1 pn(xj) = f0L0(xj) + f1L1(xj) + ... + fjLj(xj) + ... + fnLn(xj) Vamos considerar o conjunto de n+1 pontos (xk, fk), k = 0, 1, 2, ..., n, distintos e vamos considerar o polinômio representado por onde Lk(x) é um polinômio de grau · n que satisfaz a relação: Com isto temos que 1 pn(xj) = f0L0(xj) + f1L1(xj) + ... + fjLj(xj) + ... + fnLn(xj) pn(xj) = fj

Logo pn(x) satisfaz a condição de interpolação, sendo assim, o polinômio interpolador de f(x) nos pontos x0, x1, ..., xn. Os polinômios Lk(x) são chamados de polinômios de Lagrange e estes são obtidos da seguinte forma:

Exemplo: Vamos considerar a tabela de pontos do exemplo anterior e determinar uma aproximação para f(0.3) usando a forma de Lagrange. xk 0.0 0.2 0.4 fk 4.00 3.84 3.76 Calculando os Lk(x) temos:

Fazendo: Obtemos: p(x) = x2 - x + 4. Observe que o polinômio é o mesmo que foi obtido via sistema linear. Isto já era esperado, pois o polinômio interpolador é único. Desta forma, para x = 0,3 Î [0, 0.4] , teremos f(0.3) ≈ p(0.3) = 3.79.

Forma de Newton OPÇÃO 1 OPÇÃO 2

Nesta unidade será visto outro método de determinar o polinômio de interpolação. Tal polinômio será chamado de Polinômio de Newton. A expressão do polinômio de Newton é dada por: onde os coeficientes da combinação linear dos polinômios (x –x0), (x –x0) (x –x1), ..., (x –x0) (x –x1)... (x –xn-1) são chamados de diferenças divididas.

pn(x1) = f(x1)  f(x1) = d0 + d1(x1 - x0)  d1 =  f[x0, x1] Como é o polinômio interpolador de f pelos pontos x0, x1, ..., xn então pn(xi) = f(xi), 0  i  n . Assim, pn(x0) = f(x0)  f(x0) = d0 pn(x1) = f(x1)  f(x1) = d0 + d1(x1 - x0)  d1 =  f[x0, x1] pn(x2) = f(x2)  f(x2) = d0 + d1(x2 - x0) + d2(x2- x0) (x2 – x1)  d2 =

Diferenças divididas: CASO GERAL Pode-se mostrar que o operador diferenças divididas tem as seguintes propriedades: (1) onde j é uma permutação do conjunto {0, 1, ..., n} (2)

Desta forma, o polinômio de Newton é expresso por: As diferenças divididas são facilmente calculadas através de uma tabela recursiva. Como exemplo, será apresentado uma tabela envolvendo diferenças divididas até ordem 4.

x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4

DIFERENÇAS DIVIDIDAS Sejam x0, x1, ..., xn, n + 1 pontos distintos do intervalo [a , b] e f0, f1, ..., fn os valores de uma função f(x) sobre estes pontos. Define-se: onde, f[xi] é a diferença dividida de ordem zero e f[x0, x1, ..., xn] é a diferença dividida de ordem n, da função f(x) sobre os n + 1 pontos x0, x1, ..., xn. .

TABELA DE DIFERENÇAS DIVIDIDAS Pode-se construir uma tabela de diferenças divididas à partir de sua definição. Sejam, por exemplo, cinco pontos dados: para estes pontos, a tabela é construída da seguinte forma:

FÓRMULA DE NEWTON PARA O POLINÔMIO INTERPOLADOR Seja f(x) uma função contínua e com derivadas contínuas em [a , b]. Sejam , n + 1 pontos distintos da função. Deseja-se construir o polinômio pn(x) que interpola f(x) nestes pontos.

Consideremos p1(x) que interpola f(x) em x0. x1 onde,

Verificação: p1(x) interpola f(x) em x0. x1?

Seja p2(x) que interpola f(x) em x0. x1, x2 mas,

portanto, Verificação: p1(x) interpola f(x) em x0. x1 , x2?

Aplicando sucessivamente o mesmo raciocínio, obtém-se a fórmula de Newton para o polinômio interpolador dada por: e o erro de truncamento dado pela expressão:

ESTUDO DO ERRO DE TRUNCAMENTO NA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL Teorema Seja f(x) derivadas contínuas até ordem n + 1. Sejam x0< x1< ...< xn, n + 1 pontos distintos da função. Seja pn(x) o polinômio que interpola f(x) nestes pontos. Então, , o erro de truncamento da interpolação polinomial vale: INT. INV. N. G.

A equação tem uso limitado na prática, pois raramente ξ é conhecido. Sua principal aplicação é na estimativa do erro de truncamento para as fórmulas de interpolação, integração e diferenciação numérica. Assim, é usual trabalhar com uma cota superior de erro de truncamento dada por:

Caso a expressão f(x) não seja conhecida, o erro pode ser estimado através do maior valor absoluto das diferenças divididas de ordem n + 1, isto é: pois, e Logo,

NEWTON GREGORY

OPERADOR DIFERENÇAS ORDINÁRIAS Sejam n + 1 pontos distintos igualmente espaçados com passo h , tais que: Define-se: onde, é a diferença ordinária de ordem zero e é a diferença ordinária (ou dif. finita progressiva) de ordem n, da função f(x) sobre os n + 1 pontos

TABELA DE DIFERENÇAS ORDINÁRIAS (T. D. O. ) Pode-se construir uma T.D.D. (ou uma T.D.F.P.) à partir de sua definição. Sejam, por exemplo, cinco pontos dados: para estes pontos, a tabela é construída da seguinte forma:

RELAÇÃO ENTRE DIFERENÇA DIVIDIDA E DIFERENÇA ORDINÁRIA Teorema: Se então: DEMONSTRAÇÃO

DEMONSTRAÇÃO: Será feita por indução finita: 1) Para dois pontos (n = 1) , tem-se: 2) Suponhamos válido para n pontos:

3) Provemos para n+1 pontos: (c.q.d.)

EXPRESSÃO DO ERRO PARA NEWTON- GREGORY: Na dedução da fórmula de Newton o erro de truncamento é dado pela equação: substituindo a diferença dividida pela ordinária, obtém-se: Obs.: como o polinômio é único, a estimativa para o erro de truncamento pode ser obtida através da mesma equação.

INTERPOLAÇÃO INVERSA

Sejam conhecidos n + 1 pontos distintos O problema da interpolação inversa consiste em : dado obter tal que Uma solução para este problema é obter que interpola f(x) nos pontos e em seguida encontrar tal que Neste caso, não é possível fazer nem mesmo uma estimativa do erro cometido. As equações permitem medir o erro ao se aproximar f(x) por , e não o erro ao se aproximar

Interpolação inversa: Considerando que f(x) seja inversível em um intervalo contendo pode-se fazer a interpolação de Uma condição para que uma função contínua num intervalo [a , b] seja inversível é que seja monótona crescente (ou decrescente) neste intervalo.

Se f(x) é inversível, o problema de se obter , é facilmente resolvido, obtendo-se que interpola sobre o intervalo Para isto, basta considerar x como uma função de y e aplicar algum dos métodos estudados para interpolação:

Desta forma, o erro de truncamento cometido pode ser medido, utilizando as expressões desenvolvidas anteriormente. Uma estimativa para o erro é dada por: