Principais Modelos Contínuos AULA: 10-16 Principais Modelos Contínuos Prof. Víctor Hugo Lachos Dávila

Variável Aleatória Contínua: Assume valores num intervalo de números reais. Não é possível listar, individualmente, todos os possíveis valores de uma v.a. contínua. Associamos probabilidades a intervalos de valores da variável. Infinitos valores de X Variável aleatória contínua (funcão densidade de probabilidade,f.d.p.) P(X=x) f(x) Variável aleatória discreta (f.p.) 1 2 3 4 5 6 x

Propriedades dos Modelos Contínuos Uma v.a. X contínua é caracterizada por sua função densidade de probabilidade f(x) (f.d.p) com as propriedades: (i) A área sob a curva de densidade é 1, isto é, (ii) f(x)  0, para todo x; (iii) P(a  X  b) = área sob a curva da densidade f(x) e acima do eixo x, entre os pontos a e b; (iv) P(X = x0) = 0, para x0 fixo. Assim, P(a < X < b) = P(a  X < b) = P(a < X  b) = P(a  X  b)=

MÉDIA E VARIÂNCIA (v.a. continuas) Valor Esperado (média): Dada a v. a. X, o valor esperado ou esperança matemática de X é dada por Notação: Variância: É o valor esperado da v.a. (X – E(X))2, ou seja, Notação:

2.Encontre a função de distribuição(f.d.a): c: Da definição temos que Exemplo 1 A duração, em anos, de uma lâmpada especial é uma variável aleatória contínua com função densidade dada por: Notacão usual 1.Encontre o valor da constante c:Das propiredades vistas temos que c>0 e 2.Encontre a função de distribuição(f.d.a): c: Da definição temos que Claro que para x<0, F(x)=0, pois a função densidade é nula e para x≥0, temos

Continuação exemplo 1 ou 3. Calcule a probabilidade da lampada durar até 2 anos: Calculamos 4. Calcule o valor esperado da duração em anos da lampada: IMPORTANTE: Integral por partes e Teorema de L’hospital

A função de distribuição acumulada é dado por: 1. Modelo Uniforme Uma variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme com parâmetros  e  se sua função de densidade de probabilidade é dada por: Notação: X~U( , )) A função de distribuição acumulada é dado por:

Exemplo: A dureza X de uma peça de aço pode ser pensada como sendo uma variável aleatória uniforme no intervalo (50,70) da escala Rockwel. Qual é a probabilidade de que uma peça tenha dureza entre 55 e 60? Solução: Seja X: dureza de uma peça de aço, X~U(50,70) Portanto, Também,

A função de distribuição acumulada é dado por: 2. Modelo Exponencial Uma variável aleatória contínua X tem distribuição exponencial com parâmetro , se sua função de densidade é dado por Notação: X~Ex(). A função de distribuição acumulada é dado por: Pode-se mostrar:

Exemplo: Certo tipo de fusível tem duração de vida que segue uma distribuição exponencial com tempo médio de vida de 100 horas. Cada peça tem um custo de 10,0 unidades monetárias (u.m) e se durar menos de 20 horas, existe um custo adicional de 8.0 u.m. Qual é a probabilidade de uma durar mais de 150 horas? Determinar o custo esperado. Solução: Se X: tempo de duração de uma peça, do enunciado tem-se que: E(X)=100 horas e X~Ex(100). Ou seja,

(b) Seja C o custo total de uma peça. O custo total esperado é: E(C)=10P(C=10)+18P(C=18)

O histograma por densidade é o seguinte: 4. Modelo Normal Exemplo : Observamos o peso, em kg, de 1500 pessoas adultas selecionadas ao acaso em uma população. O histograma por densidade é o seguinte:

A análise do histograma indica que: - a distribuição dos valores é aproximadamente simétrica em torno de 70kg; - a maioria dos valores (88%) encontra-se no intervalo (55;85); - existe uma pequena proporção de valores abaixo de 48kg (1,2%) e acima de 92kg (1%).

Vamos definir a variável aleatória X: peso, em kg, de uma pessoa adulta escolhida ao acaso da população. Como se distribuem os valores da variável aleatória X, isto é, qual a distribuição de probabilidades de X ? A curva contínua da figura denomina-se curva Normal.

A distribuição Normal é uma das mais importantes distribuições contínuas de probabilidade pois: Muitos fenômenos aleatórios comportam-se de forma próxima a essa distribuição. Exemplos: altura pressão sangüínea etc. Pode ser utilizada para calcular, de forma aproximada, probabilidades para outras distribuições, como por exemplo, para a distribuição Binomial.

O Modelo Normal Uma variável aleatória contínua X tem distribuição normal com média  e variância , se sua função de densidade é dada por:

Distribuições normais com médias diferentes e variâncias iguais. Distribuições normais com médias iguais e variâncias diferentes

Propriedades da distribuição normal (b) A distribuição é simétrica ao redor de sua média. (c) A área total sob curva é igual a um portanto, cada metade da curva tem 0,5 da área total. (d)

A função de distribuição acumulada de uma v.a

A função de distribuição acumulada de uma v.a Z~N(0,1) d Distribuição normal padrão ou reduzida Se Z é uma variável aleatória normal com média zero e variância um, então Z é chamado de uma v.a. normal padrão ou reduzida e sua f.d.p é dada por: A função de distribuição acumulada de uma v.a Z~N(0,1) d

Uso da Tabela Normal Observação:

Distribuição normal: valores de P(Z≤z)=Φ(z), z≥0

Exemplo: Seja Z~N(0,1), determinar: P(Z<1,80) P(0,80<Z<1.40) P(Z<-0,57) O valor de k tal que: P(Z<k)=0,05. Solução: da tabela normal padrão tem-se:

Teorema (Transformação linear de uma variável normal) Uma conseqüência do teorema anterior é a variável Exemplo: Se X~N(90,100). Determinar: P(70< X < 100) P(|X-90|<30) O valor de a tal que: P(90-2a <X< 90+2a)=0,99

Exemplo: O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade tem distribuição normal com média 120 minutos e desvio padrão 15 minutos. Sorteando-se um aluno ao acaso, qual é probabilidade dele terminar o exame antes de 100 minutos? X: tempo gasto no exame vestibular.

(b) Qual deve ser o tempo de prova de modo que permita o 95% dos vestibulandos terminem no prazo estipulado? z=? , tal que (z)=0,95 Da tabela z= 1,64 (c) Qual o intervalo central de tempo, tal que 80% dos estudantes gastam para completar o exame?

z=? , tal que (z)=0,90 Da tabela z= 1,28

Teorema( Combinação Linear de variáveis aleatórias normais) Então a variável aleatória Y tem distribuição normal com média e variância

Exemplo: Uma companhia embala em cada caixa 5 pires e 5 xícaras Exemplo: Uma companhia embala em cada caixa 5 pires e 5 xícaras. Os pesos dos pires distribuem-se normalmente com média de 190 g e desvio padrão 100 g. Os pesos das xícaras também são normais com média 170 g e desvio padrão 12,25 g. O peso da embalagem é praticamente constante e igual a 100 g. (a) Qual é a probabilidade da caixa pesar menos de 2000 g? Solução. Sejam,

Tem-se interesse: P(C < 2000)=? Do problema temos: Do teorema anterior C distribui-se normalmente com média e variância

(b) Qual é a probabilidade de uma xícara pesar mais que um pires numa escolha ao acaso? Seja X: peso de uma xícara; P: peso de um pires. P(X > P)=P(X – P >0)=? Logo,

Corolário (Propriedade reprodutiva da distribuição normal) tem distribuição normal com média n e variância Exemplo: o peso de uma caixa de peças é uma variável aleatória normal com média de 65 kg e desvio padrão de 4 kg. Um carregamento de 120 caixas de peças é feito. Qual é a probabilidade que a carga pesar entre 7.893 kg e 7.910 kg?

Aproximação da Binomial pela Normal Exemplo: Estudo do Sindicato de Bancários indica que cerca de 30% dos funcionários de banco têm problemas de estresse, provenientes das condições de trabalho. Numa amostra de 200 bancários, qual seria a probabilidade de pelo menos 50 com essa doença? Resultado muito trabalhos: 151 termos para somar A aproximação pela Normal é baseada no Teorema Limite Central. Em geral quanto mais simétrica for a f.p. da Binomial, melhor será a aproximacão.

Distribuição Binomial n = 10 p = 0,2

Distribuição Binomial n = 20 p = 0,2

Distribuição Binomial n = 50 p = 0,2 Para p fixado, a medida que n cresce, os histogramas vão se tornando mais simétricos e com a forma da curva Normal. Tal aproximação será mais rápida para

Idéia Básica E(X) = np X ~ b(n ; p)  Var(X) = np(1 – p) Aproximar a distribuição de probabilidades de X pela distribuição de probabilidades de uma variável aleatória Y tal que Y ~ N( y, y2) com y = n p e y2 = n p (1 – p). Portanto, • P( a  X  b)  P(a  Y  b) • P( X  a)  P(Y  a) • P( X  b)  P(Y  b) sendo Y ~ N(np ; np(1 – p) ).

No Exemplo anterior temos que: Logo temos que , desta forma Probabilidade exata = 0,948 (usando a distribuição binomial). Note que estamos aproximando uma distribuição discreta por uma contínua onde as probabilidades pontuais são zero, assim para melhorar tal aproximação alguns autores preferem usar a correção de continuidade

Correção de Continuidade Para melhorar a aproximação, usamos a correção por continuidade no cálculo com a Normal como segue: Para probabilidade pontuais, criamos um intervalo artificial: Probabilidade exata = 00190 (usando a distribuição binomial).

Exemplo: Um sistema é formado por 100 componentes, cada um dos quais com confiabilidade (probabilidade de funcionar adequadamente num certo período) igual a 0,9. Se esses componentes funcionarem de forma independente um do outro e se o sistema funcionar adequadamente enquanto pelo menos 87 componentes estiverem funcionando, qual é a confiabilidade do sistema? X : número de componentes que funcionam adequadamente dos 100 E(X) = np = 1000,9 = 90 Var(X) = np(1 – p) = 100  0,9  0,1 = 9  X ~ b(100; 0,9) n = 100 p = 0,9 Confiabilidade do sistema: P(X  87)=?? P(X  87)  P(Y  87)  P(Y  86,5) Y ~ N(90 ; 9) Probabilidade exata = 0.8761232 (usando a distribuição binomial).