Estatística e Probabilidade Medidas de tendência central e medidas de dispersão. Média, mediana e moda. Propriedades da curva normal Exercícios.

1. MEDIDAS ESTATÍSTICAS Amostras com variáveis quantitativas devem ser estudadas de acordo com os seus descritores e distribuição. Os descritores ou medidas são basicamente: -Medidas de tendência central e medidas de dispersão. 1.1 Medidas de tendência central ou de posição. As medidas de tendência central mostram um valor ou dado em torno do qual os dados da amostra agrupam-se: São a média, a mediana e a moda.

2. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Média aritmética simples ou simplesmente média A média aritmética simples de um conjunto de valores é o valor obtido somando-se todos eles e dividindo-se o total pelo número de valores. É denotada (leia-se “x barra”) Observar que com dados agrupados deve-se usar a multiplicação dos valores pela frequência ou seja: fx sobre o somatório das frequências. E nos dados agrupados por intervalos de classe, xi e fi são os valores do ponto médio e da freqüência absoluta da classe i-ésima respectivamente.

Média aritmética simples ou simplesmente média Popriedade dos desvios: A soma dos desvios de cada valor com relação à média = zero. Para dados agrupados em frequências simples: ∑fd = ∑f (x- ) = 0

Mediana A mediana é um valor central da série, divide a mesma em dois subconjuntos iguais. Deve-se ordenar a série em valores crescentes ou decrescentes. Para séries curtas, o que deve ser observado é a mediana como média dos valores centrais se o n for par. O cálculo para séries longas é: mediana = (n+1) / 2 Com dados grupados, a mediana corresponde à Fr = 0,5.

Moda Moda ou moda de X, Mo, é o elemento mais freqüente no conjunto. A moda é facilmente indicada na coluna de frequências simples. Para dados em intervalos de classe, há um intervalo modal, e a moda é o ponto médio deste intervalo. No histograma, a moda são os picos da distribuição. Distribuições bimodais ou polimodais (vários picos) indicam forte assimetria, afastamento da normalidade ou mistura de amostras. Calcular a média, mediana e indicar a moda dos dados referentes às medidas das conchas, escolhendo uma das variáveis, CAC, LAC ou PC.

3. MEDIDAS de dispersão. As medidas de dispersão revelam a variabilidade dos dados. Exceto a amplitude, mostram o grau de afastamento dos valores observados em relação aos valores representativos centrais. - Amplitude total: diferença entre os valores extremos da série. Variância e desvio padrão: Variância é a quantidade de desvios de cada valor em relação à média. Tem os símbolos δ2 para dados populacionais ou s2 para dados amostrais. O desvio padrão, δ ou s, é a raiz quadrada da variância. É uma medida de dispersão apresentada na mesma unidade de mensuração de x, lembrando que na variância os valores são considerados como o seu quadrado.

Fórmulas para a variância e desvio padrão: δ2 = ∑ (x-µ) 2 n µ = média da população. Ver fórmulas alternativas para amostras no livro, como: s2 = ∑ (x- ) 2 n-1 O desvio padrão, δ ou s, é a raiz quadrada da variância: n-1 -1

Coeficiente de variação: Trata-se de uma medida de dispersão, útil para a comparação da variabilidade em séries diferentes, que apresentam variáveis distintas. É dado por Cv ou pelo Cv% Idealmente uma amostra deve ter uma Cv baixo, refletindo pouca variação dos dados com relação à média. Utiliza-se uma aproximação do Cv a 20% ou menos da média para observar-se esta característica. Em amostragens aleatórias esta relação pode ser usada para uma aproximação do tamanho da amostra, desde que esta tenha distribuição normal. Calcular a variância, desvio padrão e coeficiente de variação referentes às medidas das conchas, escolhendo uma das variáveis, CAC, LAC ou PC. s

4. AS DISTRIBUIÇÕES NORMAIS, A CURVA NORMAL OU CURVA DE GAUSS. As populações descritas com variáveis quantitativas tem uma tendência à distribuição normal, o que significa que os seus histogramas apresentarão um desenho em forma de sino. Os valores extremos coincidem com as abas do sino. Estes diagramas em forma de sino foram descobertos e estudados por Gauss, daí o termo curva de Gauss (matemático alemão 1977-1855). As amostras destas populações terão também distribuição normal.

4.1 PROPRIEDADES DA CURVA NORMAL. A curva é simétrica. A média coincide com a ordenada máxima; a média coincide com a mediana e moda (simetria); Curvas assimétricas ou achatadas não mantém as mesmas derivações da normal. Tem dois pontos de inflexão que correspondem a 1 desvio padrão (δ) acima e abaixo da média. Este limite corresponde a 68% dos valores de x, ou da população em estudo. 2,5%

4.1 PROPRIEDADES DA CURVA NORMAL. Aproximadamente 95% da população situa-se entre µ-2 δ e µ+2 δ; Cerca de 99,7% dos valores se forem 3δ. 2,5%

4.2 A CURVA NORMAL REDUZIDA A curva normal reduzida é uma distribuição teórica de valores de X padronizados. A abcissa é chamada de linha ζ ou Z. Os valores são então de uma variável hipotética chamada z. Nesta distribuição µ = 0 e δ = 1. A área entre z = -1 e z = +1 é 0,6826. As áreas entre µ e qualquer valor de z são informadas em tabelas como a A1.

4.2 A CURVA NORMAL REDUZIDA A área que corresponde a valores de z entre -1,96 e + 1,96, é de 0,4750 + 0,4750 = 0,95. Entre -2.58 e +2.58 é = 0,9902 Realizar os exercícios referentes aos exemplos do livro 1, 2, 3.

4.3 Procedimentos transformadores para distribuições sem normalidade, assimétricas ou achatadas. As transformações mais usadas são para assimetrias à direita; x´ = log x x´ = √x x´ = 1/x Para assimetrias à esquerda: x´ = x2

4.3 Procedimentos transformadores para distribuições sem normalidade, assimétricas ou achatadas. O programa Biostat fornece testes de normalidade com base nos parâmetros de simetria e curtose. Distribuições simétricas têm g1 próximo de 0, sendo menor do que 0 inclinada para esquerda e maior do que 0 inclinada para a direita. A curva normal é mesocúrtica, com um g2 próximo de 3. Um g2 maior do que 3, indica um excesso de observações nas imediações da média e caudas, nas curvas assimétricas leptocúrticas (skewed); um g2 menor do que 3 indica um excesso de observações no ombros da curva, dita platicúrtica. Observar alguns exemplos.

5. Aplicações da curva normal: áreas e proporções da curva. Transforma-se x em z da seguinte forma: z = x-µ δ Exemplo 4. Na parte de exercícios, preparar: Exercícios 8, 9, 10, 11.

5. Aplicações da curva normal: áreas e proporções da curva. As regiões de não significância dos valores com relação à média, correspondem geralmente a valores de S 0-1,96 Z nos dois lados da curva. Valores superiores a 1,96 correspondem a 2,5% de cada lado e compõe as áreas de significância das diferenças, ou chamada área α (alfa). Utiliza-se geralmente dois níveis de alfa: 0,05 (5%) - significante - e mais raramente 0,01 (1%) – muito significante. 2,5