OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

Operações com conjuntos União de conjuntos A região hachurada representa A  B. A = {2, 3, 5, 7} B = {0, 2, 4, 6} A  B = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Operações com conjuntos União de conjuntos Dados dois conjuntos, A e B, a união de A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B. A  B = {xx ϵ A ou x ϵ B}

Operações com conjuntos Intersecção de conjuntos A = {xx é um número natural menor que 8} B = {xx é um número natural par menor que 10} A região hachurada representa A  B. A  B = {0, 2, 4, 6}

Operações com conjuntos Intersecção de conjuntos Dados dois conjuntos, A e B, a intersecção de A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e a B. A  B = {xx ϵ A e x ϵ B}

EXEMPLOS 1. Determinar A  B, sabendo que: A = {xx é um número natural menor que 8} e B = {xx é um número natural entre 7 e 11}. Resolução Inicialmente, determinamos os elementos dos conjuntos A e B. Assim, temos: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B = {8, 9, 10}  Desse modo: A  B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A região hachurada representa A  B. EXEMPLOS 1. Determinar A  B, sabendo que: A = {xx é um número natural menor que 8} e B = {xx é um número natural entre 7 e 11}. Resolução Representando a união desses conjuntos em um diagrama, temos: A região hachurada representa A  B.

EXEMPLOS 2. Determinar A  B, sabendo que: A = {xx é um número natural maior que 9} e B = {xx é um número natural menor que 9}. Resolução Inicialmente, determinamos os elementos dos conjuntos A e B. Assim, temos: A = {10, 11, 12, 13, 14, 15, ...} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Como não há elementos em comum, A  B = .

3. Considerar os conjuntos representados abaixo. EXEMPLOS 3. Considerar os conjuntos representados abaixo. Resolução a) Inicialmente, vamos determinar os elementos pertencentes a cada conjunto. Assim: A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 6, 7} e C = {1, 3, 5, 7} Agora, determinamos (A  B): A  B = {1, 2, 3, 4, 6, 7} Depois, determinamos a intersecção desse conjunto com C e obtemos: (A  B)  C = {1, 3, 7} Determinar: a) (A  B)  C b) (A  B)  C 

A parte laranja representa (A  B)  C. EXEMPLOS 3. Considerar os conjuntos representados abaixo. a) (A  B)  C Resolução a) Representando em um diagrama de Venn:  A parte laranja representa (A  B)  C.

3. Considerar os conjuntos representados abaixo. EXEMPLOS 3. Considerar os conjuntos representados abaixo. b) (A  B)  C Resolução b) Primeiro, determinamos (A  B): A  B = {1, 2} Depois, determinamos a união desse conjunto com C: (A  B)  C = {1, 2, 3, 5, 7}

A parte azul representa (A  B)  C. EXEMPLOS 3. Considerar os conjuntos representados abaixo. b) (A  B)  C Resolução b) Representando em um diagrama de Venn: A parte azul representa (A  B)  C.

A  B = {4 ,5}, escrever duas possibilidades diferentes para A e B. EXEMPLOS 4. Sabendo que A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e A  B = {4 ,5}, escrever duas possibilidades diferentes para A e B. Resolução Como A  B = {4, 5}, devemos considerar que os elementos 4 e 5 pertencem tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B. Sabemos também que os conjuntos A e B são formados necessariamente pelos elementos que pertencem a A  B. Assim, podemos escrever: A = {1, 4, 5} e B = {2, 3, 4, 5, 6} ou A = {3, 4, 5, 6} e B = {1, 2, 4, 5} Há outras possibilidades além dessas.

Operações com conjuntos Diferença de conjuntos A = {xx é um número natural e está entre 20 e 30} B = {xx é um número primo menor que 30} A região hachurada representa A  B. A – B = {21, 22, 24, 25, 26, 27, 28}

Operações com conjuntos Diferença de conjuntos Dados dois conjuntos, A e B, a diferença entre A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B. A – B = {xx  A e x  B}

Complementar de um conjunto Dados os conjuntos A e B, o complementar do conjunto B em relação a A é a parte laranja da figura. = A – B, com B  A

EXEMPLOS 5. Determinar A – B sabendo que: A = {xx é um número natural menor que 10} e B = {xx é um número natural e está entre 3 e 7}. Resolução Enumerando os elementos de A e B, temos: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e B = {4, 5, 6} Como a diferença de A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A mas não pertencem a B, temos:  A – B = {0, 1, 2, 3, 7, 8, 9} 

EXEMPLOS 6. Descrever a parte azul do diagrama por meio de operações de conjuntos. Resolução Observando a figura, vemos que nenhuma parte do conjunto B está colorida, assim como nenhuma parte do conjunto C. Devemos observar ainda que somente uma parte do conjunto A está colorida de azul. Como essa parte representa os elementos de A que não pertencem a B nem a C, podemos escrever a seguinte operação para representar a parte azul da figura: A – B – C ou A – C – B

EXEMPLOS 7. Considerar os conjuntos A = {0, 5, 10, 15}, B = {0, 10} e U = {xx é um número natural menor ou igual a 15}. Determinar: a) Ac b) c) , com E =   Resolução a) Como o conjunto U é um conjunto finito, para facilitar a resolução podemos enumerar seus elementos: U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} Determinando U – A, encontramos: Ac = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14}

7. Considerar os conjuntos A = {0, 5, 10, 15}, EXEMPLOS 7. Considerar os conjuntos A = {0, 5, 10, 15}, B = {0, 10} e U = {xx é um número natural menor ou igual a 15}. Determinar: b) c) , com E =   Resolução b) Nesse caso, devemos determinar A – B. Assim: = {5, 15} c) Inicialmente, devemos encontrar os elementos do conjunto E. Como E = , temos: E = {5, 15}. Agora, determinamos U – E e encontramos: = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}.

8. Dados os conjuntos U = {3, 6, 9, 12, 15, 18}, EXEMPLOS 8. Dados os conjuntos U = {3, 6, 9, 12, 15, 18}, AC = {3, 6, 9} e BC = {15, 18}, determinar: a) o conjunto A. b) o conjunto B. Resolução Como AC = {3, 6, 9}, os elementos de U que não pertencem a AC pertencem ao conjunto A; portanto: A = {12, 15, 18} b) Como BC = {15, 18}, os elementos de U que não pertencem a BC pertencem ao conjunto B; portanto: B = {3, 6, 9, 12}

PROBLEMAS COM CONJUNTOS EXEMPLOS 9. (Esportes) Em uma pesquisa com uma turma de Ensino Médio, verificou-se que 15 alunos praticavam basquete como atividade esportiva, 25 alunos praticavam futebol e 7 alunos praticavam duas atividades: basquete e futebol. Determinar quantos alunos participaram da pesquisa, sabendo que todos optaram por pelo menos um dos dois esportes.

Resolução 15 alunos praticavam basquete, 25 alunos praticavam futebol e 7 alunos praticavam as duas atividades. Determinar quantos alunos foram pesquisados. Somente B n(A  B) = 8 + 18 + 7 = 33

EXEMPLOS 10. (Consumidor) Após uma pesquisa com os clientes de um supermercado, verificou-se que 150 pessoas compraram o refrigerante da marca C e 75 compraram o da marca P. Sabendo que 200 pessoas participaram da pesquisa, determinar quantas compraram refrigerantes das duas marcas.

Resolução 10. De 200 pesquisados, 150 compraram o refrigerante da marca C e 75 compraram o da marca P. Determinar quantas compraram refrigerantes das duas marcas. Marca C: 150 – x Marca P: 75 – x Marca C e marca P: x 123 N(C  P) = (150 – x) + x + (75 – x) 200 = (150 – x) + x + (75 – x) x = 150 + 75 – 200  x = 25 Assim, concluímos que 25 pessoas compraram refrigerantes das duas marcas.

EXEMPLOS 11.(Carnaval) Uma empresa faz colares para o carnaval. As matérias-primas utilizadas são plásticos rosa e verde. Em um ano, foram produzidos 1.750 colares com o plástico rosa, 1.200 colares com plástico verde e rosa e uma certa quantidade de colares feitos somente com o plástico verde. Quantos colares foram fabricados apenas com o plástico rosa?

Resolução 11. 1.750 colares com o plástico rosa, 1.200 colares com plástico verde e rosa. Quantos colares foram fabricados apenas com o plástico rosa? R  conjunto dos colares com o plástico rosa V  conjunto dos colares com o plástico verde O número de colares feitos apenas com o plástico rosa é: 1.750 – 1.200 = 550 Então, 550 colares foram feitos apenas com o plástico rosa.

EXEMPLOS 12. (Cultura) Uma pesquisa foi realizada com o objetivo de identificar o tipo de leitura preferida de 145 alunos de Ensino Médio. Nessa pesquisa, história em quadrinhos teve 60 votos, romance, 85 votos, e ficção científica, 55. Sabe-se ainda que 20 alunos votaram em história em quadrinhos e em romance, 30 votaram em romance e em ficção, 10 votaram em história em quadrinhos e em ficção e 5 alunos votaram nos três tipos. Determinar quantos alunos votaram somente em romance. 

Resolução 12. Leitura preferida de 145 alunos: história em quadrinhos, 60 votos; romance, 85 votos; ficção científica, 55; história em quadrinhos e romance, 20; romance e ficção, 30; história em quadrinhos e ficção, 10; e nos três tipos, 5. Determinar quantos votaram apenas em romance. 35 40 20 Portanto, 40 alunos votaram somente em romance.