Funções

Iremos estudar: Função do 1° grau Função do 2° grau Exponencial Logarítmica

Função do 1º grau Definição Valor numérico Gráficos Raiz ou Zero da Função Função crescente e decrescente Análise gráfica da função Ponto de Interseção Situação problema

Funções Polinomiais do 1º Grau (Função Afim)

Definição Toda função polinomial da forma f(x) = ax + b, com , é dita função do 1° grau. Ex.: f(x) = 3x – 2; a = 3 e b = - 2 f(x) = - x + ½; a = -1 e b = ½ f(x) = -2x; a = -2 e b = 0

Casos Especiais de funções Função linear b = 0, p.e., f(x) = 3x Função Identidade b = 0 e a = 1, ou seja, f(x) = x Função constante a = 0, p.e., f(x) = 3

Valor numérico da função Dada a função f(x) = -2.x+3 Calcule a) f(-4) = ? b) f(x) =13 Solução a) Solução b) f(x) = -2.(x)+3 f(-4) = -2(-4)+3 f(-4) = 8+ 3 f(-4) = 11 f(x) = -2.(x)+3 13 = -2(x)+3 13-3 = -2(x) -2x=10 => x =-5

Exemplo aplicação V.N 1°) Dada a função f(x) = ax + 2, determine o valor de a para que se tenha f(4)=20.

2°) Dada a função f(x) = ax + b, com a diferente de zero, sendo f(3) = 5 e f(-2) = - 5, calcule f(1/2). f(3)=5: a.3 + b =5 f(-2) = - 5: a.(-2) + b = -5

Resolvendo o sistema pelo método da adição temos 1° ADIÇÃO: Multiplicar a primeira equação por (-1) e somar as equações Calculando valor de b por substituição Logo, a função é f(x)= 2x – 1. Assim, f(1/2)=2.(1/2) - 1 f(1/2)= 1 – 1 f(1/2) = 0

Há uma outra forma de resolver esse tipo de exercício, quando se conhece os valores da função em dois pontos distintos A(x,y) e B(x,y). O valor de “a” na função de primeiro grau é chamado de coeficiente angular ou inclinação da reta. Seu valor é obtido pela expressão. y1-y2 a = x1-x2

y=ax+b => 5 =(2).(3)+b => 5 = 6 +b Voltando a questão, quem seria esses valores? Temos que f(3) = 5 => A(3,5 ) e f(-2) = - 5 => B(-2,-5) Então, Logo, Substituindo a=2 na expressão da função do 1º grau e utilizando uma das coordenadas A(3,5) temos que: y=ax+b => 5 =(2).(3)+b => 5 = 6 +b 5-6=b = > b=-1 => função y = 2x-1

Raiz ou zero da função É representada pelo ponto em x, onde y =0 ou no gráfico o ponto em x, onde a reta corta o eixo x Graficamente temos: Algebricamente temos: y = x – 2 0 = x-2 x=2 Raiz = 2 Raiz

Gráficos Toda gráfico de uma função do 1° grau é uma reta. Estudaremos como essa reta vai se comportar através de cada função.

Como fazer um gráfico Para construir um gráfico cartesiano de uma função f, basta atribuir valores do domínio à variável x e, usando a sentença matemática que define a função, calcular os correspondentes valores da variável y, elaborando uma tabela de valores (x,y)

Exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x – 2 y=x-2 1 1-2= -1 3 3-2= 1

2° método: 1° passo: iguale a função a zero. O valor de x que você achar é que passará no eixo do x. 2° passo: o valor de b (coeficiente linear) é o ponto que toca no eixo do y. x – 2 = 0 x = 2 b = - 2

Gráfico de uma função definida por mais de uma sentença Numa residência o consumo de água foi de 25 m3 . Utilizando a tabela de tarifas da Sabesp pede-se : O valor desse consumo; o gráfico que representa esse consumo.

Construindo a tabela de valores para o consumo de 25 m3 de água Acima de 10 até 20 m3 Até 10 m3 consumo valor 11 12,75 15 18,99 20 26, 79 consumo valor 11,19 5 10 11.19

Continuação da construção da tabela de consumo Acima de 20 até 25 m3 consumo valor 21 29,18 23 33,96 25 38,75

Construindo o gráfico de consumo para cada faixa Faixa até 10 m3 Acima de 10 até 20 m3

Continuação da construção de gráficos por faixa de consumo Acima de 20 até 25 m3

Gráfico do consumo com as três faixas de consumo , até 25 m3

Gráfico de uma função definida por mais de uma sentença X Y 1 2 3

Crescimento de decrescimento de uma função Uma função será crescente quando a>0 Uma função será decrescente quando a<0 Exemplo: f(x) = 2x+1 a = 2 crescente f(x) = -3x+2 a = -3 decrescente Função constante não existe variação de valor em y , quando a = o Exemplo y = 3 a=0

Análise do gráfico de uma função Função constante Função decrescente Função crescente f2 f1 f3 Raiz ou zero f4 -1 5

Exemplos de gráficos de função crescente(a) e de função decrescente(b) Gráfico b Gráfico a

Ponto de Intersecção de funções É o ponto onde o valor de x e y são os mesmos para as duas funções. Esse ponto é obtido quando igualamos o valor de y da função1 com o valor de y da função 2.

Situação Problema Uma caixa com 80 litros de água, esvazia 2 litros de água por minuto, em quanto uma outra caixa com 30 litros, enche de água a razão de 3 litros por minuto.Se as duas caixas trabalham ao mesmo tempo,após quanto tempo as caixas terão os mesmos volumes. Qual é esse volume?

Construindo a tabela de valores Graficamente temos Construindo a tabela de valores tempo(mim) v1=80-2.t v2=30+3t 80 30 2 76 36 4 72 42 6 68 48 8 64 54 10 60 12 56 66

Representação gráfica do ponto de intersecção

Cálculo algébrico do ponto de intersecção Algebricamente temos v1 = v2 então: 80-2t = 30+3t => 80-30=3t+2t => 50 = 5t => t = 50/5 => t =10 mim calculando o volume v1 = 80-2(10) => v1 = 80-20 => v1 = 60 m3