01) Abaixo, quatro das infinitas etapas da construção do fractal denominado Curva de Koch. Se a área do triângulo destacado inicialmente vale A e cada novo triângulo tem lado igual a 1/3 do lado do(s) triângulo(s) da etapa anterior, calcule a área obtida se o fractal for construído indefinidamente.

Um triângulo de área A. Área = 1 x A = A Para figuras semelhantes, se a proporção entre os lados for k, a proporção entre as áreas é k². 4 novos triângulos de área . Área = 16 novos triângulos de área . Área = Logo, a área desejada é dada por PG com razão

Tente entender o que acontece em um caso específico. 02) Qual a probabilidade de no lançamento de quatro moedas obtermos exatamente duas coroas e duas caras? CAU-TE-LA! Tente entender o que acontece em um caso específico. PCOROA.PCOROA.PCARA.PCARA É preciso considerar que podem aparecer duas coroas e duas caras em ordens diferentes, além desta! Anagramas com 4 “letras”, sendo duas duplas repetidas.

Tente resolver o caso contrário E qual a probabilidade de nesse lançamento obtermos pelo menos uma cara? NÃO INTERESSA: Tente resolver o caso contrário PCOROA.PCOROA.PCOROA.PCOROA Logo, 100%

03) Se |z| = e , sendo z um número complexo, calcule a área do triângulo de vértices nos afixos de z4 e z8 e na origem do plano complexo. FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO Elevar o módulo Multiplicar o argumento

4 2 120º z4 (2; 120º) z8 (4; 240º)

04) Qual é o valor máximo da a função no intervalo O valor máximo de sen x e cos x é 1. Com isso, o valor máximo da função é (0, 1) sen x = 1 Porém, para tal valor de x temos que cos x = 0. Assim, é impossível que sen x e cos x sejam simultaneamente iguais a 1.

Relação Fundamental da Trigonometria Como , o produto proposto pode ser desenvolvido para Relação Fundamental da Trigonometria Logo, a função pode ser reescrita como

Imagem [-1, 1] g(x) = sen 2 x Período

Logo, o valor máximo de f(x) é 2. O gráfico de f(x) = 1 + sen 2x é obtido a partir de uma translação de 1 unidade do gráfico de g(x) no sentido vertical, para cima. Tem o mesmo período que g(x) e sua imagem passa de [-1, 1] para [0, 2]. 2 1 -1 Logo, o valor máximo de f(x) é 2.

+ < 0  b² - 4ac < 0 k² - 16 < 0 05) Para que valores inteiros de k a inequação x² - kx + 5 > 1 para qualquer valor de x? x² - kx + 5 > 1  x² - kx + 4 > 0 Ou seja, x² - kx + 4 é positiva para qualquer valor de x. + Duas raízes reais e distintas Δ > 0 Uma raiz real dupla Δ = 0 < 0  b² - 4ac < 0 k² - 16 < 0 Duas raízes complexas conjugadas Δ < 0 Observe que quando Δ < 0 f(x) é sempre positiva ou sempre negativa.

X k² - 16 < 0 k² < 16 k < 4 Inequação de 2º grau? Resolver graficamente! k² - 16 < 0 Parábola voltada para cima 4 e -4 são suas raízes 4 -4 + - -4 < k < 4  k pode valer -3, -2, -1, 0, 1, 2 ou 3

Inseguros???? Receosos???? OMG OMG OMG????

ENTÃO IMAGINA QUEM NÃO FEZ

POBRES CONCORRENTES!

COLE AQUI! COLE AQUI! COLE AQUI! COLE AQUI!

BOA PROVA! 2013 É NA UFRGS (E NO MUNDO!)