Combinações simples • Escolher • Conjuntos

1. Definição Seja A um conjunto com n elementos e k um natural menor ou igual a n. Chamam-se combinações simples k a k, dos n elementos de A, os agrupamentos, de k elementos distintos cada, que diferem entre si apenas pela natureza de seus elementos 2. Cálculo do número de combinações simples Representando com o símbolo Cn,k o número total de combinações simples dos n elementos de A, tomados k a k, temos: a) permutação de k elementos de uma com bi nação k a k, obtendo-se Pk arranjos distintos b) permutação de k elementos das Cn,k combinações k a k obtendo-se Cn,k . Pk arranjos distintos

Assim sendo: 𝐿𝑒𝑚𝑏𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝐴 𝑛,𝑘 = 𝑛! 𝑛−𝑘 ! , 𝑃 𝑘 =𝑘! 𝑛 𝑘 = 𝑛! 𝑘!. 𝑛−𝑘 ! , podemos também escrever:

Exercícios Propostos 1) (UFU – MODELO ENEM) – Cada seleção participante da copa do mundo de futebol inscreve 23 jogadores, sendo necessariamente três goleiros. Em cada partida, dois jogadores de cada seleção são escolhidos entre os 23 inscritos para o exame anti-doping, mas são descartadas as possibilidades de que os dois jogadores escolhidos sejam goleiros. De quantas maneiras diferentes estes dois jogadores podem ser escolhidos? RESOLUÇÃO: C23,2 – C3,2 = 253 – 3 = 250 Resposta: 250

2) Num plano são dados dez pontos distintos, contidos em duas retas paralelas, conforme a figura a seguir. Qual o número total de triângulos com vértices nestes pontos? RESOLUÇÃO: Devemos escolher 1 ponto da reta r e 2 da reta s ou 1 ponto da reta s e 2 pontos da reta r. C4;1 . C6;2 + C6;1 . C4;2 = 4 . 15 + 6 . 6 = 96 ou C10,3 – C4,3 – C6,3 = 120 – 4 – 20 = 96

a) qual o número total de retas determinadas por esses pontos? 3) Num plano são dados dez pontos, três a três não colineares. Pergunta-se: a) qual o número total de retas determinadas por esses pontos? b) qual o número total de triângulos com vértices nestes pontos? RESOLUÇÃO: 𝑎) 𝐶 10,2 = 10 2 =45 b) 𝐶 10,3 = 10 3 = 120 Resposta : 45 120

4) (UNESP – MODELO ENEM) – Um professor, ao elaborar uma prova composta de 10 questões de múltipla escolha, com 5 alternativas cada e apenas uma correta, deseja que haja um equilíbrio no número de alternativas corretas, a serem assinaladas com X na folha de respostas. Isto é, ele deseja que duas questões sejam assinaladas com a alternativa A, duas com a B, e assim por diante, como mostra o modelo. Nessas condições, a quantidade de folha de respostas diferentes, com a letra X disposta nas alternativas corretas, será a) 302 400 b) 113 400 c) 226 800 d) 181 440 e) 604 800

RESOLUÇÃO: Existem: C10;2 formas de escolher as questões cuja resposta correta é A; C8;2 formas de escolher as questões cuja resposta correta é B; C6;2 formas de escolher as ques tões cuja resposta correta é C; C4;2 formas de escolher as questões cuja resposta correta é D; C2;2 formas de escolher as questões cuja resposta correta é E. Ao todo, existem C10;2 . C8;2 . C6;2 . C4;2 . C2;2 = 10! 8!.2! . 8! 6!.2! . 6! 4!.2! . 4! 2!.2! =113400 Resposta: B