Autovalores e autovetores: Introdução e definições Polinômio característico Multiplicidade de autovalores Aplicação de autovalores

Introdução Em muitos problemas relativos a sistemas dinâmicos, tem-se uma equação do tipo: onde A é uma matriz nxn, x um vetor nx1 e  um número real. Exemplo: 1) 2) Hoje vamos investigar este fenômeno de forma mais geral.

Definições: Considere A uma matriz nxn. Um escalar  é chamado de autovalor de A, se existe um vetor não nulo x tal que Ax = x. Tal vetor é chamado de autovetor de A. Dados uma matriz A de ordem n e  um autovalor de A, chamamos de auto-espaço de A a coleção de autovetores correspondentes a cada  acrescida do vetor nulo. Exemplos: 1) Mostre que (1,1) é autovetor de A, onde e obtenha o autovalor correspondente. 2) Mostre que 5 é autovalor de 3) Encontre, geometricamente, os autovetores de

Polinômio característico Agora que já vimos algumas aplicações dos determinantes, vamos utilizá-lo para mais uma aplicação. Definições: Seja A uma matriz de ordem n, denominamos polinômio caracterís-tico de A, o polinômio P() obtido pelo cálculo de: P() = det(A- I). A equação P() = 0 é denominada equação característica de A. Os autovalores de uma matriz A são precisamente as soluções  da equação característica. Assim, dada a matriz A temos o seguinte algoritmo: Encontrar o polinômio característico de A; encontrar os autovalores de A através de sua equação característica; para cada autovalor encontrar o subespaço anulado por A- I, esse é o auto-subespaço associado ao autovalor  i , denominado E, formado pelos autovetores de A; Encontre uma base para cada auto-subespaço.

Multiplicidade do autovalor: Existem dois tipos de multiplicidade para um autovalor: A multiplicidade algébrica é dada pela sua multiplicidade como raiz da equação característica. A multiplicidade geométrica é dada pela dimensão de seu auto-subespaço. Exemplo: Encontre as multiplicidades algébrica e geométrica dos autovalores da matriz A, dada por:

Crescimento populacional da Tartaruga-da-Amazônia Introdução; Modelo matemático; Estudo qualitativo do sistema; Resultados; Conclusões. Artigo disponível em: http://www.ufmt.br/icet/matematica/geraldo/tartaruga.pdf

Introdução Pesquisa e aplicação dos conhecimentos matemáticos às diversas áreas do conhecimento; O projeto “Quelônios da Amazônia”; Objetivos deste trabalho; Metodologia de estudo.

esquema do ciclo de vida Modelo matemático: esquema do ciclo de vida

Modelo matemático: equações N0 ( t+ 1 ) =  . N10( t ) N1 ( t+ 1 ) = 0 . N0 ( t ) N2 ( t+ 1 ) = 1 . N1 ( t ) N3 ( t+ 1 ) = 2 . N2 ( t ) N4 ( t+ 1 ) = 3 . N3 ( t ) N5 ( t+ 1 ) = 4 . N4 ( t ) N6 ( t+ 1 ) = 5 . N5 ( t ) N7 ( t+ 1 ) = 6 . N6 ( t ) N8 ( t+ 1 ) = 7 . N7 ( t ) N9 ( t+ 1 ) = 8 . N8 ( t ) N10 ( t+ 1 ) = 9 . N9 ( t ) + (1 -  ) . N10(t) onde,  é a mortalidade de adultos, ou seja, o nosso sistema de equações é dado por: Ni (t+1) = i-1 . Ni-1 (t)

Modelo matemático: forma matricial N( t+1) = A N(t) N = [N0, N1, ..., N10] => N(t) = At N(0)

Estudo qualitativo do sistema: polinômio característico P() = det(A - I) P() = 10(- +1- ) +  0 1 ... 9 P() = -11 + (1- )10 + K K =  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Seja  = Max

Teorema: Cota de Kojima Dado um polinômio p(x) = anxn +an-1xn-1 + ... +a0 toda raiz, real ou complexa, verifica: | | ≤ Q1 + Q2 onde Q1 e Q2 são os maiores valores obtidos do conjunto:

Estudo qualitativo do sistema: avaliação gráfica

Resultados P() = -11 + 0,0510 + 0,01836   0,745296820391 Assumimos a razão sexual como sendo 1/2; Segundo Rocha (1991, 92 e 93), cada fêmea desova cerca de 90 ovos a cada estação ( = 90); Do total de ovos, apenas 81,6% sobrevivem, então do total de ovos apenas 40,8% serão fêmeas que emergirão (0 = 0,408); Há uma estimativa de que 5% dos filhotes que nascem conseguem sobreviver até um ano de vida (1 = 0,05); Desses, apenas 1% chega a fase reprodutiva, que acontece após os 9 anos de idade, ou seja, 2 3 4 5 6 7 8 9  0,01 A partir daí, tem-se uma mortalidade de cerca de 95%, (1 -  = 0,05). P() = -11 + 0,0510 + 0,01836   0,745296820391

Conclusões Tendo em vista o estudo qualitativo do comportamento do sistema e o valor obtido para a cota de Kojima (  0,745296820391 < 1) para os parâmetros bióticos considerados, podemos concluir que a espécie Podochnemis expansa será extinta. No entanto, se pelo menos 20% dos filhotes nascidos completarem o primeiro ano de vida e, desses, outros 20% venham a atingir a idade reprodutiva, obtemos  = 1,05 ( > 1), o que nos leva a concluir que a espécie poderá ser preservada. Nesse sentido, a adoção de políticas de proteção, dará condições de preservar a espécie, caso contrário, a extinção será inevitável.

Trabalho prático: Crescimento Populacional – Uma espécie de besouro alemão, o volmar-wasserman vive no máximo 3 anos. As fêmeas podem ser divididas em 3 faixas etárias: ninfas (de 0 a 1 ano), juvenis (de 1 a 2 anos) e adultas (de 2 a 3 anos). As ninfas não põem ovos; cada fêmea juvenil produz uma média de 4 fêmeas e cada adulta uma média de 3 fêmeas. A taxa de sobrevivência é de 25% para as juvenis e de 50% para as ninfas. Supondo que a população inicial era de 40 ninfas, 40 juvenis e 20 adultas, obtenha: A matriz de Leslie associada a esta população. A previsão da população para os próximos 5 anos. Os autovalores e autovetores de sua matriz de Leslie. O gráfico população x tempo com pelo menos 10 anos, indicando a população de cada classe etária. O gráfico porcentagem da população x tempo, com pelo menos 10 anos, indicando a porcentagem para cada classe etária. A partir desses gráficos, que conclusões você pode tirar ?