Noções sobre escoamento newtoniano Agustinho Plucenio

Noções sobre Escoamento Newtoniano Apresentação em parte baseada nos trabalhos de: Eric G. Paterson Department of Mechanical and Nuclear Engineering he Pennsylvania State University Spring 2005 JAIME NEIVA MIRANDA DE SOUZA URFJ, 2010 M. Wörner Institut für Reaktorsicherheit

Introdução Velocidade média em um duto Devido a condição de ausência de escorregamento, a velocidade na parede do duto é zero. Estamos interessados na velocidade média Vavg, V A condição de não escorregamento causa tensão de cisalhamento e fricção ao longo das paredes do duto. Força de atrito sobre o fluido na parede do duto

Introdução Para duto de diâmetro constante e fluido imcompressível Vavg permanece a mesma ao longo do duto, mesmo se o perfil de velocidade muda. Por que? Conservação de massa Vavg Vavg

Introdução Para dutos com diâmetro variável, dm/dt ainda é igual devido a conservação de massa, mas V1 ≠ V2 D1 D2 V1 m V2 m 2 1

Escoamento Laminar e Turbulento Pode ser Estacionário ou Não Escacionário. Estacionário significa que o campo de fluxo é o mesmo em qualquer tempo. Pode ser de uma, duas ou 3 dimensões. Tem um comportamento previsível O escoamento tem solução analítica Ocorrem para baixos valores de Número de Reynolds. Escoamento Turbulento É sempre não estacionário. Existe sempre movimento ramdômicos giratórios como vórtices. Um escoamento turbulento pode ser estacionário na média. Escoamento turbulento estacionário. É sempre 3D, ou 1D ou 2D na média. Tem comportamento caótico. Não pode ser predito exatamente. Não tem solução analítica. Ocorre para número de Reynolds grande.

Escoamento Laminar e Turbulento Número de Reynolds crítico (Recr) para escoamento em um duto redondo Re < 2300  laminar 2300 ≤ Re ≤ 4000  transitional Re > 4000  turbulent São valores aproximados. Para uma aplicação, depende de Rugosidade do duto Vibrações Flutuações à montante, perturbações (valvulas, joelhos, etc. que podem perturbar o escoamento) Definição do Número de Reynolds

Laminar and Turbulent Flows Definição de diâmetro hidráulico Dh = 4Ac/P Ac = Área da seção transversal P = Perímetro molhado Exemplo: Canal aberto Ac = 0.15 * 0.4 = 0.06m2 P = 0.15 + 0.15 + 0.5 = 0.8m Não contar com a superfície livre já que ela não contribui para a fricção ao longo das paredes do duto. Dh = 4Ac/P = 4*0.06/0.8 = 0.3m

A região de entrada Considere um duto de diâmetro D. O escoamento pode ser laminar ou turbulento. Em qualquer caso, o perfil desenvolve-se a jusante ao longo de diversos diâmetros chamados de comprimento de entrada . é função de Re. Lh

Escoamento completamente desenvolvido no duto Comparação de escoamento laminar e turbulento Existem algumas diferenças importantes entre os escoamentos laminar e turbulento completamente desenvolvidos. Laminar Can ser resolvido exatamente Escoamento é estacionário O perfil de velocidade é parabólico A rugosidade do duto não é importante

Escoamento completamente desenvolvido no duto Turbulento Não pode ser resolvido exatamente (muito complexo) Não estacionário (3D swirling eddies), estacionário na média O perfil de velocidade é mais cheio (topo de chapéu, com grande variação de velocidade proximo as paredes) Rugosidade do duto é muito importante Vavg 85% de Umax (depende um pouco de Re) Sem solição analítica, mas existem algumas expressões semi-empíricas para o perfil de velocidade. Logarithmic law Power law Instantaneous profiles

Escoamento completamente desenvolvido Tensão de cisalhamento nas paredes = du/dy Em escoamento completamente desenvolvido, = du/dr slope Laminar Turbulento w w = Tensão de cisalhamento agindo na parede agindo no fluido w,turb > w,lam

Escoamento completamente desenvolvido- Queda de pressão Existe uma relação direta entre a queda de pressão em um duto e a tensão de cisalhamento na parede. Considere um duto horizontal, com escoamento incompressivel totalmente desenvolvido, Vamos aplicar conservação de massa, momento e energia para esse volume de controle 1 2 L w P1 P2 V Tome um VC dentro das paredes do duto

Escoamento completamente desenvolvido- Queda de pressão Conservação de massa Conservação de quant. Movimento em x Termos se cancelam , 1 = 2 e V1 = V2

Escoamento completamente desenvolvido- Queda de pressão Assim, momento em x reduz a Outra forma de escrever τ (Através de análise dimensional) ou w = func( V, , D, ) O problema fica reduzido em resolver para o fator de fricção f. Lembrar

Escoamento completamente desenvolvido- fator de atrito esc. laminar Força de atrito devido a parede: Pressão: Para escoamento laminar:

Escoamento completamente desenvolvido- Fator de fricção Moody chart foi desenvolvida para dutos circulares, mas pode ser utilizada para tubos não circulares utilizando o diâmetro hidráulico. A equação de Colebrook é uma curva ajustada para dados conveniente para uso em softwares Tanto a carta de Moody como a equação de Colebrook tem uma incerteza de +-15% devido ao valor da rugosidade, erro experimental, ajuste da curva, etc..

Escoamento completamente desenvolvido- fator de atrito escoamento turbulento (carta)

Fanning Diagram (1/4 Moody) f =16/Re

Tipos de problemas de escoamento em dutos No projeto e análise de sistemas de dutos, 3 tipos de problemas podem ser encontrados Determine p (ou hL) dado L, D, V (or vazão) Pode ser resolvido diretamente com Moody chart e equação Colebrook Determine V, dado L, D, p Determine D, dado L, p, V (or vazão) Tipos 2 e 3 são problemas comuns de projetos de engenharia, i.e., sleção de diâmetros de dutos que minimizem custo de construção e de bombeio. Entretanto, uma abordagem iterativa se faz necessário já que tanto V como D estão presentes no número de Reynolds.

Problema tipo I Este é o problema de selação de bomba. São dados vazão volumétrica V, diâmetro do duto, D, de forma que o Número de Reynolds, Re, e a rugosidade relativa ε/D são conhecidos e f pode ser lido diretamente da carta. A queda de pressão pode ser calculada. A bomba pode ser selecionada para vencer a perda de pressão calculada.

Problema tipo II Tem a bomba e o sistema de dutos. Deseja determinar a vazão. Conhece-se a queda de pressão, o diâmetro D, a rugosidade relativa ε/D pode ser determinada. Não se conhece o número de Reynolds pois a velocidade não é conhecida. O problema é resolvido assumindo que o escoamento é completamente turbulento (zona 4) de forma que o fator de fricção é determinado somente pelo valor da rugosidade relativa. Calcula-se a velocidade e ajusta-se Re….

Problema tipo III Projeto do duto. A pressão disponibilizada pela bomba perminte ∆p ser conhecido, a vazão é conhecida, mas o diâmetro do duto precisa ser determinado. Neste caso nem Re, nem ε/D é conhecido. Solução: Assume-se um valor para o fator de atrito f (No centro da carta Moody), por exemplo f=0.03. Este valor é utilizado para se obter um valor de D e um novo valor de f é obtido e assim por diante até que um novo valor de D calculado não mude acima de um determinado valor.

Formas explícitas fator de atrito Churchill (1973) Swamee-Jain (1976): Barr (1972): Haaland (1983): Sousa-Cunha-Marques (1999):

Perdas de pressão diversas Sistema de dutos incluem conexões, válvulas, curvas, Ts, entradas, saídas, alargamento e contração de diâmetro. Esses componentes interrompem o escoamento suave do fluido e causam perdas de pressão adicionais. Essas perdas podem ser calculadas na forma de altura manométrica como KL é o coeficiente de perda. Valor típico de cada componente Assume-se ser independente de Re. Fornecido pelo fabricante ou obtido em tabela (Table 8-4 ).

Perdas de pressão em dutos A perda total de pressão em um sistema é composta de perdas principais (em dutos) e secundárias (componentes). Se o sistema de dutos tem o mesmo diâmetro, i pipe sections j components

Potência entregue ao fluido por bombas Existem máquinas que tomam energia do escoamento (Uma turbina, por exemplo) e máquinas que entregam energia para o escoamento (bombas ou ventiladores, por exemplo). Tomando uma bomba como exemplo: A potência entregue ao fluido pode ser calculada como Bomba centrífuga Já a potência que a bomba necessita,P’, para entregar a potência P ao fluido varia com o rendimento da bomba Ƞ

Dimensionamento de sistemas com bombas centrífugas Na prática, η não é constante pois na bomba centrífuga o formato das lâminas é ótimo somente para um valor de velocidade angular w e vazão Q . A relação entre ∆p e Q é dada por uma curva quadrática Já a queda de pressão devido o escoamento no início do duto pode ter uma componente constante devido a gravidade mais um termo quadrático devido ao atrito

Cavitação Cavitação Descrição do fenômeno Como qualquer outro líquido, a água também tem a propriedade de vaporizar-se em determinadas condições de temperatura e pressão. E assim sendo temos, por exemplo, entra em ebulição sob a pressão atmosférica local a uma determinada temperatura, por exemplo, a nível do mar (pressão atmosférica normal) a ebulição acontece a 100oC. A medida que a pressão diminui a temperatura de ebulição também se reduz. Por exemplo, quanto maior a altitude do local menor será a temperatura de ebulição (V. Tabela 4). Em consequência desta propriedade pode ocorrer o fenômeno da cavitação nos escoamentos hidráulicos. Chama-se de cavitação o fenômeno que decorre, nos casos em estudo, da ebulição da água no interior dos condutos, quando as condições de pressão caem a valores inferiores a pressão de vaporização. No interior das bombas, no deslocamento das pás, ocorrem inevitavelmente rarefações no líquido, isto é, pressões reduzidas devidas à própria natureza do escoamento ou ao movimento de impulsão recebido pelo líquido, tornando possível a ocorrência do fenômeno e, isto acontecendo, formar-se-ão bolhas de vapor prejudiciais ao seu funcionamento, caso a pressão do líquido na linha de sucção caia abaixo da pressão de vapor (ou tensão de vapor) originando bolsas de ar que são arrastadas pelo fluxo.

Cavitação Estas bolhas de ar desaparecem bruscamente condensando-se, quando alcançam zonas de altas pressões em seu caminho através da bomba. Como esta passagem gasoso-líquido é brusca, o líquido alcança a superfície do rotor em alta velocidade, produzindo ondas de alta pressão em áreas reduzidas. Estas pressões podem ultrapassar a resistência à tração do metal e arrancar progressivamente partículas superficiais do rotor, inutilizando-o com o tempo Quando ocorre a cavitação são ouvidos ruídos e vibrações característicos e quanto maior for a bomba, maiores serão estes efeitos. Além de provocar o desgaste progressivo até a deformação irreversível dos rotores e das paredes internas da bomba, simultaneamente esta apresentará uma progressiva queda de rendimento, caso o problema não seja corrigido. Nas bombas a cavitação geralmente ocorre por altura inadequada da sucção (problema geométrico), por velocidades de escoamento excessivas (problema hidráulico) ou por escorvamento incorreto (problema operacional).

Cavitação A implosão das bolhas de gas causam acelerações localizadas de líquido que podem chocar contra as paredes causando desgaste. T=To+∆T T=To

Cavitação NPSH Em qualquer cálculo de altura de sucção de bombas tem de ser levada em consideração que não deve ocorrer o fenômeno da cavitação e, para que possamos garantir boas condições de aspiração na mesma, é necessário que conheçamos o valor do NPSH (net positive suction head). O termo NPSH (algo como altura livre positiva de sucção) comumente utilizado entre os fornecedores, fabricantes e usuários de bombas pode ser dividido em dois tipos: o requerido (NPSHr) e o disponível (NPSHd). O NPSHr é uma característica da bomba e pode ser determinado por testes de laboratório ou cálculo hidráulico, devendo ser informado pelo fabricante do equipamento. Podemos dizer que NPSHr é a energia necessária para o líquido ir da entrada da bomba e, vencendo as perdas dentro desta, atingir a borda da pá do rotor, ponto onde vai receber a energia de recalque, ou seja, é a energia necessária para vencer as perdas de carga desde o flange de sucção até as pás do rotor, no ponto onde o líquido recebe o incremento de velocidade. Em resumo NPSHr é a energia do líquido que a bomba necessita para seu funcionamento interno. Normalmente, o NPSHr é fornecido em metros de coluna de água (mca).

Cálculo do NPSHr O NPSHr pode ser calculado através da expressão: NPSHr = σ. Hman                                                                                   onde o coeficiente de cavitação σ pode ser determinado pela expressão σ= φ.( Ns )4/3, sendo φ um  fator de cavitação que corresponde aos seguintes valores: para bombas radiais φ= 0,0011; diagonais φ= 0,0013; axiais φ= 0,00145. Ns a velocidade específica, onde N=Rotação, Q=Vazão, H=Altura manométrica  

Exemplo: Calcular o NPSHr para a instalação de uma bomba com os seguintes dados: O tipo de bomba fica definido também pela rotação específica Ns. definição do NPSHr rotação específica Ns = 1 150 x [ (0,04)1/2 / (20)3/4 ] = 25,5 coeficiente de cavitaçãos = φ .( Ns)4/3, onde φ é o fator de cavitação que correspondente ao valor para uma bomba radial φ = 0,0011                            σ = φ . ( Ns )4/3 = 0,0011 x 25,54/3 = 0,0825; altura diferencial de pressão NPSHr = σ. H = 0,0825 x 20 = 1,65 mca. Altura Manométrica H 20 metros Vazão 20 litros/s Velocidade de rotação da bomba N 1150 rpm Tipo de bomba Radial Temperatura 20ºC Fator de atrito f 0.03

Significado na instalação H1 H2 C L1 Significa que a tomada de fluido (ponto C) poderia estar no máximo acima do nivel do tanque em 8.2m

Tabela Pressão de vapor para água Temperatura (ºC) Pressão de vapor de água Densidade mm Hg kg/cm2 Pa (-) 15 12.7 0.0174 1705.2 0.999 20 17.4 0.0238 2332.4 0.998 25 23.6 0.0322 3155.6 0.997 30 31.5 0.0429 4204.2 0.996 35 41.87 0.0572 5605.6 0.994 40 54.9 0.075 7350 0.992 45 71.4 0.0974 9545.2 0.99 50 92 0.1255 12299 0.988 55 117.5 0.1602 15699.6 0.986 60 148.8 0.2028 19874.4 0.983 65 186.9 0.2547 24960.6 0.981 70 233.1 0.3175 31115 0.978 75 288.5 0.3929 38504.2 0.975 80 354.6 0.4828 47314.4 0.972 85 433 0.5894 57761.2 0.969 90 525.4 0.7149 70060.2 0.965 95 633.7 0.862 84476 0.962 100 760 1.0333 101263.4 0.958 105 906 1.232 120736 0.955 110 1075 1.4609 143168.2 0.951 115 1269 1.726 169148 0.947 120 1491 2.027 198646 0.943 Tabela Pressão de vapor para água

Introdução ao escoamento multifásico Na indústria do petróleo é comum a ocorrência de escoamento multifásico, caracterizado pela presença das fases água, óleo e gás em diferentes proporções. O escoamento multifásico apresenta dificuldades para bombeio, medição e até mesmo para a predição do comportamento do escoamento. Indicadores relacionados com as frações: BSW – Basic Sediments and Water GOR – Gás Oil Ratio ou RGO (Razão Gás-óleo BSW 100%

Definições Fase: Definição termodinâmica para o estado da matéria, que pode ser sólido, líquido ou gás. Em escoamento multifásico várias fases fluem juntas. Uma fase pode ser classificada como contínua ou dispersa. A fase é contínua quando ocupa continuamente regiões conectadas do espaço. É dispersa quando ocupa regiões desconectadas do espaço. A fase contínua pode ser líquida ou gasosa. A fase dispersa é formada por partículas. Em geral a partícula por ser sólida ou um fluido (líquido ou gás). Partículas de fluido formadas por gás são chamadas de bolhas. Quando formádas por líquidos são chamadas de gotas. Por exemplo: No escoamento gás-líquido tipo bolha as bolhas de gás são a fase dispersa e o líquido a fase contínua.

Introdução ao escoamento multifásico Padrões típicos de escoamento (Regimes de escoamento) a-bubble flow (esc. Tipo bolhas) b-plug flow (esc. Tipo plugue) c-stratified flow (esc. Estratificado) d-wavy flow (esc. Ondulado) e-slug flow (esc. Golfadas) f-annular flow (escoamento anular) g-spray or drop flow (esc. Névoa) a-bubble flow b-plug flow c-churn flow (esc. Agitado) d-wispy annular flow (an. Fino) e-annular flow f-spray or drop flow

Identificação de regimes Uma forma utiliza com sucesso relativo para a identificação de regime consiste em determinar as velocidades superficiais das frações. Exemplo de mapa de regime de escoamento: Água-ar para escoamento horizontal As variáveis nos eixos x e y são a velocidade superficial do gás e velocidade superficial do líquido respectivamente.

Forças agindo sobre o fluido O movimento dos fluidos resulta das forças agindo sobre os mesmos. Essas forças podem ser classificadas em: Forças de volume, Forças de superfície e Forças de linha. Força devido a Tipo Magnitude Pressão Força Superfície Inércia Força de volume Viscosidade Força de superfície Gravidade Força de volume Efeito bóia Tensão superficial Força de linha

Equacionamento p/ fluido Newtoniano compressível Equação da continuidade: Conservação de massa z Volume de controle A Direção do escoamento x y Se Não admite troca de massa entre gás e líquido

Equacionamento p/ fluido Newtoniano compressível Equação da continuidade: Conservação quantidade de movimento Momento de entrada – momento de saída Força de contato na entrada- saída Força devido o atrito viscoso Força devido a gravidade Dividindo por A∆x na direita e esquerda e no limite quando ∆x→0,

Equacionamento p/ fluido Newtoniano compressível Equação da continuidade: Conservação quantidade de movimento Para regime permanente:

Newtoniano compressivel em Regime Permanente

Exemplo de aplicação Obter o gráfico da pressão, velocidade e densidade x profundidade em regime permanente para o escoamento de gás no espaço anular de dois dutos verticais com saída para uma válvula de orifício Dados: Vazão mássica de gás=4.5 kg/s H=2500m Dcasing(ID)=8.75” Dtprod.(ext)=5.0” Rugosidade das paredes:10e-6m T=300F M=0.016 kg/mol Viscosidade do gás=2e-5 Pas Pressão no lado externo da válvula de orifício, Pwf=12.844 Mpa Diâmetro da válvula de orifício=.5” Coeficiente de descarga da Valv. Orifício=.8 Razão de calor específico do gás, γ=1.4

Solução Equação da Vávula de orifício: Programa principal: Função: annssap1.m Anularregper.m q r

Código e resultados Programa principal: Função: annssap1.m Anularregper.m

No tubo de produção: Continuidade Conservação momento

No anular:

Trabalhos Trabalho 1 Trabalho sobre Gas-Lift Continuo (Explicar e desenvolver um programa para levantar as curvas de Regime Permanente) Trabalho 2 Trabalho sobre Bombeio Mecânico Explicar e mostrar a simulação do processo Trabalho 3 Trabalho sobre Bomba Centrigua submersa Explicar e mostrar a simulação.