PGEE5501 - Sistemas Lineares Prof. Dr. Mário Sarcinelli Filho CV Lattes: http://lattes.cnpq.br/3459331011913021 Período 2014-1 Sítio web: www2.ele.ufes.br/~sarcinel

(C. T. Chen, Capítulo 1) Introdução O estudo e projeto de sistemas físicos pode ser desenvolvido usando métodos empíricos. Podemos aplicar vários sinais a um sistema físico e medir suas respostas. Se o desempenho não for satisfatório, podemos ajustar alguns de seus parâmetros ou conectá-lo a um compensador para melhorar seu desempenho. Esta abordagem depende fortemente da experiência acumulada, é desenvolvida através de tentativa e erro, e tem obtido sucesso no projeto de muitos sistemas físicos. Métodos empíricos podem tornar-se inúteis, porém, se os sistemas físicos são complexos, muito caros ou muito perigosos para serem experimentados. Nesses casos, métodos analíticos tornam-se indispensáveis. O estudo analítico de sistemas físicos consiste de quatro partes: modelagem, desenvolvimento de descrições matemáticas, análise e projeto (ou síntese).

Cap. 1 - Introdução A distinção entre sistemas físicos e modelos é um aspecto básico em engenharia. Resistor: a resistência constante é um modelo. Ele queimará se a tensão for muito grande, efeito este que não aparece com o modelo adotado. Indutor: a indutância constante é um modelo. Ela varia com a corrente que flui, o que o modelo não considera. Modelagem é um problema muito importante, pois o sucesso do projeto depende se o sistema físico é modelado apropriadamente. Um sistema físico pode ter diferentes modelos, dependendo do que se quer responder. Ele também pode ser modelado de forma diferente para diferentes faixas de operação. Exemplos: amplificador e espaçonave.

Cap. 1 - Introdução Sobre modelo: modelo cinemático Modelo quando 𝛼=0 𝜌 =−𝑣 𝛼 =−𝜔 𝜃 =0

Cap. 1 - Introdução Ainda sobre modelo: modelo dinâmico com movimento restrito ao eixo Z (translação e rotação) (consequentemente, somente as forças 𝑓 3 e 𝑓 4 são não nulas, e provocarão as acelerações linear na direção do eixo z e angular em torno do eixo z). 𝑓 3 =𝑚 𝑧 +𝑚𝑔⇒ 𝑧 = 𝑓 3 𝑚 −𝑔 𝑙 𝑡 𝑓 4 = 𝐼 𝑧𝑧 𝜓 ⇒ 𝜓 = 𝑙 𝑡 𝑓 4 𝐼 𝑧𝑧

Cap. 1 - Introdução Neste texto, um modelo de um sistema físico será chamado de sistema. Assim, um sistema físico é um dispositivo ou um conjunto de dispositivos existentes no mundo real, e um sistema é um modelo de um sistema físico. Uma vez que o sistema (modelo) foi selecionado para um sistema físico, o próximo passo é aplicar diversas leis físicas para escrever equações matemáticas para descrever o sistema. Exemplo: leis de Kirchhoff e de Newton. As equações que descrevem o sistema podem apresentar-se em várias formas: elas podem ser lineares, não lineares, integrais, a diferenças, diferenciais, etc.

Cap. 1 - Introdução Após obter a descrição matemática, pode-se desenvolver análise do sistema (quantitativa e/ou qualitativa). Em termos quantitativos, estamos interessados na resposta do sistema a certas entradas. Em termos qualitativos, estamos interessados nas propriedades gerais do sistema, como estabilidade, controlabilidade e observabilidade. Análise qualitativa é muito importante, porque técnicas de projeto frequentemente surgem desse estudo.

Cap. 1 - Introdução Se a resposta do sistema não é satisfatória, o sistema deve ser modificado. Em alguns casos isto pode ser conseguido ajustando alguns parâmetros do sistema, e em outro casos compensadores devem ser introduzidos. Note-se que o projeto (ou síntese) de tais compensadores é desenvolvido com base no modelo do sistema físico. Se o modelo for adequadamente escolhido, então o desempenho do sistema físico deve melhorar ao introduzir-se o ajuste de parâmetros ou o compensador projetados. Se o modelo é pobre, o desempenho do sistema físico não melhora, e o projeto de ajuste de parâmetros ou compensador foi inútil.

Cap. 1 - Introdução Selecionar um modelo que seja próximo o bastante de um sistema físico e simples bastante para ser estudado analiticamente é o problema mais difícil e importante no projeto de sistemas. Os sistemas a serem estudados neste curso são limitados a sistemas lineares. Ou seja, seus modelos são modelos lineares, ou seja, apresentam a propriedade da linearidade.

Cap. 1 - Introdução Usando linearidade (ver Capítulo 2) 𝒚(𝑡)= 𝑡 0 𝑡 𝑮 𝑡,𝜏 𝒖 𝜏 𝑑𝜏 (descrição entrada-saída ou externa) Se o sistema linear também é concentrado, então 𝒙 𝑡 =𝑨 𝑡 𝒙 𝑡 +𝑩 𝑡 𝒖 𝑡 (equações diferencias de 1ª ordem) 𝒚 𝑡 =𝑪 𝑡 𝒙 𝑡 +𝑫 𝑡 𝒖(𝑡) (equações algébricas) (descrição interna, equações no espaço de estados ou equações de estado) Se o sistema linear também é invariante no tempo 𝒚 𝑡 = 0 𝑡 𝑮 𝑡−𝜏 𝒖 𝜏 𝑑𝜏 (equação 1.4) 𝒙 𝑡 =𝑨𝒙 𝑡 +𝑩𝒖 𝑡 e 𝒚 𝑡 =𝑪𝒙 𝑡 +𝑫𝒖(𝑡)

Cap. 1 - Introdução Para a classe de sistemas lineares invariantes no tempo a transformada de Laplace é útil, e nos dá 𝒚 𝑠 = 𝑮 (𝑠) 𝒖 (𝑠) (equação 1.7) 𝒚 𝑠 é a transformada de Laplace de 𝒚 𝑡 𝑮 (𝑠) é chamada a matriz de transferência, ou matriz de funções de transferência 1.4 e 1.7 são representações externas do sistema linear e invariante no tempo, no domínio do tempo e no domínio da frequência, respectivamente. Este curso é voltado à análise e projeto com base nas equações vistas até aqui.