Modelagem Numérica de Terrenos EED759 PEU - POLI - UFRJ Modelagem Numérica de Terrenos EED759 Prof. Carl Horst Albrecht Programa de Engenharia Urbana - Escola Politécnica - Universidade Federal do Rio de Janeiro Julho 2009

Introdução Conceitos Básicos Motivação Escopo Histórico Geografia 3D Dado e Informação Modelo Espacialidade Estatística Geomorfologia e Relevo EED759 PEU/Poli/UFRJ

Elementos de um MNT Aquisição de Dados Pontos Isolinhas Grade Triangular Irregular Grade Retangular Regular Aquisição de Dados Amostragem Representatividade Distribuição Espacial REdução de amostras Formas de Amostragem Digitalização GPS SAR Laser Scan EED759 PEU/Poli/UFRJ

Modelagem Malhas Visualização Triangulação Interpolação Linhas de Nível Sombreamento Colorização Renderização e Texturas EED759 PEU/Poli/UFRJ

Cálculo de Áreas e Volumes Aplicações Cálculo de Áreas e Volumes Perfilamento Visibilidade e Sombras Insolação HIdrologia e Área inundável Ventos Navegação Obras Civis Intervenção na Paisagem EED759 PEU/Poli/UFRJ

1 - Introdução 1.3 - Escopo Conceitos Básicos Formulação Básica Aplicação EED759 PEU/Poli/UFRJ

Modelagem Digital de Terreno: Amostragem Modelagem Aplicações EED759 PEU/Poli/UFRJ

Modelagem Digital de Terreno A amostragem compreende a aquisição de um conjunto de amostras representativas do fenômeno de interesse. A modelagem envolve a criação de estruturas de dados e a definição de superfícies de ajuste com o objetivo de se obter uma representação contínua do fenômeno a partir das amostras. As aplicações são procedimentos de análise executados sobre os modelos digitais. As aplicações podem ser qualitativas, tais como a visualização do modelo usando-se projeções geométricas planares ou quantitativas tais como cálculos de volumes e geração de mapas de declividades. EED759 PEU/Poli/UFRJ

Modelagem Estrutura de Dados Malha Triangular Geoestatística Malha Retangular Malha Triangular Interpolação Dependencia Espacial Geoestatística EED759 PEU/Poli/UFRJ

Estrutura de Dados Organização de dados computacionais de forma a permitir a utilização eficiente da informação. Maneira de codificar, em programa de computador, os pontos e polígonos necessários à manipulação da informação tridimensional. Dados básicos: Pontos (x,y,z) Conectividade (retângulos ou triângulos) EED759 PEU/Poli/UFRJ

Malha Retangular Regular - Vantagens A Malha Retangular apresenta facilidade de implementação de aplicativos, pois trabalha com uma estrutura regular, do tipo matricial. Além disso, muitas vezes, os dados são, originalmente, fornecidos na forma de grade regular, e não como amostras, simplificando ainda mais o processo de geração da estrutura de dados. EED759 PEU/Poli/UFRJ

Malha Retangular Regular - Desvantagens A Malha Retangular Regular exige uma densidade homogênea em todo o domínio, não levando em consideração as variações naturais do terreno. Tendência a excesso de informação para poder representar bem detalhes do terreno. Não permite a incorporação de linhas naturais do terreno como rios, linhas de quebra, etc… EED759 PEU/Poli/UFRJ

Malha Triangular Irregular - Vantagens A Malha Triangular Irregular permite que sejam amostrados mais pontos onde for necessário, ou seja, leva em consideração as variações naturais do terreno, nào exigindo uma quantidade de dados excessiva. Não haverá excesso de informação para poder representar bem detalhes do terreno. Incorpora facilmente as linhas naturais do terreno como os rios. EED759 PEU/Poli/UFRJ

Malha Triangular Irregular EED759 PEU/Poli/UFRJ

Malha Triangular Irregular - Desvantagens A topologia irregular deste tipo de representação exige um tratamento bastante complexo dos dados. Várias soluções, chamadas de triangulações, podem ser possiveis para um mesmo conjunto de pontos. Possibilidade de geração de triangulos ”degenerados”, ou grande variação de dimensões de triangulos. EED759 PEU/Poli/UFRJ

Triangulação Uma triangulação fornece uma estrutura combinatória a um conjunto de pontos. Na realidade, um algoritmo de triangulação fornece regras para conectar pontos “próximos”. Embora todas as triangulações tenham o mesmo número de triângulos, a forma dos triângulos é muito importante em aplicações numéricas. O triangulo equilátero é considerado o triangulo ideal. EED759 PEU/Poli/UFRJ

Triangulação de Delaunay A triangulação de Delaunay conecta os pontos baseado em um único critério: círculos vazios. Numa triangulação de Delaunay o circuncirculo de cada triangulo não contem nenhum outro ponto. EED759 PEU/Poli/UFRJ

Triangulação de Delaunay EED759 PEU/Poli/UFRJ

Triangulação de Delaunay Flip de Aresta e e EED759 PEU/Poli/UFRJ

Triangulação de Delaunay Triangulação de Delaunay tem a importante propriedade de, entre todas as triangulações de um conjunto de pontos (P ), maximizar o menor de todos os ângulos internos dos triângulos. EED759 PEU/Poli/UFRJ

Triangulação de Delaunay Flip de aresta EED759 PEU/Poli/UFRJ

Triangulação de Delaunay Construir a triangulação de Delaunay não é simples. Existem vários algoritmos. O mais simples é o incremental. EED759 PEU/Poli/UFRJ

Triangulação de Delaunay EED759 PEU/Poli/UFRJ

Triangulação de Delaunay EED759 PEU/Poli/UFRJ

Triangulação de Delaunay com Restrição EED759 PEU/Poli/UFRJ

Interpolação Geoestatística Dependencia Espacial Estimar outros valores, em pontos diversos, além dos valores amostrados. Transfomar Grade Triangular em Retangular Aumentar o numero de pontos conhecidos da superfície EED759 PEU/Poli/UFRJ

Interpolação 15º 17º 22º ? EED759 PEU/Poli/UFRJ

Métodos de Interpolação Globais ou Locais Exatos ou Aproximados Graduais ou Abruptos Determinísticos ou Estatísticos 15º 17º 22º ? EED759 PEU/Poli/UFRJ

Métodos de Interpolação Locais x Globais Os métodos locais usam as informaçõs dos pontos existentes em uma determinada vizinhança. Os métodos globais utilizam a informação de de todos os dados conhecidos. EED759 PEU/Poli/UFRJ

Métodos de Interpolação Gradual x Abrupto Os métodos graduais geram uma superfície contínua Os Métodos abruptos geram uma superfície discreta Interpolador gradual Interpolador abrupto Temperatura (ºC) 8 10 12 14 16 18 EED759 PEU/Poli/UFRJ

Métodos de Interpolação Exatos x Aproximados Nos métodos exatos a superfície interpolada passa EXATAMENTE sobre os pontos conhecidos. Nos métodos aproximados a superfície pode ou não passar sobre os pontos. Na verdade são métodos de aproximação e não de interpolação. EED759 PEU/Poli/UFRJ

Interpolador aproximado Métodos de Interpolação Exatos x Aproximados Atributo Atributo Distância Distância Interpolador exato Interpolador aproximado EED759 PEU/Poli/UFRJ

Métodos de Interpolação Determinísticos x Estatíticos Os métodos determinísticos usam diretamente as informaçõs dos pontos existentes. Levando em consideração a posição e o valor. Os métodos estatísticos utilizam a informação de correlação entre os dados, considerando melhor a espacialidade e a incerteza das medições. Introduzem o conceito de aleatoriedade. EED759 PEU/Poli/UFRJ

Vizinho mais Próximo (determinístico) Interpolação Vizinho mais Próximo (determinístico) Para cada ponto xy da grade é atribuído a cota da amostra mais próxima ao ponto. Este interpolador deve ser usado quando se deseja manter os valores de cotas das amostras na grade sem gerar valores intermediários. É um interpolador abrupto. EED759 PEU/Poli/UFRJ

Média Móvel (Determinística) Interpolação Média Móvel (Determinística) Onde: Z* = Valor calculado Zi = Valores amostrados Wi = função de ponderação n = numero de pontos da amostra utilizados EED759 PEU/Poli/UFRJ

Média Simples (determinístico) Interpolação Média Simples (determinístico) o valor de cota de cada ponto da grade é estimado a partir da média simples das cotas dos N vizinhos mais próximos desse ponto. Utilizado geralmente quando se requer maior rapidez na geração da grade, para avaliar erros grosseiros na digitalização. EED759 PEU/Poli/UFRJ

Média Inversamente proporcional à distância (determinístico) Interpolação Média Inversamente proporcional à distância (determinístico) Método de Shepard O valor de cada ponto é estimado a partir da média simples das cotas dos N vizinhos mais próximos desse ponto ponderada pelo inverso da distância entre os pontos. Z – valor interpolado Z – valor medido no ponto i d – distância ao ponto i p – expoente de ponderação n – número de pontos usados no cálculo ^ EED759 PEU/Poli/UFRJ

Método de Shepard Média Inversamente proporcional à distância Z – valor interpolado Z – valor medido no ponto i d – distância ao ponto i p – expoente de ponderação n – número de pontos usados no cálculo ^ 15º 17º 19.6º 20 Km 30 Km 40 Km 22º EED759 PEU/Poli/UFRJ

Médias móveis Inverso do Peso da Distância Método de Shepard O peso da distância é ajustado por um expoente Maior expoente => maior influência da distância Interpolação IDW entre dois pontos conhecidos Ponto A = 100 Ponto B = 50 Expoente Peso da distância p = 1 1 / d p = 2 1 / d2 p = 5 1 / d5 EED759 PEU/Poli/UFRJ

Análise de tendências Ajusta um polinomio aos dados pontuais Interpolador global e estatístico T = – (0.0014 * y2) – (0.0758 * y) + 22.24 10 20 50 40 30 60 70 15º 17º 22º 20.8º Coordenada Y EED759 PEU/Poli/UFRJ

Séries de Fourier Aproxima uma superfície por uma soma de senos e cosenos Usado para dados periódicos Interpolador global Curva decomposta em duas curvas de seno Dados aproximados por uma curva EED759 PEU/Poli/UFRJ

Krigagem (geoestatístico) Estima o valor do ponto minimizando a erro estatístico, ou seja levando em conta a variância dos dados em torno do ponto. Utiliza o variograma para definir os vizinhos É válido num região restrita em torno do ponto EED759 PEU/Poli/UFRJ

Geoestatística A presença de dependência espacial ou temporal requer o uso da geoestatística, a qual surgiu na África do Sul, quando KRIGE (1951), trabalhando com dados de concentração de ouro, concluiu que não conseguia fazer bom uso das variâncias, se não levasse em conta a distância entre as amostras. Do trabalho de KRIGE surgiu o termo krigagem para a técnica de calcular valores não amostrados à partir das amostras de valores pontuais. As aplicações da geoestatística, atualmente vem crescendo e em sido aplicada em vários campos do conhecimento como ecologia, climatologia, engenharia, dentre outros. EED759 PEU/Poli/UFRJ

Krigagem Krigagem Simples Estima o valor do ponto minimizando a erro estatístico, ou seja levando em conta a variância dos dados em torno do ponto. Utiliza o variograma para definir os vizinhos É válido num região restrita em torno do ponto Krigagem Simples EED759 PEU/Poli/UFRJ

Krigagem Ordinária EED759 PEU/Poli/UFRJ

EED759 PEU/Poli/UFRJ

Espacialidade – Variograma Empírico EED759 PEU/Poli/UFRJ

Semivariograma Empirico Patamar: Região de não dependência espacial EED759 PEU/Poli/UFRJ

Semivariograma Teorico EED759 PEU/Poli/UFRJ

EED759 PEU/Poli/UFRJ

EED759 PEU/Poli/UFRJ

Outros Métodos de Interpolação Teoria da Placa Fina (Thin Plate Spline) Método global, de aproximação e contínuo B-Spline EED759 PEU/Poli/UFRJ

Outros Métodos de Interpolação B-Spline EED759 PEU/Poli/UFRJ

Outros Métodos de Interpolação B-Spline EED759 PEU/Poli/UFRJ

Outros Métodos de Interpolação B-Spline EED759 PEU/Poli/UFRJ

Conclusão A Interpolação fornece apenas uma estimativa de um valor baseado noutros valores conhecidos Temperatura média anual em Portugal Temperatura (ºC) 8 10 12 14 16 18 Análise de Tendências Media Pond. p = 2 Thiessen Spline Kriging EED759 PEU/Poli/UFRJ

FIM carl@ufrj.br EED759 PEU/Poli/UFRJ