Momentos de Inércia Cap. 10 MECÂNICA - ESTÁTICA Momentos de Inércia Cap. 10

Discutir o momento de inércia de massa. Objetivos Desenvolver um método para a determinação do momento de inércia de uma área. Introduzir o produto de inércia e mostrar como determinar os momentos de inércia máximo e mínimo de uma área. Discutir o momento de inércia de massa.

10.1 Definição de Momentos de Inércia de Áreas O centróide de um corpo é obtido pelo cálculo do primeiro momento de área: O momento de inércia é obtido pelo cálculo do segundo momento de área:

10.1 Definição de Momentos de Inércia de Áreas Um exemplo onde o momento de inércia é utilizado: A figura mostra a pressão p de um líquido atuando na superfície de uma placa submersa.

10.1 Definição de Momentos de Inércia de Áreas Para os momentos de inércia de uma área qualquer: JO é o segundo momento de área em torno do ponto O ou do eixo z, chamado momento polar de inércia:

Determine o momento de inércia da área triangular em torno dos eixos: Problema 10.A Determine o momento de inércia da área triangular em torno dos eixos: x y

Problema 10.A - Solução dy x y

Problema 10.A - Solução dx x y

10.2 Teorema dos Eixos Paralelos para uma Área O momento de inércia de uma área em relação a um eixo (x e y) é igual ao momento de inércia desta área em relação ao eixos paralelos passando pelo centróide (C) da área (x´ e y´) mais o produto da área (A) pelo quadrado da distância entre os eixos (dx ou dy).

10.2 Teorema dos Eixos Paralelos para uma Área

eixo xb passando pela base do retangulo Exemplo 10.1 Determine o momento de inércia da área retangular mostrada com relação a: eixo centroidal x´ eixo xb passando pela base do retangulo polo ou eixo z´  ao plano x´- y´ passando pelo centróide C.

Exemplo 10.1

Exemplo 10.1 C dx´ x´

10.4 Momentos de Inércia de uma Área por Integração As vezes o elemento infinitesimal de área não está orientado paralelamente ao eixo para o qual se calcula o momento de inércia. Nesse caso pode ser usado o teorema dos eixos paralelos (quando esta orientação é vertical) ou simplesmente usar a expressão correta do diferencial do momento de inércia e integrar.

Determine o momento de ínércia da área da figura em relação aos eixos: Problema 10.8 Determine o momento de ínércia da área da figura em relação aos eixos: x y

Problema 10.8 - Solução (x,y) y=y/2 dx y

Problema 10.8 - Solução (x,y) y=y/2 dx y

Problema 10.8 - Solução (x,y) y=y/2 dx y

10.3 Raio de Giração de uma Área O raio de giração de uma área plana possui a unidade do comprimento sendo um valor muito usado para o projeto de pilares

Determine o raio de giração da área mostrada em relação ao eixo y. Problema 10.B Determine o raio de giração da área mostrada em relação ao eixo y.

Problema 10.B - Solução dx y x

Problema 10.B - Solução dx y x

10.5 Momentos de Inércia de Área Compostas Um corpo composto consiste de um conjunto de corpos de formas simples. Um corpo pode ser dividido em partes. O momento de inércia de um corpo composto é igual a soma algébrica dos momentos de inércia de suas partes.

Problema 10.34 Determine o centro de gravidade e o momento de inércia da área mostrada em relação aos: eixo x eixo y

2 - = 1 3 - I = I1 - I2 - I3 Ix = (Ix)1 – (Ix)2 – (Ix)3 Problema 10.34 - Solução I = I1 - I2 - I3 Ix = (Ix)1 – (Ix)2 – (Ix)3 Iy = (Iy)1 – (Iy)2 – (Iy)3 2 - = 1 3 -

2 - = 1 3 - A = A1 - A2 - A3 xg = (A1xg1 – A2xg2 – A3xg3) / A Problema 10.34 - Solução A = A1 - A2 - A3 xg = (A1xg1 – A2xg2 – A3xg3) / A yg = (A1yg1 – A2yg2 – A3yg3) / A 2 - = 1 3 -

Problema 10.34 - Solução 1 x y 10 in 6 in 5 in 3 in

Problema 10.34 - Solução 2 x y 6 in 3 in 8 in 5 in

Problema 10.34 - Solução y 3 3 in raio (r) = 2 in 4 in x

Problema 10.34 - Solução - 1 3 2