Crescimento Exponencial Crescimento Logístico Ajuste de funções Testinho para casa.

Crescimento Mathusiano de População Equação diferencial* Solução analítica: 𝑃 𝑡 = 𝑃 𝑜 𝑒 𝛼𝑡 A velocidade de crescimento Da população P é proporcional a população Alfa é a taxa de crescimento É a mesma coisa de taxa de (natalidade – mortalidade) Se alfa for negativo, quanto mais a população é pequena menor dP/dt (menos pessoas morrem por unidade de tempo) Se alfa for positivo, quanto maior a população, maior a quantidade de pessoas aumentando no tempo. Crescimento exponencial da população Po é a população incial em t = 0 ou seja, P(0). Alfa é a taxa de crescimento em % por unidade de tempo (muitas vezes também se usa a letra r em vez de alfa) *Equação diferencial que envolve diferencias e cuja solução é uma equação que não envolve diferenciais. Exemplo simples: dy/dx = 1. Resposta: y = x + C, onde C é uma constante.

Função Exponencial 𝑃 𝑡 = 𝑃 𝑜 𝑒 𝛼𝑡 Crescimento Exponencial tempo tempo 𝑃 𝑡 = 𝑃 𝑜 𝑒 𝛼𝑡 Crescimento Exponencial tempo tempo Alfa = 0,01 = 1% é a taxa de crescimento por unidade de tempo

Função Exponencial 𝑃 𝑡 = 𝑃 𝑜 𝑒 𝛼𝑡 Decaimento Exponencial tempo tempo 𝑃 𝑡 = 𝑃 𝑜 𝑒 𝛼𝑡 Decaimento Exponencial tempo tempo Alfa = -0,01 = -1% é a taxa de decaimento ou diminuição por unidade de tempo

Saturação da Taxa de Crescimento: sistema com capacidade limitada A expressão que dá um crescimento exponencial (Malthusiano) é O crescimento exponencial não tem limite superior para a população. Se existir uma capacidade máxima K*, quando a população for igual a K a taxa de crescimento vai para zero. Matematicamente fica assim: 𝑑𝑃 𝑑𝑡 =𝑟𝑃 𝑑𝑃 𝑑𝑡 =𝑟 ′ 𝑃 𝑟 ′ = 1− 𝑃 𝐾 𝑟 Onde 𝑑𝑃 𝑑𝑡 =𝑟 1− 𝑃 𝐾 𝑃 *K pode ser, por exemplo, o número máximo de indivíduos que um ecossistema pode suportar.

Função Logística: quando existe uma capacidade máxima para a população A população não pode ser maior do que K por limitações físicas do sistema Solução analítica da função logística: Equação diferencial: 𝑃 𝑡 = 𝐾 1+ 𝐾 𝑃 𝑜 −1 exp⁡(−𝑟𝑡) 𝑑𝑃 𝑑𝑡 =𝑟 1− 𝑃 𝐾 𝑃 r é a taxa de crescimento em % no início do processo. Onde fica o ponto onde o crescimento da população começa a desacelerar? (usar a eq. Diferencial para facilitar O cálculo). Ou olhar no gráfico. Como fica a função quando K >> Po (K >> 1) ? (capacidade muito grande, indo para infinito)? 𝑃 𝑡 = 𝑃 𝑜 𝑒 𝑟𝑡

Exemplos de saturação de crescimento que inicialmente foi exponencial Crescimento do turismo internacional em bilhões US$ (corrigidos para valores de 2005) http://stats.areppim.com/stats/stats_itr.htm

Modelo teórico pode fazer predições a partir de dados experimentais Obter a maior quantidade de dados experimentais possível. Fazer ajuste da curva para obter os parâmetros do modelo. No caso da função logística, encontrar os parâmetros K e Po que façam a curva teórica passar o mais próximo possível do todos os pontos experimentais. Obtidos os valores dos parâmetros do sistema, você pode usar a equação teórica para fazer inferências sobre o passado e sobre o futuro.

Valores encontrados para K e r usando um script no MATLAB para a população do Brasil Conforme os dados iniciais x0 e y abaixo.   BRASIL: x0=[ 1940 1950 1960 1970 1980 1991 2000 2010 2015]; y=[ 41 51 70 94 121 146 169 191 204];

Ajuste de Funções em pontos experimentais SQtot é proporcional à variância Coeficiente de determinação: R-Quadrado: Erro padrão do ajuste: SE = 𝑆𝑄 𝑡𝑜𝑡 𝑑𝑓 , onde df são degrees of freedom ou graus de liberdade

Dados Experimentais Ver excel sobre regressão. Dados Experimentais com curva De modelo teórico ajustada para fazer Extrapolacoes e inferências

Valores encontrados para K e alfa usando um script no MATLAB para a população da Cidade de São Paulo Conforme os dados iniciais x0 e y abaixo.   Cidade de SÃO PAULO: x0 = [1872 1890 1900 1920 1940 1950 1960 1970 1980 1991 2000 2007 2011 2015]; y = [31 65 239 579 1326 2199 3781 5924 8493 9646 10434 10896 11316 11967]

Importância de ter muitos graus de liberdade y = ax + b y = ax + b As retas azuis acima estão sendo ajustadas usando apenas 2 pontos experimentais. Dois pontos experimentais menos dois paramentros de ajuste, quer dizer zero graus de liberdade. O ajuste nao apresenta nenhum grau de confiança. Note que as vezes ele indica a tendência de queda com aumento de x, quando na verdade a tendência dos dados é de subida. A reta vermelha cobre três pontos experimentais, portanto fica com apenas 1 grau de liberdade. Pouco confiável. Acima temos 10 pontos experimentais, com dois parâmetros de ajuste no modelo: parâmetros a e b Para cada parâmetro de ajuste da função perdemos 1 grau de liberdade. Assim na reta ajustada à esquerda temos 8 graus de liberdade

Usar um modelo “as simple as possible but not simpler” (nas palavras de A. Einstein) . Ajuste de uma reta (2 parâmetros ajustados) 10 – 2 = 8 graus de liberdade Melhor ajuste de um polinômio de grau 5 (6 parâmetros) 10 – 6 = 4 graus de liberdade Note que o R2 aqui é bem melhor que no caso da reta.

Princípio da navalha de Occam: Um modelo experimental com o pequeno número de variáveis que explique o fenômeno é normalmente mais estável e confiável que um modelo mais complexo para o mesmo fim* . Os modelos abaixo foram construídos usando pontos experimentais entre 1 e 10. Estamos utilizando os respectivos modelos para extrapolar e inferir sobre o comportamento do sistema entre 0 e 1 e também entre 10 e 11. Vejamos os resultados. Ajuste adequado Overfitting: excesso de parâmetros *Explicações e teorias muito mais complicadas que o necessário muito frequentemente estão erradas ou são “teorias de conspiracao”.

Tarefa: Ajuste de Função Logística – Para nota do testinho Vamos utilizar a função logística para prever a população em anos futuros a partir do conhecimento da série histórica das populações. Usar dados da wikipedia. Escolher 2 cidades ou países e determinar: Usar modelo logístico para prever a população para 2050. Usar a incerteza para escrever a previsão da população com um número compatível de algarismos significativos Determinar a capacidade prevista K para os dois locais estudados Determinar o ano em que o aumento da população é máximo Discutir para cada uma das duas cidades e/ou países a adequação do modelo utilizado e se o local está ainda no início do crescimento (parte exponencial do crescimento) onde a fica difícil prever K de forma adequada. Para permitir escrever o eixo do tempo (anos) com ano inicial diferente de zero, por exemplo 1880, vamos escrever a formula já subtraindo o ano inicial, por exemplo to = 1880. Esse ano inicial é aquele que usamos para a população inicial Po Adaptar o arquivo Exemplo-AjusteNaoLinear-Rodrigo.xls para fazer esse ajuste. Um passo-a-passo está no artigo “RegressionUsingExcel.pdf” de Angus Brown (no stoa) y = K/(1- (1-K/Po)*exp(r*(t-to) ))

Objetivos Específicos da tarefa Fazer tarefa em Grupos de 1 a 4 alunos. Submeter o trabalho exclusivamente através do STOA Enviar planilha do excel com cálculos e arquivo com respostas e discussão em pdf criado no word ou outro editor de textos , Alem dos resultados o email deve explicitar os membros do grupo quem fez o que entre os membros do grupo. Cada aluno do grupo (caso seja feito em grupo) deve submeter no STOA a sua cópia do trabalho ou ficará sem nota.