Cálculo combinatório

Princípios da contagem Os elementos de um conjunto finito podem ser agrupados de várias formas, de acordo com os critérios utilizados na formação dos agrupamentos. O objetivo do cálculo combinatório é determinar de quantas maneiras diferentes podem ser formados os vários tipos de agrupamentos. Os processos de contagem se baseiam em dois princípios fundamentais, que passaremos a estudar agora.

Princípios fundamental da contagem Princípio aditivo da contagem; Princípio multiplicativo da contagem.

Princípio aditivo da contagem Vamos considerar o seguinte problema Suponhamos que para se deslocar de casa até o trabalho, uma pessoa tenha as seguintes alternativas: Um de seus dois automóveis (A1 e A2); Uma das três linhas de ônibus que fazem o trajeto (O1, O2 e O3); O metrô (M).

Princípio aditivo da contagem De quantas maneiras diferentes ela poderia escolher o seu transporte? hipóteses: Automóvel ou Ônibus ou Metrô opções: A1 A2 O1 O2 O3 M 2 opções 3 opções 1 opção Portanto, a pessoa pode ir para o trabalho de: 2 + 3 + 1 = 6 maneiras diferentes

Princípio aditivo da contagem Suponhamos que existam duas hipóteses para ocorrer um evento. Se houver m opções para a primeira hipótese e n opções para a segunda hipótese, o evento pode ocorrer de m + n maneiras diferentes. Esse princípio se estende para o caso de três ou mais hipóteses.

Princípio multiplicativo da contagem Vamos considerar o seguinte problema Suponhamos que um estudante pretenda escolher um conjunto tênis – calça - camiseta para ir à escola e que ele tenha como alternativas, Dois pares de tênis (T1 e T2); Quatro calças jeans (J1, J2, J3 e J4); Três camisetas (C1, C2 e C3).

Princípio multiplicativo da contagem De quantas maneiras diferentes ela poderia fazer sua escolha? Etapas: Tênis e Jeans e camiseta opções: T1 T2 J1 J2 J3 J4 C1 C2 C3 2 opções 4 opções 3 opções Portanto, a pessoa pode fazer sua escolha de: 2 . 4 . 3 = 24 maneiras diferentes

Árvores de possibilidades 1ª etapa: escolha do tênis 2ª etapa: escolha do jeans 3ª etapa: escolha da camiseta Resultado C1 T1J1C1 C2 T1J1C2 J1 C3 T1J1C3 C1 T1J2C1 J2 C2 T1J2C2 C3 T1J2C3 T1 C1 T1J3C1 J3 C2 T1J3C2 C3 T1J3C3 C1 T1J4C1 C2 T1J4C2 J4 C3 T1J4C3

Árvores de possibilidades 1ª etapa: escolha do tênis 2ª etapa: escolha do jeans 3ª etapa: escolha da camiseta Resultado C1 T2J1C1 C2 T2J1C2 J1 C3 T2J1C3 C1 T2J2C1 J2 C2 T2J2C2 C3 T2J2C3 T2 C1 T2J3C1 J3 C2 T1J3C2 C3 T2J3C3 C1 T2J4C1 C2 T2J4C2 J4 C3 T2J4C3

Princípio multiplicativo da contagem Suponhamos que um evento se componha de duas etapas independentes. Se a primeira etapa pode ocorrer de m maneiras e a segunda etapa, de n maneiras, então, o evento pode ocorrer de m . n maneiras diferentes. Esse princípio se estende para o caso de três ou mais etapas.

Princípios da contagem Os princípios aditivo e multiplicativo são a base para resolução de problemas de cálculo combinatório. Por isso, deve ficar muito clara a distinção entre os dois princípios. A conjunção ou liga duas hipóteses e está associado à adição. A conjunção e liga duas etapas e está associado à multiplicação.

escolha do refrigerante Exemplos A cantina do meu colégio vende 4 tipos de salgados e 5 marcas de refrigerante. De quantas formas distintas posso escolher meu lanche (um salgado e um refrigerante)? O evento se compõe de duas etapas: 1ª etapa 2ª etapa escolha do salgado e escolha do refrigerante 4 opções 5 opções Pelo, P.M.C., temos 4 . 5 = 20 maneiras diferentes

Exemplos Uma igreja tem 4 portas. Quando vai lá, Marisa sempre entra por uma porta e sai por outra. De quantas formas diferentes ela pode fazer isso? O evento se compõe de duas etapas: 1ª etapa 2ª etapa entrada e saída 4 opções 3 opções Pelo, P.M.C., temos 4 . 3 = 12 maneiras diferentes

Exemplos Valéria mora num país muito desenvolvido. Há várias estradas que ligam sua cidade A a duas cidades vizinhas B e C. Valéria vai muito à cidade B. Às vezes sem passar por C; outras vezes, passando primeiro por C. Quantos trajetos diferentes ela pode fazer? A B C

Exemplos Valéria mora num país muito desenvolvido. Há várias estradas que ligam sua cidade A a duas cidades vizinhas B e C. Valéria vai muito à cidade B. Às vezes sem passar por C; outras vezes, passando primeiro por C. Quantos trajetos diferentes ela pode fazer? O evento se compõe de duas hipóteses: 1ª hipótese 2ª hipótese A → C A → B 3 trajetos ou e 2 . 3 = 6 2 trajetos 4 trajetos C → B Valéria poderá fazer 4 + 6 = 10 trajetos diferentes.

Exemplos Utilizando apenas os algarismos 1, 3, 4, 6, 7, 8 e 9, quantos números podem ser formados, de 3 ou 4 algarismos? O evento se compõe de duas hipóteses: 1ª hipótese 2ª hipótese 3 algarismos ou 4 algarismos 3 etapas 4 etapas

Exemplos Utilizando apenas os algarismos 1, 3, 4, 6, 7, 8 e 9, quantos números podem ser formados, de 3 ou 4 algarismos? Números de 3 algarismos: 1ª etapa 2ª etapa 3ª etapa 1º alg. 2º alg. 3º alg. 7 opções 7 opções 7 opções Pelo, P.M.C., são 7.7.7 = 343 números de 3 algarismos

Exemplos Utilizando apenas os algarismos 1, 3, 4, 6, 7, 8 e 9, quantos números podem ser formados, de 3 ou 4 algarismos? Números de 4 algarismos: 1ª etapa 2ª etapa 3ª etapa 4ª etapa 1º alg. 2º alg. 3º alg. 4º alg. 7 opções 7 opções 7 opções 7 opções Pelo, P.M.C., são 7.7.7.7 = 2 401 números de 4 algarismos Podemos formar = 343 + 2 401 = 2 744 números

Exemplos Utilizando apenas os algarismos 1, 2, 4, 5, 7, e 9, quantos números naturais maiores que 7 000 e de 4 algarismos distintos podemos formar? O evento se compõe de quatro etapas: 1ª etapa 2ª etapa 3ª etapa 4ª etapa 1º alg. 2º alg. 3º alg. 4º alg. 2 opções 5 opções 4 opções 3 opções Pelo, P.M.C., temos 2.5.4.3 = 120 números

Observação Quando trabalhamos com os elementos de um conjunto, o princípio multiplicativo só é válido quando for importante a ordem de escolha dos elementos.

Exemplo A partir de um grupo de 4 pessoas (A, B, C e D), de quantas maneiras diferentes podemos formar uma comissão de 2 pessoas? O evento se compõe de duas etapas: 1ª etapa 2ª etapa escolha do 1º membro escolha do 2º membro 4 opções 3 opções Pelo, P.M.C., temos 4.3 = 12 comissões (incorreto)

Exemplo A partir de um grupo de 4 pessoas (A, B, C e D), de quantas maneiras diferentes podemos formar uma comissão de 2 pessoas? Veja as hipóteses reais (A, B) 1ª comissão (C, A) igual à 2ª (A, C) 2ª comissão (C, B) igual à 4ª (A, D) 3ª comissão (C, D) 6ª comissão (B, A) igual à 1ª (D, A) igual à 3ª (B, C) 4ª comissão (D, B) igual à 5ª (B, D) 5ª comissão (D, C) igual à 6ª Na verdade, a comissão pode ser formada de 6 maneiras diferentes.