Energia Potencial e Conservação da Energia Prof. Hebert Monteiro

Introdução Imagine que você precisa realizar o trabalho de erguer uma pedra pesada acima de sua cabeça. Parece razoável pensar que elevando essa pedra ao ar você está armazenando energia no sistema, energia que será mais tarde convertida em energia cinética quando a pedra cair. Esse exemplo aponta para a idéia que deve existir uma energia associada a posição dos corpos em um sistema. Esse tipo de energia fornece o potencial ou a possibilidade de realização de um trabalho sobre a pedra, que só será realizado quando a pedra for libertada. Por esse motivo a energia associada com a posição do objeto no sistema é chamada de ENERGIA POTENCIAL. A discussão sobre o assunto sugere que exista uma energia associada ao peso do objeto e com sua altura acima do solo. Chamamos essa energia de ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL.

Definindo equações Considere um corpo de massa m que se move ao longo do eixo Y. As forças que atuam sobre ele são seu peso (ou força gravitacional) e possivelmente outras forças como a resistência do ar por exemplo que chamaremos de Foutra.

Como podemos ver na figura anterior, o corpo realiza uma queda de uma altura Y1 acima da origem até uma altura menor Y2 (mais próxima do solo). O peso e o deslocamento possuem o mesmo sentido, ou seja, o trabalho que nesse caso é chamado de Wgrav realizado sobre o corpo é positivo de modo que: Wgrav = F.d = (m . g) . d → Wgrav = (m . g) . (y1 – y2) → Wgrav = mgy1 – mgy2

Wgrav = Ugrav,1 – Ugrav,2 → - (Ugrav,2 – Ugrav,1) = - ΔUgrav A equação anterior nos mostra que o Wgrav varia de acordo com a posição do objeto na queda. Essa grandeza, ou seja, o produto entre o peso (m.g) e a altura y, denomina-se energia potencial gravitacional. Ugrav = m.g.y Ugrav1 = m.g.y1 Ugrav2 = m.g.y2 Seu valor inicial Seu valor final Se: Wgrav = Ugrav,1 – Ugrav,2 → - (Ugrav,2 – Ugrav,1) = - ΔUgrav Wgrav = - ΔUgrav

Conservação da Energia Mecânica (somente forças gravitacionais) Imaginem um objeto movendo-se na vertical de cima para baixo ou de baixo para cima. A única força atuante sobre ele é a da gravidade. Sendo assim o objeto possui velocidade v1 quando está na posição y1 e velocidade v2 quando encontra-se na posição y2. O teorema do trabalho-energia visto até então diz o seguinte: Wtot = ΔK = k2 – k1 Como a gravidade é a única força que atua sobre o corpo, de acordo com a equação anterior: Wtot = Wgrav = - ΔUgrav ΔK = - ΔUgrav

Que pode ser escrito como: K1 + Ugrav,1 = K2 + Ugrav,2 (Se somente a gravidade realiza trabalho) Se chamarmos a soma da energia cinética (k) com a potencial (U) de E (energia total do sistema), temos que: E1 = k1 + Ugrav,1 e E2 = k2 + Ugrav, 2 E1 = E2 (a energia total do sistema é a mesma em qualquer posição) E = K + Ugrav O que define e lei da conservação da energia mecânica, que diz: A energia total de um sistema é constante, ou seja, a mesma, em qualquer parte do movimento, variando apenas suas componentes Cinética e Potencial.

Exercícios 01) Você arremessa uma bola de beisebol de 0,145 kg verticalmente de baixo para cima, fornecendo-lhe uma velocidade inicial de módulo igual a 20,0 m/s. Usando a conservação da energia, calcule a altura máxima que ela atinge, supondo que a resistência do ar seja desprezível.

2) Certo dia uma escaladora de montanhas de 75 kg sobe do nível de 1500 m de um rochedo vertical até o topo a 2400 m. No dia seguinte, ela desce do topo até a base do rochedo, que está a uma elevação de 1350m. Qual é a variação da energia potencial gravitacional dela: a) no primeiro dia; b) no segundo dia?

Quando outras forças, além da gravidade, realizam trabalho Se outras forças além do peso atuam sobre o corpo, então Foutra não é igual a zero. Nesse caso o trabalho exercido pela força da gravidade continua o mesmo, más o trabalho total (Wtot) é dado agora pela soma de Wgrav com o trabalho realizado pela Foutra. Wtot = Wgrav + Woutra Wgrav + Woutra = K2 – K1 Ugrav,1 – Ugrav,2 + Woutra = K2 – K1 K1 + Ugrav,1 + Woutra = K2 + Ugrav,2

Energia Potencial gravitacional para movimentos ao longo de uma trajetória curva. Quando a trajetória é curva, também atuam sobre o corpo a força gravitacional p = m.g e possivelmente também outras forças que possuem uma resultante chamada Foutra. Sendo assim, concluímos que podemos utilizar as mesmas expressões para energia potencial gravitacional tanto para uma trajetória retilínea quanto para uma trajetória curva, ou seja, o trabalho realizado pela força gravitacional depende somente da diferença de altura entre os dois pontos da trajetória.

Exercício 1) Seu primo Tobias pratica Skate deslocando-se para baixo de uma rampa circular em um playground. Se considerarmos Tobias e seu skate como uma partícula, seu centro se move ao longo de um quarto de círculo de raio R = 3,00 m. A massa total de Tobias e seu skate é igual a 25,0 kg. Ele parte do repouso e não existe nenhum atrito. a) Calcule sua velocidade na parte inferior da rampa.

Resolução

Um círculo vertical com atrito. 2) Imaginemos o exercício anterior, porem, considerando a existência de uma força de atrito f que realiza trabalho. Nesse caso, o trabalho não gravitacional realizado sobre Tobias entre os pontos 1 e 2, Woutra, é diferente de zero. Considere a velocidade de Tobias na base da rampa sendo 6 m/s. Encontre o trabalho realizado pela força de atrito.

Um plano inclinado com atrito 3) Uma caixa de 12 kg está em repouso sobre o solo. Desejamos levá-la até um caminhão fazendo-a deslizar 2,5 m sobre uma rampa inclinada 30º. Um trabalhador, ignorando o atrito, calculou que ele poderia fazer a caixa chegar ao topo da rampa lançando-a com uma velocidade inicial de 5,0 m/s na base da rampa. Porém, o atrito não é desprezível; a caixa desliza 1,6 m subindo a rampa, pára e desliza retornando para baixo. a) Supondo que a força de atrito seja constante, calcule o seu módulo. b) Qual a velocidade da caixa quando ela atinge a base da rampa?

Resolução

Energia Potencial Elástica Há muitas situações em que encontramos energia potencial de natureza diferente da gravitacional. Um exemplo é o estilingue com tiras de borracha. A força que estica as tiras de borracha realiza trabalho sobre elas, armazenando-o nas tiras esticadas até o momento em que você a solta. A seguir, a tira de borracha fornece energia cinética para a pedra. Dizemos que um corpo é elástico quando ele volta a ter a mesma forma e o mesmo tamanho que possuía antes da deformação. Para sermos específicos consideraremos o processo de energia em molas ideais, como aquelas que foram discutidas no bimestre passado.

No bimestre passado que o trabalho realizado sobre a mola para mover sua extremidade desde uma posição inicial x1 até uma posição final x2 é dado por: W = 1 Kx22 - 1 Kx12 (Trabalho realizado sobre a mola) 2 2 De acordo com o a Terceira Lei de Newton, o trabalho realizado pela mola será igual e de sinal contrário ao outro. Portanto: Wel = - 1 Kx22 - 1 Kx12  Wel = 1 Kx12 - 1 Kx22 (Trabalho realizado pe- 2 2 2 2 la mola).

Como no caso do trabalho gravitacional, podemos representar o trabalho realizado pela mola em termos de uma quantidade do início e no fim do deslocamento. Essa quantidade é a energia potencial elástica dada por: Uel = 1 Kx (Energia Potencial Elástica) 2 Sendo assim: Wel = 1 Kx12 - 1 Kx22 = Uel1 – Uel2 = - ΔUel 2 2 Wel = Uel1 – Uel2

O teorema do Trabalho-Energia afirma que: Wtot = K2 – K1, se Wtot = Wel, então: Wtot = Wel = Uel1 – Uel2, logo: K2 – K1 = Uel1 – Uel2 K1 + Uel1 = K2 + Uel2 Então: 1 mv12 + 1 kx12 = 1 mv22 + 1 kx22 (Somente força elástica realiza trabalho) 2 2 2 2

Exercícios 1) Um objeto com massa m = 0,200 Kg está em repouso sobre um trilho de ar sem atrito, ligado a uma mola cuja constante é dada por K = 5,0 N/m. Você puxa o objeto fazendo a mola se alongar 0,100 m e a seguir o liberta sem velocidade inicial. O objeto começa a se mover retornando para sua posição inicial (x = 0 m). Qual é o valor da velocidade do objeto no ponto x = 0,080 m?

2) Uma força de 800 N estica uma mola até uma distância de 0,200 m 2) Uma força de 800 N estica uma mola até uma distância de 0,200 m. a) Qual é a energia potencial da mola quando ela está esticada a 0,200m ? b) Qual é a energia potencial da mola quando ela está comprimida 5,0 cm?

Movimento com Energia Potencial Elástica e Trabalho Realizado por outras Forças Analogamente ao que foi visto em outra ocasião, quando temos uma outra força atuando em um sistema mecânico, além, da força elástica, o trabalho realizado é chamado de Woutra e compõe a expressão da seguinte forma: K1 + Uel1 + Woutra = K2 + Uel2

Exercícios 1) Utilizando as informações do exercício anterior, suponha que o objeto esteja em repouso na posição inicial x = 0, quando a mola ainda não está deformada. Aplicamos então sobre o objeto uma força F constante no sentido +x com módulo igual a 0,610 N. Qual é a velocidade do cavaleiro no ponto x = 0,100 m?

Movimento com forças Gravitacional, Elástica e de Atrito Em algumas situações como a que será estudada adiante, poderemos ter Força Gravitacional, Força Elástica e Força de Atrito atuando sobre o mesmo sistema mecânico. Como o princípio da conservação da energia é sempre verdadeiro, utilizaremos o mesmo para analisar a situação, onde: K1 + U1 = K2 + U2 K1 + Ugrav1 + Uel1 = K2 + Ugrav2 + Uel2 K1 + Ugrav1 + Uel1 + Woutra = K2 + Ugrav2 + Uel2

Exercício 1) Em um projeto com um cenário para calcular o “pior caso”, um elevador de 2000 kg com o cabo quebrado cai a 4,0 m/s sobre a mola de amortecimento no fundo do poço. A mola é projetada para fazer o elevador parar quando ela sofre uma compressão de 2,0 m. Durante o movimento, uma braçadeira de segurança exerce sobre o elevador uma força de atrito constante igual a 17000 N. Como consultor do projeto, você foi solicitado a calcular a constante de mola que deveria ser usada.

Resolução