Determinantes Propriedades dos determinantes Matriz Transposta O determinante de uma matriz A é igual ao de sua transposta At Exemplo: A = det A = det At det A = 9 At = det At = 9

Determinantes Propriedades dos determinantes Matriz triangular É aquela cujos os elementos situados “de um mesmo lado” da diagonal principal são iguais a zero. Seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal Exemplo: A = det A = a11 . a22 . a33

Determinantes Propriedades dos determinantes Matriz de Vandermonde (ou das potências) São aquelas onde as colunas de uma matriz M, de ordem n, sã formadas por potências de mesma base, cm expoente inteiro, variando desde 0 até n -1 (os elementos de cada coluna formam uma progressão geométrica cujo primeiro elemento é 1. Exemplo: Elementos característicos da matriz A = det A = (4-3).(4-2).(3-2) = 2

Determinantes Propriedades dos determinantes Troca de filas paralelas Se B é uma matriz que se obtém de uma matriz quadrada A, quando trocamos entre si a posição de duas filas paralelas, então Exemplo: A = det B = - det A det A = 9 B = det B = - 9

Determinantes Propriedades dos determinantes Filas paralelas iguais Se uma matriz A possui duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) Formadas por elementos respectivamente iguais, então det A = 0 Exemplo: A = det A = 0

Determinantes Propriedades dos determinantes Multiplicação de uma fila por uma constante Se B é uma matriz que obtemos de uma matriz quadrada A, quando multiplicamos uma de suas filas( linha ou coluna) por uma constante k, Então: det B = k.det A Exemplo: A = B= det B = 3.det A det A = 9 det B = 27

Determinantes Propriedades dos determinantes Multiplicação de uma fila por uma constante Exemplo: det B = kn.det A A = det A = 9 B= det B = 243 det B = 3.3.3.det A = det B = 33.det A

Determinantes Propriedades dos determinantes Fila Nula Exemplo: Se os elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) de uma matriz M de ordem n forem todos nulos, então det M = 0 Exemplo: det A = 0 A =

Determinantes Propriedades dos determinantes Adição de determinantes Se A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, tais que os elementos correspondentes de A, B e C são iguais entre si, exceto os de uma fila, em que os elementos de C são iguais às somas dos seus elementos correspondentes de A e B, então: det A + det B = det C Exemplo: A = B= C=

Determinantes Propriedades dos determinantes Teorema de Jacobi O determinante não se altera quando adicionamos uma fila qualquer com outra fila paralela multiplicada por um número. Exemplo: det A = det B A = B=

Determinantes Propriedades dos determinantes Teorema de Binet Sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem, então: det (A · B) = det A · det B. det (A.B) = det A.det B Exemplo: A = B= det (A.B) = 9 . 27 = 243 det A = 9 det B = 27

Determinantes Propriedades dos determinantes Teorema de Binet Conseqüências: det (An) = (det A)n det (A-1) = 1 det A Só existe matriz inversa se det A ≠ 0

Determinantes Propriedades dos determinantes Teorema da combinação linear Se uma matriz quadrada M, de ordem n, tem uma linha (ou coluna) Que é combinação linear de outras linhas (ou colunas), então: det (M) = 0 Exemplo: A = 3º coluna = 1. 1ºcoluna + 1 . 2º coluna 5 = 1. 2 + 1 . 3