Introdução a Computação e Cálculo Numérico Rodrigo Cristiano Silva rodrigo@facens.br

Introdução a Computação e Cálculo Numérico Agenda Interpolação Forma de Lagrange Introdução à Integração Numérica Regra dos Trapézios Regra dos Trapézios Repetida Exercícios Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Introdução a Computação e Cálculo Numérico Interpolação “Consiste em determinar, de forma aproximada, uma função que descreve o comportamento de outra função que não se conhece, mas que tem valores tabelados do tipo (x, f(x)).” Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Introdução a Computação e Cálculo Numérico Casos de uso Quando são conhecidos somente os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado; Quando a função em estudo tem uma expressão tal que operações como a diferenciação e a integração são difíceis (ou mesmo impossíveis) de serem realizadas. Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Interpolação Polinomial Através dos pontos: (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ..., (xn, f(xn)) (n+1 pontos) Deseja-se aproximar f(x) por um polinômio p(x) de grau menor ou igual a n, tal que: f(xi) = pn(xi) i = 0, 1, 2, ..., n Onde: pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Interpolação Polinomial Podemos concluir que a interpolação polinomial consiste em obter um polinômio p(x) que passe por todos os pontos do conjunto n+1 de dados {xi,f(xi)} Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Interpolação Polinomial Considere o conjunto de dados {xi,f(xi)} Como obter o valor de f(x) para um determinado valor de x que não foi medido A função f(x) não é conhecida xi 1,5 3,0 4,5 6,0 f(xi) 0,001 0,016 0,028 0,046 0,057 Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Interpolação Polinomial Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Qual método foi escolhido? “É possível escolhermos funções da forma polinomial, trigonométrica, exponencial, logarítmica ou racional para interpolar a função desconhecida, porém, estudamos apenas um dos métodos de interpolação polinomial: Lagrange.” Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Introdução a Computação e Cálculo Numérico Forma de Lagrange Considere o conjunto de n+1 dados {xi,f(xi)} Deseja-se obter o polinômio pn(x) de grau menor ou igual a n, que interpola f(x) em x0, x1, x2, ..., xn Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Introdução a Computação e Cálculo Numérico Forma de Lagrange Podemos representar pn(x) como: Onde os polinômios Lk(x) são de grau n Para cada i a condição pn(xi) = f(xi) deve ser satisfeita Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Introdução a Computação e Cálculo Numérico Forma de Lagrange Para satisfazer a condição imposta, devemos considerar: Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Introdução a Computação e Cálculo Numérico Forma de Lagrange Portanto, vamos provar a condição imposta: e Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Introdução a Computação e Cálculo Numérico Forma de Lagrange A forma de Lagrange para o polinômio interpolador é: onde Li(x) é igual a: Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Forma de Lagrange Exemplo Ajustar uma reta aos seguintes pontos: Passo 1 X 2 4 f(x) 3,1 5,6 Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Forma de Lagrange Exemplo Passo 2 – Li(x) devem satisfazer as condições L0(x0) = 1 L1(x0) = 0 L0(x1) = 0 L1(x1) = 1 Passo 3 – Montar os Li(x), conforme: Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Forma de Lagrange Exemplo Passo 3 (continuação)... Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Forma de Lagrange Exemplo Passo 4 Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Estudo do Erro na Interpolação (Teorema 2) Ao se aproximar uma função f(x) por um polinômio interpolador de grau ≤ n, comete-se um erro: Erro absoluto: En(x) = f(x) – pn(x), para todo x no intervalo [x0, xn] Estudar o erro é importante para sabermos quão próximo f(x) está de pn(x) Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Estudo do Erro na Interpolação (Teorema 2) Sejam x0 < x1 < x2 < ... < xn (n+1 pontos) Seja f(x) com derivadas até a ordem n+1 para todo x pertencente ao intervalo [x0, xn] Seja pn(x) o polinômio interpolador de f(x) nos pontos x0, x1, ..., xn Então, em qualquer ponto x pertencente ao intervalo [x0, xn], o erro é dado por: Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Introdução a Computação e Cálculo Numérico Limitante para o Erro A fórmula para o erro mostrada anteriormente tem seu uso limitado na prática, pois são raras as situações que conhecemos f(n+1)(x) e o ponto x nunca é conhecido; Agora estudaremos 2 corolários do estudo do erro na Interpolação, que relacionam o erro com um limitante de f(n+1)(x). Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Limitante para o Erro Corolário 1 Baseados no que foi dito anteriormente, se f(n)(x) for contínua em I=[x0,xn], podemos escrever a relação: Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Limitante para o Erro Corolário 2 Se além das hipóteses anteriores os pontos forem igualmente espaçados, ou seja: x1 - x0 = x2 – x1 = ... = xn – xn-1 = h, Então: Observe que o majorante acima independe do ponto x considerando, x  [x0, xn] Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Forma de Lagrange Exercícios 1. Interpolar o ponto x = 1,5 na tabela abaixo, empregando o polinômio interpolador de Lagrange x -1 1 2 f(x) 3 Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Forma de Lagrange Exercícios A tabela seguinte relaciona a velocidade de queda de um pára-quedista em função do tempo. Determine a velocidade de queda do pára-quedista ao fim de 10s usando polinômio interpolador de Lagrange de grau menor igual a 3 Tempo(s) 1 3 5 7 13 Vel(cm/s) 800 1310 2090 2340 3180 Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Forma de Lagrange Exercícios Dada a tabela da função f(x) = ln(x), calcule uma aproximação para o valor f(12,3), usando a interpolação parabólica baseada no método de Lagrange. x 11 12 13 14 15 f(x) 2,397895 2,484907 2,564949 2,639057 2,708050 Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Introdução a Computação e Cálculo Numérico Integração Numérica A determinação da integral de uma função f(x) nem sempre é uma tarefa fácil, ou possível analiticamente; Em muitas situações práticas nem sempre temos a forma analítica da função a ser integrada; A idéia básica da integração numérica é a substituição da função f(x) por um polinômio que a aproxime razoavelmente em um intervalo [a, b]. Assim o problema é resolvido pela integração de polinômios, o que é trivial de se fazer. Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Introdução a Computação e Cálculo Numérico Regra dos Trapézios Graficamente Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Introdução a Computação e Cálculo Numérico Regra dos Trapézios Usando a forma de Lagrange para expressar o polinômio p1(x) que interpola f(x) em x0 e x1 temos: Assim temos: Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Erro na Regra dos Trapézios Da interpolação polinomial sabemos que Portanto, o erro na integração pela regra dos trapézios é dado por Utilizando o Teorema do Valor Médio para Integrais temos Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Regra dos Trapézios Repetida Graficamente Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Regra dos Trapézios Repetida Como podemos ver, tanto graficamente quanto pela expressão do erro, se o intervalo de integração é grande, a fórmula dos trapézios nos fornece resultados que pouco têm a ver com o valor da integral exata. O que podemos fazer neste caso é uma subdivisão do intervalo de integração e aplicar a regra dos trapézios repetidas vezes. Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Regra dos Trapézios Repetida Chamando xi os pontos de subdivisão de [a, b], tais que xi+1 – xi = h, i = 0, 1, ..., m-1 teremos: Desenvolvendo a somatória chegamos a seguinte expressão: Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Erro na Regra dos Trapézios Repetida O erro na Regra dos Trapézios Repetida será a somatória dos erros em cada trapézio: Utilizando novamente o Teorema do Valor Médio temos: Sendo f’’(x) contínua em [a, b] então existe M2 = máx |f’’(x)|. Assim Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Regra dos Trapézios Repetida Exemplo Seja Calcule uma aproximação para I usando 10 subintervalos e a Regra dos Trapézios Repetida. Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Introdução a Computação e Cálculo Numérico Exercícios Calcule as integrais a seguir pela Regra dos Trapézios usando quatro e seis divisões de [a, b]. Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Introdução a Computação e Cálculo Numérico Exercícios Usando as integrais do exercício anterior, quantas divisões do intervalo serão necessárias para obter erros menores que 10-5? Introdução a Computação e Cálculo Numérico