Introdução aos Sistemas Dinâmicos Exercícios Resolvidos de EDO Ensino Superior Introdução aos Sistemas Dinâmicos Exercícios Resolvidos de EDO Modelos Matemáticos Amintas Paiva Afonso

1. Com base nas hipóteses do modelo da equação dP/dt = kP, determine uma equação diferencial que descreve a população, P(t), de um país, quando se permite uma imigração de taxa constante r. Solução: Seja: P(t): população do país no tempo t (t em anos) dP/dt: rapidez de troca da população k: constante de proporcionalidade r: população que ingressa no país anualmente de forma constante Na hipótese de que a razão da troca da população em qualquer instante t é proporcional à quantidade da população presente neste instante, a equação diferencial associada à este fenômeno é dP/dt = kP + r

2. Um medicamento é injetado na corrente sanguínea de um paciente a um fluxo constante de r g/s. Ao mesmo tempo, esse medicamento desaparece com uma razão proporcional à quantidade x(t) presente em qualquer instante t. Formule uma equação diferencial que descreva a quantidade x(t). Seja: x(t): quantidade de medicamento, em g/s, na corrente sanguínea no tempo t (t em segundos) r: quantidade constante de medicamento que ingressa na corrente sanguínea do paciente continuamente dx/dt: rapidez com que varía a quantidade de medicamento na corrente sanguínea do paciente k: constante de proporcionalidade, k > 0 Supondo que a quantidade de medicamento diminui proporcionalmente à quantidade presente a qualquer instante de tempo t, a ED que descreve esta situação é dx/dt = -kx + r

dA/dt = 0 – A/100 lib/min  dA/dt = - A/100 lib/min 3. Suponha que um tanque grande de misturas contenha 300 galões de água a princípio, nele dissolveram 50 libras de sal. No tanque entra água pura com fluxo de 3 gal/min e, com o tanque bem agitado, tendo uma vazão com o mesmo fluxo. Deduza uma equação diferencial que expresse a quantidade A(t) que há no interior do tanque quando o tempo é t. Seja: A(t): quantidade de sal presente no tanque no tempo t (t em segundos) dA/dt: rapidez da troca da quantidade de sal no tanque R1: rapidez com que entra o sal no tanque R2: rapidez com que o sal sai do tanque De tal forma que: dA/dt = R1 – R2 (1) Temos que: R1 = 0: não está entrando sal no tanque (entra água pura) (2) R2 = (3 gal/min)(A/300 lib/gal) = A/100 lib/min (3) dA/dt = 0 – A/100 lib/min  dA/dt = - A/100 lib/min

dV/dt = 100 dh/dt  dh/dt = 1/100 dV/dt (2) 4. Por um buraco circular de área A0, no fundo de um tanque, sai água. Devido à fricção e à contração próximo ao buraco, o fluxo de água, por segundo, se reduz a cA02gh, donde 0 < c < 1. Deduza uma equação diferencial que expresse a altura h da água em qualquer momento t, no tanque cúbico da figura. O raio do buraco é de 2 polg. e g = 32 pés/s2. buraco circular Aw h 10 Seja: V: volume do tanque Aw: base quadrada do tanque l = 10: aresta do cubo h: altura da água no tempo t De tal modo que: V = 100 h (1) Derivando, em relação ao tempo t, ambos os membros da equação (1), se acha a relação entre as razões de troca do volume e a altura do tanque. dV/dt = 100 dh/dt  dh/dt = 1/100 dV/dt (2)

Porém dV/dt = cA02gh = c(r2)2(32)h = c[(2 polg)2]64h, dV/dt = c[(1/6 pie)2]8h = c1/36 x 8h = 2/9c h (3) Substituindo (3) em (2), se obtem: dh/dt = 1/100 x 2/9 x c h  dh/dt = c/450 x h Como a altura está diminuindo quando a razão da troca é negativa. Assim: dh/dt = - c/450 x h

5. Na teoría da aprendizagem, se supõe que a rapidez com que se memoriza algum tema é proporcional a quantidade que continua a ser memorizado. Suponha que M representa a quantidade total de um tema que se deve memorizar e que A(t) é a quantidade memorizada em um tempo t qualquer. Deduza uma equação diferencial para determinar a quantidade A(t). Seja: A(t): quantidade de tema memorizado no tempo t. M: quantidade total do tema que se deve memorizar M – A(t): quantidade do tema que falta ser memorizado dA/dt: rapidez com que se memoriza k > 0: constante de proporcionalidade De tal modo que: dA/dt = k(M – A)