Intervalo de confiança Prof. Elisson de Andrade eapandra@uol.com.br

Relembrando onde paramos Quando falamos sobre ESTIMADORES, era dado um intervalo e calculávamos qual a probabilidade de a verdadeira média estar dentro dele.

Relembrando onde paramos Agora a questão se inverte Também vamos trabalhar com amostras e a questão é: calcular um INTERVALO que nos dê alguma % de confiança, de a média estar dentro dele Vamos melhorar essa compreensão, ao longo dos próximos slides...

Amostra POPULAÇÃO Parâmetros: μ e σ

Amostra POPULAÇÃO A partir dessa amostra vamos fazer inferências sobre a média da população μ Parâmetros: μ e σ

Intervalo de Confiança Com as amostras, podemos calcular o estimador de μ 𝑋 = 𝑥 𝑖 𝑛 Porém, agora faremos uma estimativa INTERVALAR

NOTA Estimativa Intervalar = Estimativa Pontual + − Margem de erro Estimativa Intervalar = 𝑋 + − Margem de erro

Intervalo de Confiança Nível de confiança representado pela letra grega Gama: 𝛾 Em geral, busca-se trabalhar com um nível de confiança entre 90% e 99% - mais comum é 𝛾 = 95% Outra forma de representá-lo: 𝛾=1−𝛼 Sendo que 𝛼 é o nível de significância – o “erro”

Interpretação Importante Se pegarmos uma amostra e definirmos um intervalo de confiança a 95%. Suponha que 𝑋 = 100 e intervalo 95 e 105. Não podemos dizer que existe 95% de chance de a verdadeira média estar entre 95 e 105 O que podemos dizer é que, ao repetirmos várias amostras de 𝑋 , 95% DOS INTERVALOS conteriam o valor de μ

Vamos para um exemplo

Fixe seu olhar num ponto da tabela e siga para baixou ou para a direita, 3 grupos de 5 números de 00 a 99 cada Agora, para cada grupo de 5 números, anote seu valor respectivo da tabela a seguir

Uma vez que anotou 3 grupos de 5 valores dentro deles, tire as médias de cada grupo Lembre-se: o objetivo é compreender o que significa INTERVALO DE CONFIANÇA de um conjunto de amostras

Intervalo de confiança para μ quando σ é conhecido Esse é o nosso caso. Anote o valor de σ = 948,31

Quando σ é conhecido Para desenvolver uma estimativa intervalar da média, vamos precisar do desvio padrão σ da população ou o amostral S Em muitas aplicações práticas, não temos σ Obs: quando se tem muitos dados históricos, é possível calcular o desvio padrão da população antes de fazer a amostra

Quando σ é conhecido 𝜎 𝑋 = 𝜎 𝑛 Já vimos em aulas passadas que: A distribuição de 𝑋 vai ter distribuição Normal se X tem distribuição normal, ou vai se aproximar de uma Normal quando n é grande 𝑋 é um estimador não-tendencioso de μ E que o desvio padrão de 𝑋 é: 𝜎 𝑋 = 𝜎 𝑛

Para o nosso exemplo 𝜎 𝑋 = 𝜎 𝑛 𝜎 𝑋 = 948,31 5 =424,097 𝜎 𝑋 = 𝜎 𝑛 𝜎 𝑋 = 948,31 5 =424,097 Guardemos esse valor...

Quando σ é conhecido Sesejamos, através de uma amostra, obter uma estimativa de μ Na verdade, queremos um indicador de PRECISÃO dessa estimativa Qual a variabilidade de 𝑋 ?

Formalização Matemática

Quando σ é conhecido 𝑍= 𝑋 −𝜇 𝜎 𝑋 𝑃 −𝑍 0 < 𝑋 −𝜇 𝜎 𝑋 < +𝑍 0 =𝐶 Para prosseguir, vamos trabalhar com a normal reduzida 𝑍= 𝑋 −𝜇 𝜎 𝑋 Qual a probabilidade (C) de Z estar entre 2 valores –Z0 e +Z0? Em termos matemáticos P(–Z0 < Z < +Z0) = C Substituindo: 𝑃 −𝑍 0 < 𝑋 −𝜇 𝜎 𝑋 < +𝑍 0 =𝐶

Quando σ é conhecido Continuando 𝑃 −𝑍 0 < 𝑋 −𝜇 𝜎 𝑋 < +𝑍 0 =𝐶 𝑃 −𝑍 0 < 𝑋 −𝜇 𝜎 𝑋 < +𝑍 0 =𝐶 Passando 𝜎 𝑋 multiplicando e 𝑋 subtraindo, temos: 𝑃 −𝑍 0 𝜎 𝑋 − 𝑋 <−𝜇< +𝑍 0 𝜎 𝑋 − 𝑋 =𝐶 Multiplicando todos os termos por -1, para μ ficar com sinal positivo: 𝑃 𝑍 0 𝜎 𝑋 + 𝑋 >𝜇> −𝑍 0 𝜎 𝑋 + 𝑋 =𝐶

Quando σ é conhecido Para facilitar, os livros preferem a expressão: 𝑃 𝑋 − 𝑍 0 𝜎 𝑋 <𝜇< 𝑋 + 𝑍 0 𝜎 𝑋 =𝐶 Vamos supor que desejamos uma probabilidade de 95% de μ estar nesse intervalo. Logo, na tabela, vemos que esse valor é Z = 1,96 Portanto, a expressão ficaria: 𝑃 𝑋 −1,96 𝜎 𝑋 <𝜇< 𝑋 +1,96 𝜎 𝑋 =0,95

No nosso Exemplo Substituindo o valor do desvio padrão de 𝑋 𝑃 𝑋 −1,96 . 424,097<𝜇< 𝑋 +1,96 . 424,097 =0,95 𝑃 𝑋 −831,23<𝜇< 𝑋 +831,23 =0,95

Quando σ é conhecido O que essa expressão significa? 𝑃 𝑋 −831,23<𝜇< 𝑋 +831,23 =0,95 Interpretação: Se considerarmos um grande número de amostras, os intervalos delimitado acima incluirão μ em 95% das amostras Veja que a interpretação NÃO deve ser feita para uma única amostra, de um único valor de 𝑋

Quando σ é conhecido Usando a expressão abaixo: 𝑃 𝑋 −831,23<𝜇< 𝑋 +831,23 =0,95 Calcule os intervalos, para cada uma de suas 3 amostras Agora vamos testar, sabendo que o valor do verdadeiro μ = 2473,72 A ideia é que 95% dos intervalos que calculamos tenham esse valor de μ dentro dele Vamos verificar isso com a classe POR FAVOR, GUARDEM ESSES VALORES CALCULADOS PARA A PRÓXIMA AULA

Conceitualmente: - CORRETO DIZER: 95% de probabilidade de o intervalo conter o μ - INCORRETO: 95% de probabilidade de o μ estar dentro do intervalo

Existe uma chance de 95% do meu intervalo calculado conter μ Eu sei o valor de μ Calculei um Intervalo

Qual a probabilidade de μ estar dentro do meu intervalo? 0% ou 100% Qual a probabilidade de μ estar dentro do meu intervalo? Eu sei o valor de μ Calculei um Intervalo

Matematicamente Estimação intervalar: 𝑃 𝑋 −831,23<𝜇< 𝑋 +831,23 =0,95 Interpretação: 95% dos intervalos construídos para cada 𝑋 conterão μ Em contraponto: 𝑃 15000<𝜇<25000 =0,95 → INCORRETO Pois 𝑃 15000<𝜇<25000 é igual a zero ou um, dado que μ é uma constante que pertence ou não ao intervalo

Exemplo Variável aleatória X com média desconhecida e σ = 25. Suponha que para estimar μ tomemos uma amostra simples de n=100 Logo, 𝜎 𝑋 = 𝜎 𝑛 =2,5 Substituindo na fórmula apresentada no slide anterior 𝑃 𝑋 −1,96 . 2,5<𝜇< 𝑋 +1,96 . 2,5 =0,95 𝑃 𝑋 −4,9<𝜇< 𝑋 +4,9 =0,95 Para um grande número de amostras, μ estará entre esse intervalo em 95% dos casos

Conclusões Preliminares Quando estimamos um intervalo de confiança para μ estamos fazendo uma estimativa por intervalo, que se opõe à estimativa por ponto (onde achamos apenas um valor de 𝑋 ) O tamanho do intervalo dá uma ideia de PRECISÃO da estimativa É certo que o próprio 𝜎 𝑋 já é por si uma medida de precisão de 𝑋 Porém, o valor de 𝜎 𝑋 em geral é desconhecido Para isso, precisamos estimar 𝜎 𝑋 através de 𝑆 𝑋

Intervalo de confiança para μ quando σ NÃO é conhecido

Quando σ é NÃO é conhecido Sabemos que o desvio padrão de uma amostra é: 𝑆= 𝑋 𝑖 − 𝑋 2 𝑛−1 Chamamos o denominador (n – 1) de GRAUS DE LIBERDADE Dá uma ideia de “quanta informação” estamos utilizando para estimar parâmetros populacionais desconhecidos Logo, a precisão de 𝑆 varia conforme o número de graus de liberdade À medida que n aumenta, aumenta o número de graus de liberdade, e a distribuição de 𝑆 tende a se concentrar em torno de σ

Quando σ é NÃO é conhecido Vimos também que a estimativa da variância de 𝑋 é dada por: 𝑆 𝑋 = 𝑆 𝑛 Como 𝑆 𝑋 depende diretamente de 𝑆, associamos a 𝑆 𝑋 o mesmo número de graus de liberdade Importante: quando σ é conhecido, se sabemos que 𝑍= 𝑋 −𝜇 𝜎 𝑋 tem distribuição normal reduzida Quando σ é desconhecido, teremos: 𝑡= 𝑋 −𝜇 𝑆 𝑋 em que a variável t possui distribuição t de Student, associada a n graus de liberdade

Quando σ é NÃO é conhecido Quando n é grande, a distribuição t é aproximadamente igual à distribuição normal reduzida. Ou seja, quando existe um número pequeno de graus de liberdade a distribuição t será bem diferente da distribuição normal Em geral, quando n>30 tende a distribuição t tende a ser próxima à distribuição da normal reduzida Z Temos uma Tabela (Hoffmann) que fornece valores críticos de t Distribuir aos alunos

Lembrando que α é o nível de significância, e representa o “erro” da estimativa

Exemplo de uso da Tabela Se desejamos saber o valor de t para 95% de confiança Lembrando: 𝛾=1−𝛼 Logo: 0,95=1−𝛼 𝛼=0,05 Pesquise o valor de t, para 𝛼=0,05 e 10 graus de liberdade Achamos um t = 2,228 Logo: P(t < -2,228) = P(t > 2,228) = 0,025 ou 2,5% Já P(-2,228 < t < 2,228) = 0,95 ou 95%

Fórmula Geral Consideremos uma distribuição genérica para (n-1) graus de liberdade 𝑃 −𝑡 0 <𝑡< +𝑡 0 =𝐶 𝑃 −𝑡 0 < 𝑋 −𝜇 𝑆 𝑋 < +𝑡 0 =𝐶 De onde sai que: 𝑃 𝑋 − 𝑡 0 𝑆 𝑋 <𝜇< 𝑋 + 𝑡 0 𝑆 𝑋 =𝐶 Cuja interpretação: são os limites de intervalo de confiança de C% para μ, considerando-se um grande número de amostras (em C% das vezes μ estaria dentro desse intervalo)

Exemplo Suponha que pegamos uma amostra de 9 elementos e calculamos o desvio S = 5. Logo, conseguimos calcular o desvio de 𝑋 𝑆 𝑋 = 5 9 =1,6666 Se queremos um intervalo de confiança de 95%, achamos o valor t para 8 graus de liberdade: t = 2,306. Logo: 𝑃 𝑋 −2,306 . 1,666<𝜇< 𝑋 +2,306 . 1,666 =0,95 𝑃 𝑋 −3,841<𝜇< 𝑋 +3,841 =0,95

Voltando aos 3 grupos de 5 elementos Calcule o desvio de cada uma das 3 amostras de 5 elementos 𝑆= 𝑋 𝑖 − 𝑋 2 𝑛−1 Agora, calcule o valor de 𝑆 𝑋 para cada um dos grupos: 𝑆 𝑋 = 𝑆 𝑛

Voltando aos 3 grupos de 5 elementos Calcule o intervalo de confiança para cada um dos 3 grupos, utilizando a expressão abaixo 𝑃 𝑋 −2,306 . 𝑆 𝑋 <𝜇< 𝑋 + 2,306 . 𝑆 𝑋 =0,95 Ao sabermos que a verdadeira média é μ = 2473,72, vamos ver qual percentual da classe tem tal valor dentro de seus intervalos, só que agora utilizando 𝑆 𝑋 e a distribuição t

Exercício 1 O diâmetro de 30 rolamentos apresentou 𝑋 = 151,9 mm e S = 9,7 mm Construa um intervalo de confiança a 95% dos rolamentos produzidos 𝑆 𝑋 = 9,7 30 =1,7709 Intervalor de confiança 95% e GL = 29, temos: t = 2,045. Logo: 𝑃 𝑋 −2,306 . 𝑆 𝑋 <𝜇< 𝑋 +2,306 . 𝑆 𝑋 =0,95 Intervalo: 148,27 < μ < 155,52

Ver esse mesmo exercício no Excel

Determinando n para obter estimativa com desvio máximo predeterminado, a um certo nível de confiança

Calculando n Considere e = t0 . 𝑆 𝑋 Portanto, a amplitude do intervalo, ao redor da média é 2e Como sabemos que 𝑆 𝑋 2 = 𝑆 2 𝑛 Substituindo a primeira equação na segunda, teremos 𝑛= 𝑡 0 2 𝑆 2 𝑒 2 Veja que precisamos de S: ou seja, precisaríamos de uma amostra preliminar antes de calcular n

Exemplo dos rolamentos Dados: 30 rolamentos; 𝑋 = 151,9; S = 9,7; 𝑆 𝑋 =1,7709, t95% = 2,045 Qual o tamanho da amostra para que a média da amostra diferisse da média da população em até 2 unidades, ao nível de 95% de confiança. Resolução: 𝑛= 𝑡 0 2 𝑆 2 𝑒 2 = 2,045 2 9,7 2 2 2 =98,37 Ou seja, deveria coletada uma amostra de, pelo menos, 99 rolamentos, para que a média da amostra não difira da média da população em até 2 unidades, a um nível de confiança de 95%.