1.3 Posicionamento na Terra Elipsóidica Na cartografia utiliza-se como modelo matemático para a forma da Terra o elipsóide de revolução

O SISTEMA GPS EFETUA MEDIÇÕES GEODÉSICAS

Qual é a forma da Terra? Qual é a representação matemática da superfície de referência para a cartografia? A superfície topográfica da Terra apresenta uma forma muito irregular, com elevações e depressões.

Modelos utilizados para a Terra esfera elipsóide geóide Terra Modelos utilizados para a Terra

O GEÓIDE g Geóide: superfície cuja normal coincide com a vertical do lugar V V´ Superfície equipotencial O geóide é uma superfície equipotencial coincidente com o nível médio do mar. Dada a heterogeneidade da crosta terrestre, o geóide ainda é uma superfície irregular sem representação matemática

r1 + r2 = 2a f = (a-b)/a e = [(a2-b2)1/2]/a = 2f - f2 P O a = semi-eixo maior b = semi-eixo menor Eixo de rotação f = (a-b)/a e = [(a2-b2)1/2]/a = 2f - f2 P r1 r2 a O F1 F2 b

Elipsóide de revolução Uma elipse gira em torno do seu eixo maior Círculo máximo Prof .M A Zanetti

Normal a um ponto do elipsóide

Geometria do elipsóide O achatamento f é definido por: A primeira excentricidade e2 ao quadrado é dada por: A segunda excentricidade ao quadrado e’2 é obtida por:

O raio de curvatura da seção primeiro vertical N ou grande normal é dado por:  é a latitude geodésica do ponto P O raio de curvatura da seção meridiana M é calculado por: E o raio médio de curvatura RM é dado por:

Parâmetros dos principais sistemas geodésicos usados no Brasil Sistema Geodésico Córrego Alegre SAD-69 SIRGAS elipsóide Hayford Referencia 1967 GRS-80 a 6378388,000m 6378160,000m 6378137,000m b 6356911.946m 6356774,719m 6356752,3141m f 1/297 1/298,25 1/298,257222101 e2 0,006722670 0,0066946053 0,00669438002290 a-b 21476,054m 21385,281m 21384,6859m a- b = diferença entre o semi-eixo maior e o menor f = achatamento do elipsóide e2 = excentrecidade ao quadrado

SISTEMA DE COORDENADAS GEODÉSICAS pn p normal p’ Superfície física Meridiano de Greenwich  q’ q  t  = latitude geódésica  = longitude geodésica pp’ = altitude elipsoidal ps

normal equador Definição de latitude geodésica () Latitude geodésica é o ângulo formado entre a normal e sua projeção no plano do equador terrestre.

A latitude geocêntrica 

Definição de longitude geodésica normal pn p p’ Superfície física Meridiano de Greenwich Meridiano do ponto p’ q’ q  t ps Definição de longitude geodésica Longitude geodésica é o ângulo diedro formado entre o meridiano de Greenwich e o meridiano do ponto considerado.

Definição de distância no elipsóide: geodésica normal pn T p’ Superfície física geodésica T  q’ q ’  t ps Geodésica é uma curva reversa no espaço Menor distância entre dois pontos no elipsóide

Definição de azimute geodésico entre dois pontos normal pn T p’ Superfície física ATP APT T’  q’ q ’  t ps APT = ATP ±180+

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS GEODÉSICO (CG)

DETALHES DO SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS GEODÉSICO

Transformação de coordenadas geodésicas em cartesianas tridimensionais XP = (N + h) cos  cos  YP = (N + h) cos  sen  ZP = [N (1 – e 2 ) + h) sen  onde: N = grande normal h = altitude elipsoidal ou geométrica e = excentricidade do elipsóide

Transformação de coordenadas cartesianas tridimensionais em geodésicas ZP + e´ 2 b sen3  tg  =  p - e 2a cos3  YP tg =  XP p h =  - N cos  ZP a p = XP+YP = arctg p b

Desvio da vertical (i) normal vertical i Superfície física p geóide elipsóide vertical normal i Superfície física

Métodos de determinação do Geóide Gravimetria - Minas do Camaquã Rio Grande do Sul Astronomia- Observação ao Sol - Atol das Rocas

Modelo Geoidal Brasileiro – MAPGEO2010

DATUM VERTICAL BRASILEIRO O Datum vertical do Brasil é o nível médio das águas do mar observadas no marégrafo de Imbituba-SC As altitudes do terreno são determinadas em relação ao nível médio das águas do mar em Imbituba-SC, por meio de operações precisas de nivelamento geométrico. Estabeleceu-se no Brasil uma rede de nivelamento de precisão formada por RNs (referência de nível). Nas cartas aparece a altitude ortométrica (relativa ao geóide)

Marégrafo de Imbituba-SC

Vista do Pier do Porto Porta de acesso RN - 01

R.PR – 1/2005 – Resolução do IBGE Sistemas de Referência Geodésico em uso no Brasil R.PR – 1/2005 – Resolução do IBGE - fica estabelecido como novo sistema de referência geodésico para o SGB e para o Sistema Cartográfico Nacional (SCN) o Sistema de Referência Geocêntrico para as Américas (SIRGAS), em sua realização do ano de 2000 (SIRGAS2000). Para o SGB, o SIRGAS2000 poderá ser utilizado em concomitância com o sistema SAD 69. Para o Sistema Cartográfico Nacional (SCN), o SIRGAS2000 também poderá ser utilizado em concomitância com os sistemas SAD 69 e Córrego Alegre, conforme os parâmetros definidos nesta Resolução. - período de transição, não superior a dez anos.

Caracterização do SIRGAS2000 • Sistema Geodésico de Referência: Sistema de Referência Terrestre Internacional - ITRS (International Terrestrial Reference System) • Figura geométrica para a Terra: Elipsóide do Sistema Geodésico de Referência de 1980 (Geodetic Reference System 1980 – GRS80) Semi-eixo maior a = 6.378.137 m Achatamento f = 1/298,257222101 • Origem: Centro de massa da Terra • Orientação:Pólos e meridiano de referência consistentes em ±0,005” com as direções definidas pelo BIH (Bureau International de l´Heure), em 1984,0.

• Estações de Referência: As 21 estações da rede continental SIRGAS2000, estabelecidas no Brasil constituem a estrutura de referência a partir da qual o sistema SIRGAS2000 é materializado em território nacional. • Época de Referência das coordenadas: 2000,4 • Materialização: Estabelecida por intermédio de todas as estações que compõem a Rede Geodésica Brasileira, implantadas a partir das estações de referência.

Estações de Referência SIRGAS2000

Caracterização dos Sistema Córrego Alegre • Figura Geométrica para a Terra: Elipsóide Internacional de Hayford, 1924 Semi eixo maior a = 6.378.388 m Achatamento f = 1/297 • Parâmetros referentes ao posicionamento espacial do elipsóide: Orientação Topocêntrica Ponto Datum = Vértice de triangulação Córrego Alegre G = A = 19o 50’ 15,14” S G = A = 48o 57’ 42,75” W N = 0 m Onde: G = Latitude Geodésica A = Latitude Astronômica G = Longitude Geodésica A = Longitude Astronômica N = Ondulação Geoidal

Caracterização dos Sistema Datum Sul-Americano de 1969 (South American Datum of 1969 – SAD 69) • Figura geométrica para a Terra: Elipsóide Internacional de 1967 Semi eixo maior a = 6.378.160 m Achatamento f = 1/298,25 • Parâmetros referentes ao posicionamento espacial do elipsóide: Orientação geocêntrica Eixo de rotação paralelo ao eixo de rotação da Terra; plano meridiano origem paralelo ao plano meridiano de Greenwhich, como definido pelo BIH. Orientação topocêntrica Ponto Datum = Vértice de triângulação Chuá G = 19º 45' 41,6527" S G = 48º 06' 04,0639" W A = 19º 45’ 41,34” S A = 48º 06’07,80” W AG = 271° 30' 04,05" SWNE para VT-Uberaba N = 0,0 m AG = Azimute Geodésico

Datum horizontal do Sistema Geodésico Brasileiro, definido no Vértice de Triangulação Chuá (MG). (Fonte: IBGE) Marco Zero do Brasil possui altura elipsoidal (SAD69) e altura geoidal zero, está sobre o geóide e o elipsóide SAD69.

Referencial Altimétrico Nos sistemas Córrego Alegre, SAD 69 e SIRGAS2000, o referencial altimétrico a ser utilizado coincide com a superfície equipotencial do campo de gravidade da Terra que contém o nível médio do mar definido pelas observações maregráficas tomadas na baía de Imbituba, no litoral do Estado de Santa Catarina, de 1949 a 1957.

WGS-84 WORLD GEODETIC SYSTEM – GPS   WGS-84 WORLD GEODETIC SYSTEM – GPS Utilizado nas efemérides transmitidas É um Sistema de Referência Terrestre Convencional (CTRS). A origem do sistema de coordenadas WGS 84 também é usada como o centro geométrico do elipsóide e o eixo dos Z serve como eixo de rotação desse elipsóide de revolução. ORIGEM Centro de massa da terra (geocêntrico) EIXO DOS Z Na direção do IERS reference Pole (IRP) EIXO DOS X Intersecção do Meridiano de Referência IRES (IRM) com o plano que passa pela origem e é normal ao eixo dos Z. EIXO DOS Y É tal que define um sistema ortogonal com os outros dois (X e Z).

Pólo de Referência IERS (IRP) Meridiano de Referência (IRM) Centro de Massa da Terra Geocêntrico a = 6378137m - semi-eixo maior f = 1/298,257223563 - achatamento we=7292115 x 10-8 rad/s - velocidade angular da Terra GM = 3986004,418 x 108 m3/s2 - Constante gravitacional

DIFERENÇAS ENTRE O WGS84 e SIRGAS2000 SGR Semi-eixo maior achatamento WGS-84 6378137 1/298,257223563 SIRGAS 1/298,257222101 SGR Semi-eixo menor (m) WGS-84 6356752,31425 SIRGAS 6356752,31414

GLONASS - Globalnaya navigatsionnaya sputnikovaya sistema or Global Navigation Satellite System PZ90 (Parametry Zemli 1990): Sistema Geodésico Soviético 1990 (Soviet Geodetic System 1990). Tem definição similar à do ITRF, com a origem no centro de massa da terra. O eixo Z é direcionado para o Pólo Norte Médio da época 1900-1905, o eixo X está no plano do equador também da época 1900-1905 com o plano XZ sendo paralelo ao Meridiano Médio de Greenwich, formando um sistema dextrógiro. PZ90.02 - aproximou do ITRF2000, contendo translações em X, Y e Z de 36 cm, 8 cm e 18 cm, respectivamente.

ITRF (IERS - International Earth Rotation Service - Terrestrial Reference Frame): é a realização do ITRS, um sistema de referência convencional terrestre (CTRS) definido por uma série de modelos e definições (McCarthy, 1992; 1996). Mantido pelo IERS (International Earth Rotation Service). Obtenção do ITRF:combinação de uma lista de coordenadas (com variância e covariância) e de velocidades de estações (SSCs - Set of Station Coordinates), VLBI (Very Long Baseline Interferometry), LLR (Lunar Laser Ranging), SLR (Satellite Laser Ranging) e o GPS (desde o ITRF91) (Monico & Segantine, 1996).

No site: http://www.iers.org/IERS/EN/DataProducts/ITRS/itrs.html Tem-se desde a primeira versãoITRF88, até a mais atual, denominada ITRF2008. Quando as coordenadas forem expressas em latitude (j), longitude (l) e altitude (h) o elipsóide a adotar é o GRS80, recomendado pela IUGG (International Union of Geodesy and Geophysics). O ITRF é utilizado pelos centros de análises do IGS para referenciar as efemérides precisas do GPS, assim como as efemérides precisas dos satélites GLONASS,

TRANSFORMAÇÃO GERAL ENTRE SISTEMAS DE REFERENCIA Utilizando-se a equação dos sete parâmetros: XT 1 -Rz +Ry Xs Tx YT = M * -Rz 1 +Rx * Ys + Ty ZT -Ry +Rx 1 Zs Tz Com M=1+D Com: Tx, Ty e Tz parâmetros de translação D = fator de escala Rx, Ry e Rz pequenos ângulos de rotação expressos em radianos

Para transformações entre realizações ITRF http://itrf.ensg.ign.fr/ITRF_solutions/index.php

Parâmetros de Transformação entre ITRF90 e WGS-84

Transformação de coordenadas de pontos nos diferentes referenciais , , h conhecidos no sistema geodésico A , , h conhecidos no sistema geodésico B transformação transformação Coordenadas cartesianas XA,YA,ZA Coordenadas cartesianas XB,YB,ZB translação parâmetros XB= XA+ X YB= YA+  Y ZB= ZA+  Y

Parâmetros de Transformação entre o SAD 69 e o SIRGAS2000 • SAD 69 para SIRGAS2000 • SIRGAS2000 para SAD 69 a1 = 6.378.160 m a1 = 6.378.137 m f1 = 1/298,25 f1 = 1/298,257222101 a2 = 6.378.137 m a2 = 6.378.160 m f2 = 1/298,257222101 f2 = 1/298,25 . X = - 67,35 m .X = + 67,35 m .  Y = + 3,88 m .  Y = - 3,88 m .  Z = - 38,22 m .  Z = + 38,22 m

PARÂMETROS DE TRANSFORMAÇÃO ENTRE SAD69 E OUTROS SISTEMAS DE REFERÊNCIA PARÂMETROS Córrego Alegre Astro Datum Chuá WGS84 DX (m) 138,0 77,0 -66,87 DY (m) -164,4 -239,0 4,37 DZ (m) -34,0 -5,0 -38,52

EXEMPLO DE TRANSFORMAÇÃO DE ALTITUDE GEOMÉTRICA EM ORTOMÉTRICA As coordenadas de um ponto situado no Rio Chapecó, obtidas por rastreio GPS no SAD-69 resultaram em: = 26 4648,81504 = 5203 38,83019 h=813,75 m Por se tratar de RN, conhece-se H=808,1965 Do programa do IBGE MAPGEO2004 obtém-se N = +5,60 m Como H=h-N H=813,75-5,60 H = 808,15 m Diferença: d=0,0465m d=4,65cm

CALCULAR AS COORDENADAS CARTESIANAS ORTOGONAIS TRIDIMENSIONAIS DO PONTO = 26 4648,81504 = 5203 38,83019 h=813,75 m referenciadas ao SAD-69. XP = (N + h) cos  cos  YP = (N + h) cos  sen  ZP = [N (1 – e2 ) + h) sen  a= 6.378.160 m e2= 0.0066946053 N = 6382498,631 m XP = 3503671,313 m YP = -4494314,786 m ZP = -2856873,785 m

SOFTWARE DISPONIBILIZADO PELO IBGE PARA TRANSFORMAÇÃO DE SISTEMAS NO BRASIL http://www.ibge.gov.br/home/geociencias/geodesia/param_transf/default_param_transf.shtm ProGriD – Transformação de Coordenadas