18.5 – A equação da onda Oscilador harmônico: vimos que é solução da equação diferencial Qual a equação diferencial que rege a propagação de uma onda transversal em uma corda esticada? Vamos analisar a dinâmica de um elemento infinitesimal de corda, de comprimento δx e massa δm=μδx Aplicando a 2a. Lei de Newton, chegamos (quadro-negro) na famosa equação da onda em 1D:

Vamos verificar que a função é solução da equação da onda: Substituindo na equação da onda: É solução, com a condição:

18.7 – O Princípio da Superposição Quando duas ondas y1(x,t) e y2(x,t) se propagam simultaneamente, o deslocamento resultante é y(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t) (Princípio da Superposição) Exemplo: Dois pulsos http://www.youtube.com/watch?v=yevr1hWJPZI

“Colisões” entre pulsos

Análise de Fourier Qualquer forma de onda pode ser construída a partir da superposição de ondas senoidais! Exemplo: “dente-de-serra” x λ Joseph Fourier (1768-1830) Pode-se mostrar que: (série de Fourier)

Exemplo: onda quadrada http://www.youtube.com/watch?v=KxoZtt22HTg

Um pulso também pode ser construído pela superposição de ondas senoidais: (mais útil para transmitir informação do que uma onda senoidal simples)

Às vezes, cada componente senoidal do pulso se propaga com velocidade diferente: pulso se distorce – dispersão. Exemplo: luz em meios materiais - prisma Pulso se propaga com velocidade de grupo (diferente da velocidade de fase)

18.8 – Interferência de ondas Considere duas ondas senoidais de mesma amplitude e comprimento de onda, propagando-se na mesma direção e sentido, com uma diferença de fase Δø: Onda resultante: Usamos o resultado:

Onda resultante: Amplitude da onda resultante Casos especiais: (interferência construtiva) (interferência destrutiva)

interferência construtiva Interferência em 2D: interferência construtiva interferência destrutiva interferência construtiva interferência destrutiva interferência construtiva http://www.youtube.com/watch?v=ovZkFMuxZNc

18.9 – Ondas estacionárias Vamos considerar agora duas ondas senoidais de mesma amplitude e comprimento de onda, propagando-se em sentidos contrários: Onda resultante: Usamos novamente o resultado: não é uma onda progressiva, e sim uma onda estacionária (não tem a forma f(x±vt), mas ainda assim é solução da equação da onda)

http://www.youtube.com/watch?v=yCZ1zFPvrIc

Onda estacionária: alguns pontos da corda têm sempre amplitude zero (nós), enquanto outros oscilam com amplitude máxima (antinós)

Cálculo das posições dos nós: onde o deslocamento é sempre nulo? Sabendo que Nós estão separados por λ/2

Cálculo das posições dos antinós: amplitude máxima

18.10 – Ondas estacionárias e ressonância Vamos analisar as ondas estacionárias em uma corda com extremidades fixas Extremidades fixas = nós Modos normais de oscilação: 1o harmônico (modo fundamental) 2o harmônico 3o harmônico De maneira geral:

De maneira geral: Freqüências: A corda só irá oscilar substancialmente para estas freqüências: freqüências de ressonância Kit LADIF: corda

Na Mecânica Quântica as “ondas de matéria” têm comportamento análogo: diz-se que as freqüências (energias) são quantizadas Partícula quântica em uma caixa: função de onda e probabilidade