Fundamentos de Matemática Ciências Biológicas Prof. Marco Marins Conjuntos Numéricos Fundamentos de Matemática Ciências Biológicas Prof. Marco Marins

Conjuntos Numéricos 1- Naturais (IN) N = {0,1,2,3,4,5...} Convém destacar um subconjunto: N* = N – {0} = {1,2,3,4,5...} É importante lembrar que sempre é possível efetuar a adição e a multiplicação, isto é, a soma e o produto de dois números naturais sempre terá como resultado um número natural, já a subtração entre dois números naturais nem sempre é um número natural, como por exemplo 2 – 5, não pertence aos N, temos então o surgimento do conjunto dos números inteiros.

Conjuntos Numéricos 2- Inteiros (Z) Z = {...-3,-2,-1,0,1,2,3...} No conjunto dos inteiros destacamos os seguintes subconjuntos: Z* = Z – {0} = {...-3,-2,-1,1,2,3...} Z+ = {0,1,2,3,4...} (inteiros não negativos) Z - = {0,-1,-2,-3,-4...} (inteiros não positivos) Z*+ = {1,2,3,4...} (inteiros positivos) Z*- = {-1,-2,-3,-4...} (inteiros não negativos) 

Conjuntos Numéricos Neste conjunto sempre é possível efetuar a adição, a multiplicação e a subtração entre números inteiros, isto é, sempre estas operações resultam em um número inteiro. Já a divisão nem sempre resulta em um número inteiro, como por exemplo, 7 : 2 ,não pertence aos inteiros surgindo assim o conjunto dos racionais.    

Conjuntos Numéricos 3-Racionais (Q) Q = {x tal que x = a/b (a sobre b) onde aÎ (pertence) Z a b E Z* (Z menos o zero)}. O conjunto dos números racionais Q é a união do conjunto dos números naturais (N), inteiros (Z) e as frações positivas e negativas, como por exemplo: Q = -5 ; - 4/3 ; - 1; 0; 0,25 ; 1/2 ; 3/4 ;  1; 6/5 ; 2

Conjuntos Numéricos Obs: Um número racional pode aparecer em forma de dízima periódica, isto é, um numeral decimal, com a parte decimal formada por infinitos algarismos que se repetem periodicamente, como por exemplo: 4,5555 (período 5) , 10,878787 (período 87) e 9,8545454... (período 54, parte não periódica 8)

Conjuntos Numéricos 4-Irracionais (I) – É todo número decimal não-exato e não periódico, bem como toda raiz não-exata. raiz quadrada de dois = 1,414...; raiz quadrada de três = 1,73...; dízimas não periódicas;

Conjuntos Numéricos 5-Reais (IR) - É a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais.

Conjuntos Numéricos 6 - Conjunto dos Números Complexos O conjunto dos números complexos, simbolizado pela letra C, foi criado para dar sentido às raízes de índice par de números negativos, com a definição da unidade imaginária i igual a raiz quadrada de -1, e são constituídos de elementos na forma a + bi, onde a e b são reais. Desse fato temos que R está contido em C.

Conjuntos Numéricos Intervalos na Reta Real Notação em símbolos de um intervalo Habitualmente se utilizam os colchetes - “[” e “]” - para indicar que um dos extremos do intervalo é parte deste intervalo e os parênteses - “(” e “)” - ou, também, os colchetes invertidos - “]” e “[” para indicar o contrário. Assim, por exemplo, dados a e b números reais, com a ≤ b, o intervalo I = (a,b] = ]a,b] representa o conjunto dos x ε R, tal que a < x ≤ b. Note que a não faz parte do intervalo.

Conjuntos Numéricos Representação de um intervalo na reta real Um intervalo é representado na reta real utilizando-se de uma pequena “bolinha vazia” para indicar que um dos pontos extremos não pertence ao intervalo e de uma “bolinha cheia” para indicar que o ponto extremo pertence.

Conjuntos Numéricos Tipos de Intervalos Dados a e b números reais, com a ≤ b, x pertencente ao intervalo e c o seu comprimento, podemos classificar os intervalos como: a) Intervalo Fechado de comprimento finito c = b - a: [a,b] = {x ε R | a ≤ x ≤ b}

Conjuntos Numéricos b) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de comprimento finito c = b - a: [a,b[ = [a,b) = {x ε R | a ≤ x < b} c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de comprimento finito c = b - a: (a,b] = ]a,b] = {x ε R | a < x ≤ b}

Conjuntos Numéricos d) Intervalo aberto de comprimento finito c = b - a: ]a,b[ = (a,b) = {x ε R | a < x < b} e) Intervalo aberto à direita de comprimento infinito: ]-∞,b[ = (-∞,b) = {x ε R | x < b}

Conjuntos Numéricos f) Intervalo fechado à direita de comprimento infinito: ]-∞,b] = (-∞,b] = {x ε R | x ≤ b} g) Intervalo fechado à esquerda de comprimento infinito: [a,+∞) = [a,+∞[ = {x ε R | a ≤ x}

]a,+∞[ = (a,+∞) = {x ε R | x > a} Conjuntos Numéricos h) Intervalo aberto à esquerda de comprimento infinito: ]a,+∞[ = (a,+∞) = {x ε R | x > a} i) Intervalo aberto de comprimento infinito: ]-∞,+∞[ = (-∞,+∞) = R

Conjuntos Numéricos j) Intervalo fechado de comprimento nulo: Como o comprimento é nulo e o intervalo fechado, então a = b e esse intervalo corresponde ao conjunto unitário {a}, isto é, a um ponto da reta real. Concluo a classificação dos intervalos com a seguinte pergunta para vocês: E o intervalo vazio como seria definido?

Conjuntos Numéricos União e Intersecção de Intervalos Como intervalos são conjuntos é natural que as operações mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se de um procedimento muito comum na resolução de alguns problemas. E a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas operações é através da representação gráfica dos intervalos envolvidos. Vamos à um exemplo prático de como efetuar tais operações.

Conjuntos Numéricos Sejam A = [-1,6] = {x ε R | -1 ≤ x ≤ 6} e B = (1,+∞) = {x ε R | x > 1} dois intervalos e vamos determinar A U B e A ∩ B. Primeiramente, marcamos todos os pontos que são extremos ou origens dos intervalos em uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta, traçamos os intervalos que representam graficamente os conjuntos A e B. E, por fim, é só utilizar a definição de união e intersecção para determinar os trechos que estão em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aos dois intervalos, respectivamente. Veja a solução de A ∩ B na figura a seguir e de onde é também facilmente observado o resultado de A U B:

A ∩ B = {x ε R | 1 < x ≤ 6} e A U B = {x ε R | -1 ≤ x} Conjuntos Numéricos A ∩ B = {x ε R | 1 < x ≤ 6} e A U B = {x ε R | -1 ≤ x}

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