Variáveis aleatórias Uma variável aleatória, X, é uma função que associa um valor numérico aos possíveis resultados de um experimento probabilístico.

Variável aleatória “Uma variável aleatória é uma função que associa números aos eventos do espaço amostral. X = número de coroas em 2 lançamentos de uma moeda;

Exemplos de variáveis aleatórias Vida útil (em horas) de um televisor; Número de peças com defeito em um lote produzido; Número de veículos que passam num pedágio num determinado dia; Numero de Caras no lançamento de 3 moedas

Variáveis aleatórias Uma variável aleatória, X, é uma função que associa um valor numérico aos possíveis resultados de um experimento probabilístico.

Tipos de variáveis aleatórias Uma variável aleatória é DISCRETA se o número de resultados possíveis é finito ou pode ser contado. Ex: número de mulheres em uma sala de aula; 2. Uma variável aleatória é CONTÍNUA se o número de resultados possíveis não pode ser listado. Ex: Tempo que uma lâmpada demora para queimar;

os possíveis resultados abrangem todo um intervalo de números reais Variáveis aleatórias variável aleatória discreta contínua os possíveis resultados estão contidos em um conjunto finito ou enumerável os possíveis resultados abrangem todo um intervalo de números reais 1 2 3 4 ... número de defeitos em ... tempo de resposta de ...

Modelos de Distribuição de Probabilidade Distribuição Binomial: modelo probabilístico para variáveis aleatórias discretas Distribuição Normal: modelo probabilístico para variáveis aleatórias contínuas

Experimento binomial consiste de n ensaios; cada ensaio tem somente dois resultados: “sucesso” / “fracasso”; os ensaios são independentes, com P(sucesso) = p (0 < p < 1 constante ao longo dos ensaios); ====> X = número de sucesso nos n ensaios

Exemplos Número de caras em 3 lançamentos de uma moeda; Número de itens defeituosos numa amostra de 15 peças de uma linha de produção (supondo amostragem aleatória de uma população muito grande).

Cálculo das probabilidades em experimentos binomiais EXEMPLO 1 Seja: X = número de caras em 3 lançamentos de uma moeda com P(cara) = p; X = {0, 1, 2, 3} P(X=1)=?

Cálculo das probabilidades em experimentos binomiais Seja: Cara = C Coroa = K X = 0 se ocorrer KKK; X = 1 se ocorrer CKK, KCK ou KKC; X = 2 se ocorrer CCK, CKC ou KCC; X = 3 se ocorrer CCC;

Cálculo das probabilidades em experimentos binomiais P(X = 1) =P(CKK)+P(KCK)+P(KKC) Como: P(CKK)=P(KCK)=P(KKC)=p(1-p)2 P(X = 1) = 3 p (1 - p)2

Cálculo das probabilidades em experimentos binomiais Analogamente pode-se obter P(X=0), P(X=2), P(X=3) P(X=0)= (1-p)3 P(X=1)= 3p(1-p)2 P(X=2)= 3p(1-p)2 P(X=3)= 3p3 P(X=0)= 1 p0(1-p)3 P(X=1)= 3 p1(1-p)2 P(X=2)= 3 p2(1-p)1 P(X=3)= 1 p3(1-p)0 Número de maneiras distintas de se obter “x” caras em 3 lançamentos de moedas

Cálculo das probabilidades em experimentos binomiais De uma maneira geral: No nosso caso em particular n = 3:

Cálculo das probabilidades em experimentos binomiais Considere p=0,5 e use a formula acima para calcular P(X=1)

O modelo binomial Para um “n” qualquer

Tente adivinhar as respostas 1. Qual é o 11o dígito depois do ponto decimal de um número irracional e? (a) 2 (b) 7 (c) 4 (d) 5 e = 2.718281828459045 2. Qual foi o Índice Dow Jones em 27 de fevereiro de 1993? (a) 3.265 (b) 3.174 (c) 3.285 (d) 3.327 3. Quantos jovens do Sri Lanka estudaram em universidades norte-americanas entre 1990 e 1991? (a) 2.320 (b) 2.350 (c) 2.360 (d) 2.240 4. Quantos transplantes de rins foram feitos em 1991? (a) 2.946 (b) 8.972 (c) 9.943 (d) 7.341 5. Quantos verbetes há no dicionário Aurélio? (a) 60.000 (b) 80.000 (c) 75.000 (d) 83.000

Resultados do teste As respostas corretas são: 1. d 2. a 3. b 4. c 5. b Conte o número de questões a que você respondeu corretamente. Chamemos esse número de x. Que tipo de experimento acabamos de realizar? Quais são os valores de n, p e q? n=5, p=0,25, q= 0,75 Quais são os valores possíveis de x? X={1,2,3,4,5}

Probabilidades binomiais Calcule a probabilidade de alguém não acertar nenhuma questão, exatamente uma, duas, três, quatro ou todas as cinco questões do teste. Verifique que a soma das probabilidades e igual a 1 P(X=3) = 0,088 P(X=4) = 0,015 P(X=5) = 0,001

Probabilidades binomiais Calcule a probabilidade de alguém não acertar nenhuma questão, exatamente uma, duas, três, quatro ou todas as cinco questões do teste. P(X=0)=0,237 P(X=1)= 0,396 P(X=2)= 0,264 P(3) = 0,088 P(4) = 0,015 P(5) = 0,001

Probabilidades binomiais Esperança e variância!!!!

Média ou Esperança Matemática Caso a Variável aleatória X tenha distribuição Binomial: E(X) = np

Variancia Caso a Variável aleatória X tenha distribuição Binomial: var(X) = npq

Exercicios Sabe-se que 90% dos pacientes submetidos a uma determinada cirurgia sobrevivem. Se onze pacientes realizarem a cirurgia, qual é a probabilidade que a) todos sobrevivam; b) ninguém sobreviva; c) nove ou mais sobrevivam; d) no mínimo oito sobrevivam? Quais são as pressupostos que você assumiu para poder usar distribuição binomial?