MATRIZES

1 - INTRODUÇÃO Definição 20 43 60 15 10 15 12 6 14 18 Conjunto numérico disposto em linhas e colunas. 20 43 60 15 10 15 12 6 14 18 A =

Define-se a ordem da matriz como sendo m X n onde m é o número de 20 43 60 15 10 15 12 6 14 18 A = 1ª linha 2ª linha 3ª linha 4ª linha 1ª coluna 2ª coluna 3ª coluna Define-se a ordem da matriz como sendo m X n onde m é o número de linhas e n o número de colunas. A ordem da matriz acima é 4 X 3. Cada elemento da matriz será indicado por aij, onde i é o número da linha e j é o número da coluna. Na matriz acima, por exemplo, a42 = 14.

2 – LEI DE FORMAÇÃO Algumas matrizes podem ter seus elementos definidos em função da posição ocupada pelo mesmo na matriz. Esta formação da matriz, a partir da localização dos elementos, tem importância em programação. A lei de formação em geral é dada sob forma de uma função aij = f(i, j) onde i é o número da linha e j o número da coluna. Assim, por exemplo, para construir a matriz A = [aij]3x2, tal que aij = 3i – 2j teremos: a11 = 3.1 – 2.1 = 1 a12 = 3.1 – 2.2 = - 1 a21 = 3.2 – 2.1 = 4 a22 = 3.2 – 2.2 = 2 a31 = 3.3 – 2.1 = 7 a32 = 3.3 – 2.2 = 5 O que resulta A = -1 2 7 5

EXERCÍCIOS 01 - Considerando a matriz do abaixo RESPONDA: (a) Qual é a ordem da matriz A? (b) Quais são os elementos da terceira linha? (c) Quais são os elementos da quarta coluna? (d) Qual é o valor de 2a32 + 5a43 - 7a35? 02 - Escreva a matriz C = [cij]3x4, tal que cij = 7 + 2i - 3j , se i > j e cij = i + j se i < j.

3 - ALGUNS TIPOS DE MATRIZES MATRIZ QUADRADA Nº de linhas igual ao nº de colunas. Exemplo A = 3 6 10 5 2 4 7 9 8 Neste caso, a ordem pode ser indicada apenas pelo nº de linhas ou de colunas. No exemplo, temos uma matriz quadrada de ordem 3. Os elementos 3, 2, 8 constituem a diagonal principal e os elementos 10, 2, 8 constituem a diagonal secundária.

Matriz quadrada onde aij = 1 se i = j e aij = 0 se i  j. MATRIZ IDENTIDADE Matriz quadrada onde aij = 1 se i = j e aij = 0 se i  j. Exemplo: I3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 MATRIZ SIMETRICA Quando aij = aji. 6 7 4 6 5 8 3 7 8 2 1 4 3 1 9 A =

A transposta da matriz A é indicada por AT. MATRIZ TRANSPOSTA A transposta da matriz A é indicada por AT. Se A = [aij]mxn então AT = [bij]nxm, tal que bij = aji. AT = 1 3 5 2 6 7 1 3 5 2 6 7 A = EXERCÍCIOS 01 - Escreva uma matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = 2i + j. 02 - Escreva a matriz transposta da matriz obtida no exercício anterior. 03 - Verifique se a matriz anterior é ou não simétrica. 04 - Escreva as matrizes identidades de ordem 2 e ordem 4.

05 - Para que valores de x e y a matriz acima é simétrica 05 - Para que valores de x e y a matriz acima é simétrica? 06 – Considere a matriz A acima. Determine a) AT       b) (AT)T .          Que conclusão se pode tirar a partir do resultado do item (b)?