Estabilidade (C. T. Chen, Capítulo 5) Sistemas Lineares

Introdução Sistemas são projetados para cumprir certas tarefas ou processar sinais. Se um sistema não é estável, ele pode queimar, desintegrar-se ou saturar quando um sinal, não importa quão pequeno, é aplicado. Portanto, um sistema instável é inútil na prática, e estabilidade é uma exigência básica para todos os sistemas. Além da estabilidade, sistemas devem atender outros requisitos, tais como rastrear sinais desejados e suprimir ruído, para ser útil na prática. A resposta de sistemas lineares pode sempre ser decomposta na resposta ao estado zero e na resposta à entrada zero. É costume estudar as estabilidades dessas duas respostas separadamente. Nós introduziremos a estabilidade BIBO (Bounded Input, Bounded Output) para a resposta ao estado zero e as estabilidades marginal e assintótica para a resposta à entrada zero.

Pêndulo invertido Ver capítulo 2, para sua descrição linearizada (haste em posição bem próxima à vertical) Sistema originalmente instável.

Efeitos da instabilidade A ponte pênsil Tacoma Narrows, em Tacoma, Washington, USA, com 1600 m, colapsou em 7 de novembro de 1940, alguns meses depois de ser inaugurada. O colapso ocorreu após um vento de 65 km/h fazê-la vibrar e entrar em ressonância. Acesso a vídeo: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/19/Tacoma_Narrows_Bridge_destruction.ogg

Ponte Tacoma Narrows

Estabilidade entrada-saída (BIBO stability)

Teorema 5.1 Um sistema SISO descrito por (5.1) é estável no sentido BIBO se, e somente se, 𝑔(𝑡) é absolutamente integrável em [0,∞), ou 0 ∞ 𝑔(𝑡) 𝑑𝑡≤𝑀<∞ para alguma constante 𝑀.

Prova a) suficiência: se 𝑔(𝑡) é absolutamente integrável, toda entrada limitada excita uma saída limitada (o sistema é BIBO estável) Prova por contradição: se 𝑔(𝑡) não é absolutamente integrável, alguma entrada limitada gerará uma saída ilimitada a) necessidade: se o sistema é BIBO estável 𝑔(𝑡) é absolutamente integrável

Em geral, porém, uma função absolutamente integrável é limitada e se aproxima de zero quando 𝑡⟶∞.

Teorema 5.2 𝑔 0 = 0 ∞ 𝑔 𝜏 𝑒 −0.𝜏 𝑑𝜏= 0 ∞ 𝑔 𝜏 𝑑𝜏

Caso discreto

Teorema 5.D3

Tabela de Routh

Tabela de Routh-Hurwitz

Exemplo

Estabilidade interna 𝐱 𝑡 = 𝑒 𝐀𝑡 𝐱 0 (ver Capítulo 4)

Polinômio mínimo: 𝜓 𝐀 =0. No caso acima, 𝐀 𝐀+𝐈 =𝟎, ou seja, o polinômio mínimo é mesmo 𝜆(𝜆+1).

Caso discreto

A demonstração é similar ao caso de tempo contínuo, usando a forma de Jordan de 𝐀.

Teorema de Lyapunov

Prova do teorema

Caso discreto da Equação de Lyapunov

Estabilidade de sistemas LTV