Resolução de sistemas lineares Métodos Numéricos para Engenharia I Pedro Augusto Munari Junior [munari@icmc.usp.br]

Aula de hoje... Introdução Número de soluções Métodos para resolução Eliminação de Gauss Fatoração LU Exemplos e algoritmos

Introdução Sistemas lineares são de grande importância para a descrição e resolução de problemas que surgem nas mais diversas áreas da ciência e engenharia. Geometria Redes elétricas, hidráulicas, de tráfego, ... Distribuição de calor Química Economia Programação linear Estatística Jogos ... (http://aix1.uottawa.ca/~jkhoury/system.html)

Introdução Interpretação geométrica para sistemas de duas variáveis

Introdução

Introdução Por que utilizar um método?

Introdução Notação

Número de soluções Dado um sistema linear, apenas uma das situações abaixo pode ocorrer: O sistema tem solução única O sistema tem infinitas soluções O sistema não admite solução

Número de soluções Solução única

Número de soluções Infinitas soluções

Número de soluções Não admite solução

Número de soluções Graficamente... Solução única: Infinitas soluções: Retas concorrentes. A solução é o ponto onde as retas se cruzam. Infinitas soluções: Retas coincidentes. Todos os pontos sobre a reta são soluções do sistema. O sistema não admite solução: Retas paralelas. As retas não se cruzam e, portanto, não existe nenhum ponto que esteja sobre as duas ao mesmo tempo.

Número de soluções No caso geral... Precisamos analisar o Posto e a Imagem da matriz A, de acordo com suas dimensões m e n.

Número de soluções Solução única

Sistema compatível determinado Número de soluções As colunas de A são Linearmente Independentes e formam uma base do R2. b pode ser escrito como combinação linear das colunas de A. Sistema compatível determinado

Número de soluções Infinitas soluções

Sistema compatível indeterminado Número de soluções As colunas de A são Linearmente Dependentes e não formam uma base do R2. Basta uma coluna de A para escrever b. Sistema compatível indeterminado

Número de soluções Não admite solução

Número de soluções As colunas de A são Linearmente Dependentes e não formam uma base do R2. b não pode ser escrito como combinação das colunas de A. Sistema incompatível

Número de soluções Essas situações se estendem para o caso geral, sempre que m = n. Quando m ≠ n, temos: posto(A) ≤ min{m, n} se m < n o sistema nunca pode ter solução única, pois posto(A) < n se m > n o sistema pode não ter solução

Número de soluções Quadro-resumo... b  Im(A) b  Im(A) Matriz A m = n Posto completo Posto deficiente b  Im(A) b  Im(A)

Métodos de resolução

Métodos de resolução Veremos aqui métodos para a resolução sistemas com n linhas e n variáveis (a matriz A deve ter posto completo). Os métodos de resolução podem ser divididos em dois grupos: Métodos Diretos Métodos Iterativos Veremos dois métodos diretos: Eliminação de Gauss e Fatoração LU

Métodos de resolução Mas... só uma pergunta antes de começar... Se a matriz A é quadrada, por que não fazer x = A-1 b ?

Eliminação de Gauss

Eliminação de Gauss Qual sistema é mais fácil de ser resolvido? (1) (2)

Eliminação de Gauss Algoritmo...

Eliminação de Gauss Consiste em transformar o sistema a ser resolvido em um sistema triangular equivalente, por meio de operações elementares. A solução é então obtida, resolvendo-se um sistema triangular.

Eliminação de Gauss zerar estes elementos

Eliminação de Gauss Operações elementares: Trocar duas equações; Multiplicar uma equação por uma constante não-nula; Adicionar um múltiplo de uma equação a uma outra equação. Garantem que o sistema obtido é equivalente ao original

Eliminação de Gauss

Eliminação de Gauss

Eliminação de Gauss Zerar esses elementos utilizando operações elementares

Eliminação de Gauss pivô Zerar esses elementos utilizando operações elementares

Eliminação de Gauss

Eliminação de Gauss pivô Zerar esses elementos utilizando operações elementares

Eliminação de Gauss

Eliminação de Gauss Iteração 1 ... Multiplicador

Eliminação de Gauss Obs.: devemos ter , para todo k = 1, ..., n

Eliminação de Gauss Exemplo

Eliminação de Gauss Algoritmo...

Eliminação de Gauss Estratégias de pivoteamento O que acontece se o pivô for nulo? Pivô próximo de zero pode levar a resultados totalmente imprecisos. Para contornar esses dois problemas deve-se adotar uma estratégia para a escolha de um “bom” pivô.

Eliminação de Gauss Pivoteamento parcial Pivoteamento completo Escolher para pivô o elemento de maior módulo na coluna, dentre os que ainda irão atuar no processo de eliminação. Pivoteamento completo Escolher para pivô o elemento de maior módulo dentre todos os elementos que ainda irão atuar no processo de eliminação

Eliminação de Gauss

Fatoração LU

A = LU Fatoração LU Ax = b LU x = b Decompor a matriz A em um produto de dois fatores: L: matriz triangular inferior U: matriz triangular superior A = LU Ax = b LU x = b

Fatoração LU U é a matriz triangular resultante na eliminação de Gauss. Quem é L então? Por que utilizar a fatoração LU se vamos obter a mesma matriz da eliminação de Gauss?

Continua na próxima aula... Fatoração LU U é a matriz triangular resultante na eliminação de Gauss. Quem é L então? Por que utilizar a fatoração LU se vamos obter a mesma matriz da eliminação de Gauss? Continua na próxima aula...

Bibliografia Ruggiero, MAG; Lopes, VLR. Cálculo numérico. 2ª edição. 1998.