Métodos Matemáticos Lineares - MML Prof. Emilson Rocha de Oliveira Primeiro Semestre de 2014 www.emc.ufg.br/~emilson/public

DADOS GERAIS Disciplina: Métodos Matemáticos Lineares Período: 3o Curso: Engenharia Elétrica Carga horária: 4 horas semanais Nome do Professor: Emilson Rocha de Oliveira - Bloco G (Sala de Professores – acesso PG3) Dias/Horário: Segunda (sala 110) e Quarta (sala 210) das 10:50 as 12:30 Semestre/Ano: primeiro/2014

OBJETIVOS Familiarizar o aluno com a teoria de sistemas a tempo discreto, sua representação através de equações a diferença e técnicas para sua solução. Propiciar ao aluno bagagem matemática adequada, através de transformações matemáticas que levam funções ou sinais do domínio do tempo para o domínio da frequência.

OBJETIVOS permitir que, em disciplinas subsequentes, técnicas para análize de sistemas lineares invariantes no tempo, discretos ou contínuos, possam ser apresentadas e compreendidas pelos alunos do curso.

EMENTA - Equações de Diferenças. - Transformada Z. - Transformada de Laplace. - Séries de Fourier. - Transformada de Fourier.

PROGRAMA - Solução de Equações a Diferença: Sistemas a Tempo Discreto Solução Homogênea. Solução Particular - Transformada Z: Definição. Propriedades da Transformada Z. Transformada Z de Funções Elementares. Transformada Z Inversa. Solução de Equação a Diferença utilizando a Transformada Z.

- Transformada de Laplace: Definição. Propriedades da Transformada de Laplace. Transformada de Laplace de Funções Elementares. Transformada Laplace Inversa. Solução de Equação Diferencial utilizando a Transformada de Laplace.

- Transformada de Fourier: Representação em Série de Fourier de Sinais Periódicos. Definição da Transformada de Fourier. Propriedades da Transformada de Fourier.

METODOLOGIA DE ENSINO O programa da disciplina é apresentado em aulas expositivas do conteúdo teórico, sempre seguido da resolução de exemplos relativos aquele conteúdo em sala de aula. Em determinadas situações, após a resolução dos exemplos os alunos são solicitados a, na própria sala de aula, resolver exemplos semelhantes aos apresentados. Listas de exercícios acompanhadas das respostas são fornecidas para que o aluno os resolva fora da sala de aula. As listas de exercício e outros materias de apoio didático serão disponibilizados no endereço www.emc.ufg/~emilson/public . Contato com o professor pode ser mantido também pelo e-mail: eroc235@gmail.com

AVALIAÇÃO Primeira Prova (peso de 20%): 02 de abril Segunda Prova (peso de 25%): 12 de maio Terceira Prova (peso de 25%): 02 de junho Quarta Prova (peso de 30%): 14 de julho Substitutiva: 16 de julho

BIBLIOGRAFIA: Bibliografia Básica: R. A. Gabel e R. A. Roberts. Signals and Linear systems, 3ª edição. John Wiley, 1987. H. P. Hsu. Sinais e Sistemas. Coleção Schaum. Bookman, Porto Alegre, 2004. B. P. Lathi Sinais e Sistemas Lineres, Bookman, Porto Alegre, 2004. Bibliografia Complementar: M. J. Roberts. Fundamentos em Sinais e Sistemas, McGrawHill, 2009. A. Oppenheim e A. S. Willsky. Sinais e Sistemas. Pearson Education do Brasil, 2010. S. S. Soliman. Continous and Discrete Signals and Systems. Prentice-Hall, 1990. B. Girod, R. Rabenstein e A. Stenger. Sinais e Sistemas. LTC, 2003. H. P. Hsu. Fourier Analysis. Simonand Scuster, 1970. E. I. Butkov. Física Matemática. LTC, 1988.

Caracterização de Sistemas Lineares Não Linearidade versus Linearidade dos sistemas físicos. Linearidade permite cálculos matemáticos mais simples. Utilização de sinais com facilidade de geração e tratamento matemático; Degrau, rampa, exponencial, senos e cossenos Análise e Projeto (Síntese) Como engenheiros estamos interessados em projetar. Mas como interferir em um sistema sem saber seu comportamento? A análise precede o projeto.

Análise de sistemas A forma mais eficiente de análise é verificar o sinal de saída de um sistema quando este é submetido a um sinal padrão de entrada Sinal de Entrada Sinal de Saída SISTEMA

O que é um SINAL ? É uma função que representa uma quantidade ou variável física e contém informações sobre o comportamento ou a natureza do fenômeno. A comunicação entre os seres humanos ocorre comumente através dos sinais de fala, seja na conversação frente a frente ou através do telefone; Outra forma de comunicação humana é através da comunicação visual com os sinais assumindo forma de pessoas ou imagens de objetos; A comunicação também pode ser feita através da escrita onde temos sinais gráficos que podem por exemplos serem transmitidos via internet através de correio eletrônico;

Outros Exemplos de Sinais Na medicina: Batimento cardíaco, temperatura do corpo, pressão sanguínea, respiração etc. Na meteorologia: Temperatura, umidade, velocidade e direção dos ventos etc. Na economia: Variações nos preços de ações, taxa de juros, cotação de moedas etc.

Classificação dos Sinais Sinal a Tempo Contínuo e Sinal a Tempo Discreto: O primeiro possui valor (mesmo que zero) para qualquer instante de tempo, o segundo só tem valores definidos (mesmo que zero) para instantes de tempo inteiros. Com esta classificação nossa definição de sinal fica melhor representada por: É uma função ou sequência de valores que representa uma quantidade ou variável física e contém informações sobre o comportamento ou a natureza do fenômeno.

Classificação dos Sinais Sinal de Amplitude Contínua e Amplitude Discreta: No exemplo anterior x(t) representa a variável dependente enquanto “t” representa a variável independente, desta forma um sinal de amplitude contínua é aquele em que a variável dependente assume valores contínuos (qualquer valor) e um sinal de amplitude discreta é aquele em que a variável dependente assume somente valores inteiros.

Classificação dos Sinais Sinal Analógico: É aquele em que as variáveis dependentes e independentes tem amplitude contínua. Sinal Digital: É aquele em que as variáveis dependentes e independentes tem amplitude discreta. Sinal Real: Quando a variável dependente é real. Sinal Complexo: Quando a variável dependente é complexa.

Classificação dos Sinais Sinal Determinístico: Quando a variável dependente assume valores conhecidos. Sinal Estocástico: Quando a variável dependente assume valores aleatórios.

Classificação dos Sinais Sinal Par:

Classificação dos Sinais Sinal Impar:

Classificação dos Sinais Sinal Periódico e Não Periódico:

O que é um Sistema? É um modelo matemático (abstração) de um processo físico que estabelece uma relação entre um sinal de entrada (força externa ou excitação) com um sinal de saída Onde T(.) é um operador que transforma x(.) em y(.) Sinal de Entrada Sinal de Saída SISTEMA T(.) X(.) y(.)

Classificação dos Sistemas Sistema quanto ao número de entradas e saídas: Sistemas “SISO”: sistemas com uma entrada e uma saída; Sistemas “MIMO”: sistemas como mais de uma entrada e mais de uma saída.

Classificação dos Sistemas Sistemas a Tempo Contínuo: São aqueles em que o sinal de entrada e o sinal de saída são contínuos e o operador T(.) atua de forma contínua no sinal de entrada. T(t), onde “t” é um número real Sistemas a tempo Discreto: São aqueles em que o sinal de entrada e o sinal de saída são discretos e o operador T(.) atua de forma discreta no sinal de entrada. T(k), onde “k” é um número inteiro

Classificação dos Sistemas Sistema Causal: São aqueles em que a saída presente só depende das entradas presentes e passadas. Isto implica que um sistema causal, com condições iniciais nulas, não gera saída diferente de zero antes que a ele seja aplicada uma entrada diferente de zero.

Classificação dos Sistemas Sistemas Não Causais: São aqueles em que sua saída depende de entradas futuras. Não existem fisicamente mas matematicamente pode ser útil idealizá-los:

Classificação dos Sistemas Sistemas Lineares: São sistemas extremamente importantes para as Engenharias; As técnicas de análise são bastante completas e consolidadas para esta classe de sistemas; Para determinadas condições de operação os sistemas não lineares podem ser analisados pelas técnicas dos sistemas lineares.

Classificação dos Sistemas Em Engenharia Elétrica a teoria de sistemas lineares é utilizada nas seguintes áreas: Análise e Projeto de Circuitos Elétricos; Processamento Digital de Sinais; Telecomunicações; Controle e Automação; Instrumentação; Etc.

Classificação dos Sistemas Definição de Sistemas Lineares: São aqueles que atendem a propriedade da SUPERPOSIÇÃO A propriedade da superposição implica em outra propriedade a HOMOGENEIDADE

HOMOGENEIDADE

LINEARIDADE Se a resposta de um sistema a uma combinação linear de sinais de entrada implica em uma combinação linear das saídas individualmente geradas por cada uma das entradas, então a superposição se aplica e o sistema é Linear